Máximos y mínimos
Lo que vas a aprender
- Clasificar cada punto crítico como máximo relativo, mínimo relativo o ninguno, con el criterio de la primera derivada.
- Calcular el valor máximo y el valor mínimo relativos de una función.
- Hallar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado comparando los puntos críticos con los bordes del intervalo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una empresa quiere saber con qué producción gana más; una ingeniera, cuál es la carga más grande que soporta una viga; un agricultor, en qué semana la temperatura del invernadero fue más baja. En todos los casos se busca el valor más alto o el más bajo de una función.
En la lección anterior viste que el signo de $f'$ dice si una función sube o baja. Si una función sube y después baja, en el cambio hay una cima; si baja y después sube, hay un valle. En esta lección vas a convertir esa idea en un procedimiento para encontrar máximos y mínimos, y vas a distinguir dos preguntas distintas: cuál es el punto más alto de su vecindad y cuál es el punto más alto de todo el intervalo.
Antes de empezar repasa la tabla de signos de la derivada y cómo se evalúa un polinomio.
Explicación
Extremos relativos
Piensa en la gráfica como el perfil de una cordillera. Cada cima es un máximo relativo: un punto más alto que todos los que están cerca de él, aunque más allá haya montañas más altas. Cada fondo de valle es un mínimo relativo. A los dos se les llama extremos relativos (o locales).
En una cima suave la tangente es horizontal; por eso, si $f$ es derivable, en un extremo relativo se cumple $f'(c) = 0$. Esto dice que los extremos relativos se buscan entre los puntos críticos. Pero no todo punto crítico es un extremo: ya viste que $x^3$ tiene $f'(0) = 0$ y sigue subiendo.
El criterio de la primera derivada
Para decidir qué pasa en un punto crítico $c$ se mira el signo de $f'$ a cada lado:
- si $f'$ pasa de $+$ a $-$, la función sube y luego baja: hay un máximo relativo en $c$;
- si $f'$ pasa de $-$ a $+$, baja y luego sube: hay un mínimo relativo en $c$;
- si $f'$ tiene el mismo signo a los dos lados, no hay extremo en $c$.
Fíjate en la diferencia entre dos datos que se confunden mucho. El punto donde está el extremo es un valor de $x$; el valor máximo o mínimo es la altura $f(c)$. En el segundo ejemplo de abajo, «el máximo relativo está en $x = -1$» y «el valor máximo relativo es $12$» son dos respuestas distintas.
Extremos absolutos en un intervalo cerrado
Muchas veces la variable solo puede moverse en un intervalo cerrado $[a;\ b]$: un tiempo que va de $0$ a $5$ horas, una medida que no puede pasar de cierto largo. Entonces la pregunta cambia: ¿cuál es el valor más grande de todos en ese intervalo, y cuál el más pequeño? Esos son los extremos absolutos.
Si $f$ es continua en $[a;\ b]$, siempre tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en ese intervalo, y cada uno está en uno de dos lugares: en un punto crítico que esté dentro del intervalo, o en uno de los bordes $a$ o $b$. Eso da un método muy directo:
- Se hallan los puntos críticos de $f$ y se descartan los que quedan fuera de $[a;\ b]$.
- Se evalúa $f$ en cada punto crítico que queda y también en $a$ y en $b$.
- El mayor de esos valores es el máximo absoluto; el menor, el mínimo absoluto.
Con este método no hace falta la tabla de signos, porque solo se comparan alturas. Pero no se puede olvidar ningún candidato: el error más común es revisar solo los puntos críticos y dejar por fuera los bordes del intervalo, que muchas veces son los ganadores. También puede pasar que un máximo relativo no sea el máximo absoluto, porque en el borde del intervalo la función llega más alto.
Ejemplo resuelto
Dos valles y una cima
Halla los máximos y mínimos relativos de $f(x) =$ $x^{4} - 8x^{2} + 3$.
