Concavidad y gráficas
Lo que vas a aprender
- Calcular la segunda derivada de un polinomio y usar su signo para decidir dónde la gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
- Hallar los puntos de inflexión comprobando que la concavidad cambia.
- Clasificar puntos críticos con el criterio de la segunda derivada y reconocer cuándo ese criterio no decide.
- Trazar la gráfica de un polinomio reuniendo cortes, extremos, concavidad e inflexiones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Dos carreteras pueden subir las dos y, sin embargo, ser muy distintas: una sube cada vez más empinada, como la rampa de una pista de patinaje, y la otra sube cada vez más suave, hasta quedar casi plana. Saber que una función crece no basta para dibujarla: también importa cómo se curva.
Esa información la da la segunda derivada. Con ella vas a saber hacia dónde se dobla la gráfica, dónde cambia la forma de la curva y vas a tener una segunda manera de decidir si un punto crítico es un máximo o un mínimo. Al final reunirás todo lo de la unidad para dibujar la gráfica de un polinomio sin necesitar una tabla larga de valores.
Antes de empezar repasa la tabla de signos de la derivada y el criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Explicación
La segunda derivada
Si derivas $f'$ obtienes una nueva función, la segunda derivada, que se escribe $f''$. Por ejemplo, si $f(x) = x^3$, entonces $f'(x) = 3x^2$ y $f''(x) = 6x$. Igual que $f'$ dice cómo cambia $f$, la segunda derivada dice cómo cambia la pendiente.
Concavidad
Imagina que recorres la gráfica de izquierda a derecha y miras la pendiente de la tangente.
- Si las pendientes aumentan, la curva se dobla hacia arriba, como una taza que guarda agua. Se dice que es cóncava hacia arriba. Las tangentes quedan por debajo de la curva.
- Si las pendientes disminuyen, la curva se dobla hacia abajo, como una taza boca abajo. Es cóncava hacia abajo, y las tangentes quedan por encima.
Como $f'$ aumenta donde su derivada es positiva, la regla es:
- si $f''(x) > 0$ en un intervalo, la gráfica es cóncava hacia arriba en él;
- si $f''(x) < 0$ en un intervalo, es cóncava hacia abajo.
Ojo: la concavidad no tiene que ver con que la función suba o baje. Una función puede crecer y ser cóncava hacia abajo a la vez: sube, pero cada vez más despacio.
Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto de la gráfica en el que la concavidad cambia. Para un polinomio, $f''$ es continua, y solo puede cambiar de signo donde vale cero. Por eso los candidatos se buscan resolviendo $f''(x) = 0$, y luego se hace una tabla de signos de $f''$ igual a la que ya conoces para $f'$.
Pero un candidato no basta. La función $f(x) = x^4$ tiene $f''(x) = 12x^2$, que vale cero en $x = 0$; sin embargo, $12x^2$ es positiva a los dos lados, la gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes y en el origen no hay punto de inflexión: hay un mínimo. Solo hay inflexión si $f''$ cambia de signo.
El criterio de la segunda derivada
Si en un punto crítico $c$ la tangente es horizontal y la curva está doblada hacia arriba, ese punto tiene que ser el fondo de un valle. Si está doblada hacia abajo, es una cima. Así:
- si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, hay un mínimo relativo en $c$;
- si $f'(c) = 0$ y $f''(c) < 0$, hay un máximo relativo en $c$;
- si $f'(c) = 0$ y $f''(c) = 0$, el criterio no decide.
El último caso es una trampa frecuente. Las funciones $x^3$, $x^4$ y $-x^4$ tienen las tres $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$, y sin embargo la primera no tiene extremo en $0$, la segunda tiene un mínimo y la tercera un máximo. Cuando $f''(c) = 0$ hay que volver al criterio de la primera derivada y mirar el signo de $f'$ a cada lado.
Trazar la gráfica de un polinomio
Con todo lo de la unidad, la gráfica de un polinomio se arma así:
- El corte con el eje $y$, $f(0)$, y los cortes con el eje $x$ si son fáciles de hallar.
- Con $f'$: los puntos críticos, dónde crece, dónde decrece y los extremos relativos.
- Con $f''$: dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos de inflexión.
- Qué pasa cuando $x$ se aleja mucho hacia la derecha o hacia la izquierda, que lo decide el término de mayor grado.
- Se ubican todos esos puntos y se unen con una curva que respete la dirección y la forma de cada tramo.
Ejemplo resuelto
La gráfica completa de un polinomio de grado tres
Estudia $f(x) =$ $x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5$ con sus dos primeras derivadas y traza su gráfica.
