Crecimiento y signo de la derivada
Lo que vas a aprender
- Relacionar el signo de f′ en un intervalo con el crecimiento o el decrecimiento de f.
- Hallar los puntos críticos de una función derivando e igualando a cero.
- Construir la tabla de signos de la derivada y escribir con intervalos dónde crece y dónde decrece una función.
- Reconocer que un punto crítico no siempre es un lugar donde la función cambia de dirección.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina la gráfica de la cantidad de agua de un tanque durante un día, o la de la temperatura de un horno mientras se hornea el pan. Muchas veces no necesitas el valor exacto en cada instante: necesitas saber cuándo sube y cuándo baja. ¿En qué momento el tanque deja de llenarse y empieza a vaciarse? ¿Durante cuánto tiempo el horno se está calentando?
La derivada responde esas preguntas sin dibujar punto por punto. En la unidad anterior aprendiste a calcular derivadas; ahora vas a leerlas. El signo de $f'$ dice si la gráfica de $f$ va hacia arriba o hacia abajo, y los puntos donde $f'$ se anula marcan los lugares en que la función puede dar la vuelta.
Antes de empezar repasa cómo se deriva un polinomio, cómo se factoriza un trinomio y cómo se escriben los intervalos, por ejemplo $(-\infty;\ -1)$ o $(3;\ +\infty)$.
Explicación
La pendiente dice hacia dónde va la curva
Recuerda que $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $a$. Si esa pendiente es positiva, la tangente sube de izquierda a derecha, y muy cerca de $a$ la curva también sube. Si es negativa, la tangente baja y la curva también.
Cuando esto pasa en todo un intervalo, se obtiene la regla central de la lección:
- si $f'(x) > 0$ para todo $x$ de un intervalo, $f$ es creciente en ese intervalo;
- si $f'(x) < 0$ para todo $x$ de un intervalo, $f$ es decreciente en ese intervalo.
Ser creciente quiere decir que, al tomar dos valores $x_1 < x_2$ del intervalo, la imagen del segundo es mayor: $f(x_1) < f(x_2)$. La gráfica sube al avanzar hacia la derecha. Ser decreciente es lo contrario.
La regla no funciona exactamente al revés. La función $f(x) = x^3$ es creciente en todos los reales, pero su derivada, $3x^2$, vale cero en $x = 0$. Una derivada que se anula en un punto aislado no impide que la función siga creciendo.
Los puntos críticos
Un punto crítico de $f$ es un valor $c$ del dominio de $f$ en el que $f'(c) = 0$ o en el que $f'(c)$ no existe. En esta lección casi todas las funciones son polinomios, cuya derivada existe siempre, así que los puntos críticos se hallan resolviendo la ecuación $f'(x) = 0$.
¿Por qué importan? Si la derivada es una función continua, como pasa con los polinomios, para pasar de positiva a negativa tiene que atravesar el cero. Por eso el signo de $f'$ solo puede cambiar en un punto crítico (o en un punto donde $f$ ni siquiera está definida). Entre dos puntos críticos seguidos, el signo de $f'$ es siempre el mismo, y basta probar un solo valor de ese tramo para conocerlo.
La tabla de signos
Para estudiar el crecimiento de una función se siguen cinco pasos:
- Se calcula $f'(x)$ y, si se puede, se factoriza.
- Se hallan los puntos críticos, y también los valores donde $f$ no está definida.
- Esos valores parten la recta en intervalos.
- En cada intervalo se elige un valor de prueba y se calcula el signo de $f'$ en él.
- Donde el signo es $+$, $f$ crece; donde es $-$, $f$ decrece.
Los intervalos se escriben abiertos y se nombran por separado. Si una función decrece en $(-2;\ 0)$ y en $(0;\ 2)$ pero no está definida en $0$, no se dice que decrece en $(-2;\ 2)$: en el medio hay un hueco.
Crítico no quiere decir que la curva dé la vuelta
Un punto crítico es un candidato. A veces la función pasa de crecer a decrecer (allí hay un pico) o de decrecer a crecer (allí hay un valle). Pero otras veces la derivada vale cero y no cambia de signo: la curva se aplana un instante y sigue en la misma dirección, como $x^3$ en el origen. La tabla de signos es la que decide qué pasa en cada punto crítico.