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$x^{4} - 8x^{2} + 3$$
Derivamos.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{4} - 8x^{2} + 3\right)$$
Queda:
$$4x^{3} - 16x$$
Sacamos el factor común $4x$ y factorizamos la diferencia de cuadrados.
$$4x\left(x + 2\right)\left(x - 2\right)$$
Puntos críticos: $f'(x) = 0$.
$$4x\left(x + 2\right)\left(x - 2\right) = 0$$
Son tres: $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$.
$$x^{3} - 4x = 0$$
Signos de $f'$. Probamos $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$ y $x = 3$.
$$4 \cdot \left(-3\right)^{3} - 16 \cdot \left(-3\right) = -60$$
$$4 \cdot \left(-1\right)^{3} - 16 \cdot \left(-1\right) = 12$$
$$4 \cdot 1^{3} - 16 \cdot 1 = -12$$
$$4 \cdot 3^{3} - 16 \cdot 3 = 60$$
La tabla queda $-,\ +,\ -,\ +$. En $-2$ la derivada pasa de $-$ a $+$: mínimo. En $0$ pasa de $+$ a $-$: máximo. En $2$ pasa de $-$ a $+$: mínimo.
Valores. En $x = -2$:
$$\left.\left(x^{4} - 8x^{2} + 3\right)\right|_{x=-2}$$
Calculamos.
$$\left(-2\right)^{4} - 8 \cdot \left(-2\right)^{2} + 3$$
El mínimo relativo vale $-13$.
$$-13$$
En $x = 0$:
$$\left.\left(x^{4} - 8x^{2} + 3\right)\right|_{x=0}$$
El máximo relativo vale $3$.
$$3$$
En $x = 2$:
$$\left.\left(x^{4} - 8x^{2} + 3\right)\right|_{x=2}$$
También da $-13$, como era de esperar: la función solo tiene potencias pares, y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$.
$$-13$$
Respuesta: Mínimos relativos en $(-2;\ -13)$ y en $(2;\ -13)$; máximo relativo en $(0;\ 3)$.
f(x) = x⁴ − 8x² + 3 tiene dos valles, (−2; −13) y (2; −13), y una cima, (0; 3). La cima es solo un máximo relativo: lejos del origen la curva sube mucho más.
Ejemplo resuelto
El máximo absoluto en un borde del intervalo
Halla el máximo y el mínimo absolutos de $f(x) =$ $2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5$ en el intervalo $[-2;\ 4]$.
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5$$
Paso 1. Derivamos.
$$\frac{d}{dx}\left(2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5\right)$$
Factorizamos.
$$6 \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 2\right)$$
Los puntos críticos son $x = -1$ y $x = 2$, y los dos están dentro de $[-2;\ 4]$.
$$6 \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 2\right) = 0$$
Paso 2. Evaluamos $f$ en los cuatro candidatos. En el borde izquierdo, $x = -2$:
$$\left.\left(2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5\right)\right|_{x=-2}$$
$$1$$
En el punto crítico $x = -1$:
$$\left.\left(2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5\right)\right|_{x=-1}$$
$$12$$
En el punto crítico $x = 2$:
$$\left.\left(2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5\right)\right|_{x=2}$$
$$-15$$
En el borde derecho, $x = 4$:
$$\left.\left(2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5\right)\right|_{x=4}$$
$$37$$
Paso 3. Comparamos los cuatro valores. El mayor es $37$:
$$\operatorname{max}\left(1;\ 12;\ -15;\ 37\right)$$
$$37$$
y el menor es $-15$:
$$\operatorname{min}\left(1;\ 12;\ -15;\ 37\right)$$
$$-15$$
Fíjate en que en $x = -1$ hay un máximo relativo, que vale $12$, pero el máximo absoluto del intervalo, $37$, está en el borde $x = 4$.
Respuesta: En $[-2;\ 4]$, el máximo absoluto es $37$, en $x = 4$, y el mínimo absoluto es $-15$, en $x = 2$.
f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 5 dibujada solo en [−2; 4]. La cima (−1; 12) es un máximo relativo, pero el punto más alto del intervalo es el borde (4; 37). El mínimo absoluto es (2; −15).
Ejemplo resuelto
La temperatura de un experimento
En un experimento, la temperatura de una mezcla, en grados Celsius, $x$ horas después de empezar es $T(x) =$ $x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10$, para $0 \le x \le 5$. El modelo es inventado. ¿Cuáles fueron la temperatura más alta y la más baja?
Ver la solución paso a paso
El modelo es:
$$x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10$$
El intervalo es cerrado, $[0;\ 5]$, así que usamos el método de los candidatos. Derivamos.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10\right)$$
$$3 \cdot \left(x - 2\right)\left(x - 4\right)$$
Los puntos críticos, $x = 2$ y $x = 4$, están dentro del intervalo.
$$3 \cdot \left(x - 2\right)\left(x - 4\right) = 0$$
Evaluamos en $x = 0$:
$$\left.\left(x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10\right)\right|_{x=0}$$
$$10$$
en $x = 2$:
$$\left.\left(x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10\right)\right|_{x=2}$$
$$30$$
en $x = 4$:
$$\left.\left(x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10\right)\right|_{x=4}$$
$$26$$
y en $x = 5$:
$$\left.\left(x^{3} - 9x^{2} + 24x + 10\right)\right|_{x=5}$$
$$30$$
Interpretación. El valor más alto, $30$ °C, se alcanza dos veces: a las 2 horas y al final, a las 5 horas. El más bajo, $10$ °C, es el del comienzo. El mínimo relativo de las 4 horas, $26$ °C, no es el mínimo absoluto: la mezcla empezó más fría.
Respuesta: La temperatura más alta fue 30 °C (a las 2 h y a las 5 h) y la más baja, 10 °C (al empezar, en x = 0).
Práctica
La función $f(x) =$ $x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$ tiene un máximo relativo y un mínimo relativo. ¿En qué valor de x está el mínimo relativo?
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Probando x = 0, 2 y 4 los signos son +, −, +. En x = 3 la derivada pasa de − a +: allí está el mínimo relativo. En x = 1 está el máximo.
Para la misma función, $f(x) =$ $x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$, ¿cuál es el valor máximo relativo?
El máximo relativo está en x = 1, donde f′ pasa de + a −. Su valor es f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5. Ojo: la pregunta pide el valor, no la abscisa.
En x = 2 la derivada de una función continua pasa de negativa a positiva. ¿Qué tiene la función en x = 2?
Antes de 2 la función baja y después sube: en 2 está el fondo de un valle, un mínimo relativo. Que sea también el mínimo absoluto dependería del resto del intervalo.
Marca todos los puntos críticos de $f(x) =$ $x^{4} - 2x^{2}$.
Marca todas las que apliquen.
f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x + 1)(x − 1): los puntos críticos son −1, 0 y 1. El valor √2 es un corte de f con el eje x, porque x⁴ − 2x² = x²(x² − 2), pero no es un punto crítico.
¿Cuál es el valor mínimo de $f(x) =$ $x^{4} - 2x^{2}$ en todos los reales?
Los signos de f′ son −, +, −, + alrededor de −1, 0 y 1: hay mínimos en −1 y en 1, y un máximo en 0. f(−1) = f(1) = 1 − 2 = −1. El 0 es el valor del máximo relativo, y el 1 es una abscisa, no un valor.
¿Cuál es el valor máximo absoluto de $f(x) =$ $x^{2} - 4x + 1$ en el intervalo [0; 5]?
f′(x) = 2x − 4 se anula en x = 2. Candidatos: f(0) = 1, f(2) = −3 y f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. El mayor es 6, en el borde x = 5. El −3 es el mínimo absoluto, y el 2 es una abscisa.
¿Cuál es el valor mínimo absoluto de $f(x) =$ $x^{3} - 12x$ en el intervalo [0; 3]?
f′(x) = 3x² − 12 se anula en x = −2 y en x = 2, pero −2 está fuera del intervalo y se descarta. Candidatos: f(0) = 0, f(2) = 8 − 24 = −16 y f(3) = 27 − 36 = −9. El menor es −16.
¿Verdadero o falso? En el intervalo [−1; 2], el valor mínimo absoluto de $f(x) =$ $x^{2}$ es f(−1).
El punto crítico x = 0 está dentro del intervalo. Los candidatos valen f(−1) = 1, f(0) = 0 y f(2) = 4: el mínimo absoluto es 0, en x = 0, y el máximo absoluto es 4, en x = 2. Los bordes no siempre ganan; hay que compararlos todos.
Según un modelo inventado, la cantidad de agua de un tanque, en litros, x horas después de abrir una llave es A(x) = $x^{3} - 9x^{2} + 15x + 100$, para x entre 0 y 6. ¿Cuál fue la menor cantidad de agua en ese tiempo, en litros?