Ejemplo resuelto
Dónde crece y dónde decrece un polinomio
Halla los intervalos donde crece y donde decrece la función $f(x) =$ $x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2$.
Ver la solución paso a paso
Esta es la función que vamos a estudiar.
$$x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2$$
Paso 1. Derivamos término a término.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2\right)$$
Con la regla de la potencia queda:
$$3x^{2} - 6x - 9$$
Sacamos el factor común 3 y factorizamos el trinomio que queda.
$$3 \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 3\right)$$
Paso 2. Los puntos críticos son las soluciones de $f'(x) = 0$.
$$3 \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 3\right) = 0$$
Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero: los puntos críticos son $x = -1$ y $x = 3$.
$$\left(x + 1\right)\left(x - 3\right) = 0$$
Pasos 3 y 4. Los dos puntos críticos parten la recta en tres intervalos. Probamos un valor en cada uno. En $(-\infty;\ -1)$ tomamos $x = -2$:
$$3 \cdot \left(-2\right)^{2} - 6 \cdot \left(-2\right) - 9 = 15$$
En $(-1;\ 3)$ tomamos $x = 0$:
$$3 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 9 = -9$$
En $(3;\ +\infty)$ tomamos $x = 4$:
$$3 \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4 - 9 = 15$$
Paso 5. La tabla queda $+,\ -,\ +$. Lo confirmamos resolviendo de una vez la desigualdad $f'(x) > 0$:
$$\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2\right) > 0$$
que es lo mismo que $\left(x + 1\right)\left(x - 3\right) > 0$: se cumple para $x < -1$ o $x > 3$, justo los tramos con signo $+$.
Las alturas de los puntos críticos. Reemplazamos $x = -1$ en $f$:
$$\left.\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2\right)\right|_{x=-1}$$
Hacemos las potencias y los productos.
$$\left(-1\right)^{3} - 3 \cdot \left(-1\right)^{2} - 9 \cdot \left(-1\right) + 2$$
La curva pasa por $(-1;\ 7)$.
$$7$$
Reemplazamos $x = 3$:
$$\left.\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2\right)\right|_{x=3}$$
Calculamos.
$$3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 9 \cdot 3 + 2$$
La curva pasa por $(3;\ -25)$. Como $f$ sube hasta $x = -1$ y después baja, el punto $(-1;\ 7)$ es un pico; como baja hasta $x = 3$ y luego sube, $(3;\ -25)$ es un valle.
$$-25$$
Respuesta: $f$ crece en $(-\infty;\ -1)$ y en $(3;\ +\infty)$, y decrece en $(-1;\ 3)$. Cambia de dirección en $(-1;\ 7)$ y en $(3;\ -25)$.
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 y su derivada y = 3x² − 6x − 9. Donde la parábola de f′ está por encima del eje x, f sube; donde está por debajo, f baja. La parábola corta el eje en −1 y en 3, justo en la vertical del pico (−1; 7) y del valle (3; −25).
Ejemplo resuelto
Un punto crítico donde la curva no da la vuelta
Estudia el crecimiento de $g(x) =$ $x^{3} - 6x^{2} + 12x - 5$.
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$x^{3} - 6x^{2} + 12x - 5$$
Derivamos.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 6x^{2} + 12x - 5\right)$$
Queda un trinomio con factor común 3.
$$3x^{2} - 12x + 12$$
Lo que queda dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto.
$$3 \cdot \left(x - 2\right)^{2}$$
Puntos críticos. Igualamos a cero.
$$3 \cdot \left(x - 2\right)^{2} = 0$$
Solo hay uno: $x = 2$.
$$x = 2$$
Signos. A la izquierda de 2 probamos $x = 0$:
$$3 \cdot \left(0 - 2\right)^{2} = 12$$
A la derecha probamos $x = 3$:
$$3 \cdot \left(3 - 2\right)^{2} = 3$$
Los dos signos son $+$. En realidad, $3(x - 2)^2$ es un cuadrado por un número positivo, así que nunca es negativo. La desigualdad $g'(x) > 0$ se cumple en todos los reales menos el 2:
$$\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 6x^{2} + 12x - 5\right) > 0$$
que es lo mismo que
$$\left(x - 2\right)^{2} > 0$$
es decir,
$$x \ne 2$$
La altura del punto crítico.