A′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3(x − 1)(x − 5). Candidatos: A(0) = 100, A(1) = 107, A(5) = 125 − 225 + 75 + 100 = 75 y A(6) = 216 − 324 + 90 + 100 = 82. El menor es 75 litros, a las 5 horas.
¿Verdadero o falso? En el intervalo [−2; 3], el máximo absoluto de $f(x) =$ $-x^{3} + 3x^{2} + 1$ está en el borde x = −2.
f′(x) = −3x² + 6x = −3x(x − 2): puntos críticos 0 y 2. Candidatos: f(−2) = 8 + 12 + 1 = 21, f(0) = 1, f(2) = 5 y f(3) = 1. El máximo relativo de x = 2 vale 5, pero el borde x = −2 llega a 21.
Reto
Los extremos absolutos en un intervalo cerrado.
Halla el punto crítico que cae dentro del intervalo, evalúa en él y en los dos bordes, y compara.
Reto
Abre el candado de los extremos.
Cada respuesta es una cifra del código. Deriva, iguala a cero y evalúa.
Cierre
En resumen
Los extremos relativos de una función derivable se buscan entre sus puntos críticos, pero no todo punto crítico es un extremo.
Si f′ pasa de + a − en un punto crítico hay un máximo relativo; si pasa de − a +, un mínimo relativo; si no cambia de signo, ninguno.
El punto del extremo es un valor de x; el valor máximo o mínimo es la altura f(c).
En un intervalo cerrado [a; b], los extremos absolutos de una función continua están en los puntos críticos de adentro o en los bordes a y b.
Para hallarlos se evalúa f en todos esos candidatos y se comparan; un máximo relativo puede no ser el máximo absoluto.
Vocabulario
- Máximo relativo
f tiene un máximo relativo en c si f(c) es mayor o igual que f(x) para todos los x cercanos a c. Es la cima de una loma de la gráfica.
- Mínimo relativo
f tiene un mínimo relativo en c si f(c) es menor o igual que f(x) para todos los x cercanos a c. Es el fondo de un valle de la gráfica.
- Máximo absoluto
El mayor valor que toma f en todo el intervalo que se estudia.
- Mínimo absoluto
El menor valor que toma f en todo el intervalo que se estudia.
- Criterio de la primera derivada
Si f′ pasa de positiva a negativa en un punto crítico, allí hay un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo relativo; si no cambia de signo, no hay ninguno de los dos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje el perfil de una cordillera y pregunte cuál es la cima más alta del dibujo y cuáles son cimas «de su barrio». Así aparece la diferencia entre relativo y absoluto.
- Explicación · 15 min — Criterio de la primera derivada con el primer ejemplo; luego el método de los candidatos con el segundo, insistiendo en que el ganador puede estar en un borde, como pasa aquí con el máximo, o en un punto crítico, como pasa con el mínimo.
- Práctica · 20 min — El ejemplo de la temperatura como problema guiado y las preguntas en parejas. El candado sirve para cerrar en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante escriba en una frase la diferencia entre «el máximo está en x = 4» y «el valor máximo es 37».
Preguntas para el salón
- ¿Puede una función tener un máximo relativo más bajo que uno de sus mínimos relativos? Dibujen un ejemplo.
- Si una función continua en [a; b] no tiene puntos críticos, ¿dónde están sus extremos absolutos?
- En el experimento de la temperatura, ¿por qué el mínimo de las 4 horas no es la temperatura más baja?
Errores típicos
- Dar la abscisa del extremo cuando se pide el valor, o al revés. Pida escribir siempre el punto completo, (c; f(c)), y subrayar lo que pregunta el enunciado.
- Olvidar evaluar los bordes del intervalo al buscar extremos absolutos. Haga una tabla de candidatos con una fila para cada borde y otra para cada punto crítico de adentro antes de calcular nada.
- Incluir puntos críticos que están fuera del intervalo. Pida dibujar el intervalo en la recta y marcar los puntos críticos; los que caen fuera se tachan.
Tarea sugerida
Hallar los extremos relativos de f(x) = x³ − 3x² − 24x y sus extremos absolutos en [−3; 5]. Explicar por escrito si el máximo relativo coincide con el máximo absoluto en ese intervalo.