$$\left.\left(x^{3} - 6x^{2} + 12x - 5\right)\right|_{x=2}$$
Calculamos.
$$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 5$$
En $(2;\ 3)$ la tangente es horizontal, pero la curva no da la vuelta: viene subiendo y sigue subiendo.
$$3$$
Respuesta: $g$ crece en $(-\infty;\ 2)$ y en $(2;\ +\infty)$; de hecho crece en todos los reales. En $x = 2$ hay un punto crítico, $(2;\ 3)$, que no es ni pico ni valle.
g(x) = x³ − 6x² + 12x − 5 sube todo el tiempo. En el punto crítico (2; 3) se aplana, con tangente horizontal, y sigue subiendo.
Ejemplo resuelto
Una función con un hueco en su dominio
Halla dónde crece y dónde decrece $h(x) =$ $x + \frac{4}{x}$, que no está definida en $x = 0$.
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$x + \frac{4}{x}$$
Derivamos: la derivada de $4/x = 4x^{-1}$ es $-4x^{-2}$.
$$\frac{d}{dx}\left(x + \frac{4}{x}\right)$$
Así:
$$1 - \frac{4}{x^{2}}$$
Puntos críticos. Igualamos a cero.
$$1 - \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Multiplicamos por $x^2$, que no es cero porque $x = 0$ no está en el dominio.
$$x^{2} = 4$$
Hay dos puntos críticos, $x = -2$ y $x = 2$. Junto con el $0$, donde $h$ no existe, parten la recta en cuatro intervalos.
$$\left(x + 2\right)\left(x - 2\right) = 0$$
Signos. Probamos $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$ y $x = 3$:
$$1 - \frac{4}{\left(-3\right)^{2}} = \frac{5}{9}$$
$$1 - \frac{4}{\left(-1\right)^{2}} = -3$$
$$1 - \frac{4}{1^{2}} = -3$$
$$1 - \frac{4}{3^{2}} = \frac{5}{9}$$
Los signos son $+,\ -,\ -,\ +$. Lo confirmamos resolviendo $h'(x) < 0$: la solución es $-2 < x < 0$ o $0 < x < 2$, y el cero queda por fuera.
$$\frac{d}{dx}\left(x + \frac{4}{x}\right) < 0$$
Respuesta: $h$ crece en $(-\infty;\ -2)$ y en $(2;\ +\infty)$, y decrece en $(-2;\ 0)$ y en $(0;\ 2)$. Son dos intervalos separados por el hueco en 0, no uno solo.
Práctica
¿Cuáles son los puntos críticos de $f(x) =$ $x^{3} - 12x + 1$?
f′(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4). Se anula en x = −2 y en x = 2. Si solo se toma la raíz positiva se pierde un punto crítico; los valores ±2√3 salen de igualar a cero x³ − 12x, que no es la derivada.
¿En qué intervalo es decreciente $f(x) =$ $x^{2} - 6x + 1$?
f′(x) = 2x − 6, que es negativa cuando x < 3. A la derecha de 3 la derivada es positiva y la parábola sube.
Para $f(x) =$ $x^{3} - 3x^{2} + 4$, calcula f′(1). Su signo dirá si la función sube o baja cerca de x = 1.
f′(x) = 3x² − 6x, y f′(1) = 3 − 6 = −3. Como la pendiente es negativa, cerca de x = 1 la función baja.
Marca todos los puntos críticos de $f(x) =$ $x^{3} - 6x^{2} + 9x$.
Marca todas las que apliquen.
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Los puntos críticos son 1 y 3. El 0 es un corte de f con el eje x (f(x) = x(x − 3)²), no un punto crítico.
La derivada de una función f es f′(x) = $\left(x + 4\right)\left(x - 1\right)$. ¿En qué intervalo decrece f?
Los puntos críticos son −4 y 1. Con x = 0, f′(0) = 4 · (−1) = −4 < 0: el tramo del medio es negativo. A los lados el producto es positivo, así que allí f crece.
La función $f(x) =$ $x^{3} - 3x^{2}$ tiene un único punto crítico positivo. ¿Cuánto vale f en ese punto?
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2): los puntos críticos son 0 y 2, y el positivo es 2. Entonces f(2) = 8 − 12 = −4.
¿Dónde es creciente $f(x) =$ $x + \frac{9}{x}$?
f′(x) = 1 − 9/x², que vale cero en x = ±3. Probando x = −4, −1, 1 y 4 los signos son +, −, −, +. La función crece en los dos tramos de los extremos; si solo se nombra (3; +∞) falta la mitad de la respuesta.
¿Verdadero o falso? La función $f(x) =$ $x^{3} + 3x$ es creciente en todos los números reales.
f′(x) = 3x² + 3. Como x² nunca es negativo, f′(x) vale por lo menos 3: es positiva siempre y f crece en todos los reales. Esta función no tiene puntos críticos.
La derivada de una función es positiva en (−∞; 2), vale cero en x = 2 y es positiva en (2; +∞). ¿Qué hace la función en x = 2?
El signo de f′ no cambia: la función crece antes y después de 2. Es lo mismo que pasa con x³ en el origen. Un punto crítico solo es pico o valle si la derivada cambia de signo.
Reto
Une cada función con su derivada.
A la izquierda está la derivada de una función, escrita como d/dx(…). Búscale su resultado.
Reto
Completa el estudio del crecimiento.
Deriva, iguala a cero y prueba un valor en cada tramo.
Cierre
En resumen
Si f′(x) > 0 en un intervalo, f crece en él; si f′(x) < 0, f decrece.
Un punto crítico es un valor del dominio donde f′ vale cero o no existe; en un polinomio se hallan resolviendo f′(x) = 0.
Entre dos puntos críticos seguidos el signo de f′ no cambia, así que basta probar un valor en cada tramo.
Los valores donde f no está definida también parten la tabla, y los intervalos a cada lado se nombran por separado.
Un punto crítico no siempre es pico o valle; solo lo es si f′ cambia de signo allí, y x³ en el origen muestra que puede no cambiar.
Vocabulario
- Función creciente
f es creciente en un intervalo si, para dos valores cualesquiera x₁ < x₂ del intervalo, se cumple f(x₁) < f(x₂): al avanzar hacia la derecha, la gráfica sube.
- Función decreciente
f es decreciente en un intervalo si, para x₁ < x₂ del intervalo, se cumple f(x₁) > f(x₂): al avanzar hacia la derecha, la gráfica baja.
- Punto crítico
Un valor c del dominio de f en el que f′(c) = 0 o f′(c) no existe. Junto con los valores donde f no está definida, son los únicos lugares donde el signo de f′ puede cambiar.
- Tabla de signos
Tabla que divide la recta en intervalos con los puntos críticos y anota el signo de f′ en cada uno, para leer dónde crece y dónde decrece f.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte una gráfica sin fórmula y pida que señalen con la mano dónde sube y dónde baja. Pregunte qué pendiente tendría la tangente en cada tramo.
- Explicación · 15 min — La regla del signo, los puntos críticos y la tabla de signos con el primer ejemplo en el tablero. Contraste con el segundo ejemplo, donde la derivada se anula y la función no da la vuelta.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el tercer ejemplo sirve para discutir por qué el 0 parte la tabla. Los retos se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante escriba, sin calcular, la tabla de signos de una derivada ya factorizada como (x + 1)(x − 4).
Preguntas para el salón
- Si la derivada es positiva en todo un intervalo, ¿puede la función bajar en algún tramo de ese intervalo?
- ¿Por qué basta probar un solo valor en cada intervalo de la tabla?
- ¿Toda función tiene puntos críticos? Busquen una que no tenga.
Errores típicos
- Hacer la tabla de signos con f en vez de f′, es decir, buscar dónde f es positiva. Pida escribir siempre en la cabecera de la tabla «signo de f′» y recordar que se mira la pendiente, no la altura.
- Creer que todo punto crítico es un pico o un valle. Muestre la gráfica de x³ y la de g del segundo ejemplo: la tangente es horizontal y la curva sigue subiendo.
- Unir intervalos separados por un valor que no está en el dominio, como (−2; 0) y (0; 2). Marque el hueco en la recta antes de hacer la tabla y pida nombrar cada tramo por separado.
Tarea sugerida
Hacer la tabla de signos de la derivada de f(x) = x³ − 3x + 1 y de g(x) = x⁴ − 2x², escribir con intervalos dónde crece y dónde decrece cada una, y esbozar las dos gráficas con los puntos críticos.