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5$$
Primera derivada.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)$$
$$3 \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 3\right)$$
Segunda derivada: derivamos $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)\right)$$
$$6x - 6$$
Puntos críticos: $f'(x) = 0$ en $x = -1$ y en $x = 3$.
$$3 \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 3\right) = 0$$
Criterio de la segunda derivada. En $x = -1$, $f''$ es negativa: allí hay un máximo relativo.
$$6 \cdot \left(-1\right) - 6 = -12$$
En $x = 3$, $f''$ es positiva: allí hay un mínimo relativo.
$$6 \cdot 3 - 6 = 12$$
Concavidad. La gráfica es cóncava hacia arriba donde $f''(x) > 0$:
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)\right) > 0$$
$$x > 1$$
y cóncava hacia abajo donde $f''(x) < 0$:
$$6x - 6 < 0$$
$$x < 1$$
La concavidad cambia en $x = 1$: allí hay un punto de inflexión. Alturas. El máximo:
$$\left.\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)\right|_{x=-1}$$
$$10$$
El mínimo:
$$\left.\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)\right|_{x=3}$$
$$-22$$
El punto de inflexión:
$$\left.\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)\right|_{x=1}$$
$$-6$$
El corte con el eje $y$:
$$\left.\left(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\right)\right|_{x=0}$$
$$5$$
Cuando $x$ se aleja hacia $\pm\infty$. Manda el término $x^3$: la curva baja sin límite hacia la izquierda y sube sin límite hacia la derecha. Ya se puede dibujar: sube cóncava hacia abajo hasta el máximo, baja y cambia de forma en la inflexión, llega al mínimo y vuelve a subir, ya cóncava hacia arriba.
Respuesta: Máximo relativo $(-1;\ 10)$, mínimo relativo $(3;\ -22)$, inflexión en $(1;\ -6)$ y corte con el eje y en $(0;\ 5)$. Cóncava hacia abajo en $(-\infty;\ 1)$ y hacia arriba en $(1;\ +\infty)$.
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 con su máximo (−1; 10), su punto de inflexión (1; −6), su mínimo (3; −22) y su corte con el eje y, (0; 5). A la izquierda de la inflexión la curva se dobla hacia abajo; a la derecha, hacia arriba.
Ejemplo resuelto
Cuando el criterio de la segunda derivada no decide
Halla los extremos relativos y los puntos de inflexión de $g(x) =$ $x^{4} - 4x^{3}$.
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$x^{4} - 4x^{3}$$
Derivadas.
$$\frac{d}{dx}\left(x^{4} - 4x^{3}\right)$$
$$4x^{2} \cdot \left(x - 3\right)$$
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(x^{4} - 4x^{3}\right)\right)$$
$$12x\left(x - 2\right)$$
Puntos críticos: $x = 0$ y $x = 3$.
$$4x^{2} \cdot \left(x - 3\right) = 0$$
En $x = 3$ la segunda derivada es positiva: mínimo relativo.
$$12 \cdot 3 \cdot \left(3 - 2\right) = 36$$
En $x = 0$ la segunda derivada vale cero, y el criterio no decide.
$$12 \cdot 0 \cdot \left(0 - 2\right) = 0$$
Volvemos a la primera derivada y probamos a cada lado de 0, con $x = -1$ y $x = 1$:
$$4 \cdot \left(-1\right)^{2} \cdot \left(-1 - 3\right) = -16$$
$$4 \cdot 1^{2} \cdot \left(1 - 3\right) = -8$$
Las dos son negativas: $g$ viene bajando y sigue bajando. En $x = 0$ no hay extremo. Concavidad. La gráfica es cóncava hacia abajo donde $g''(x) < 0$:
$$12x\left(x - 2\right) < 0$$
es decir, entre 0 y 2:
$$0 < x < 2$$
Fuera de ese tramo, $g'' > 0$ y es cóncava hacia arriba:
$$12x\left(x - 2\right) > 0$$
La concavidad cambia en $x = 0$ y en $x = 2$: hay dos puntos de inflexión. Sus alturas:
$$\left.\left(x^{4} - 4x^{3}\right)\right|_{x=0}$$
$$0$$
$$\left.\left(x^{4} - 4x^{3}\right)\right|_{x=2}$$
$$-16$$
y la del mínimo:
$$\left.\left(x^{4} - 4x^{3}\right)\right|_{x=3}$$
$$-27$$
En el origen pasa algo curioso: la tangente es horizontal, pero no hay extremo, sino un punto de inflexión.
Respuesta: Mínimo relativo en $(3;\ -27)$; no hay máximo relativo. Puntos de inflexión en $(0;\ 0)$, con tangente horizontal, y en $(2;\ -16)$.
g(x) = x⁴ − 4x³. En (0; 0) la tangente es horizontal y la curva cambia de forma sin dejar de bajar; en (2; −16) vuelve a cambiar de concavidad, y el mínimo es (3; −27).
Ejemplo resuelto
Un candidato que no es inflexión
¿Tiene $h(x) =$ $x^{4}$ un punto de inflexión en $x = 0$?
Ver la solución paso a paso
La función es:
$$x^{4}$$
Su segunda derivada:
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)\right)$$
$$12x^{2}$$
El único candidato es la solución de $h''(x) = 0$:
$$12x^{2} = 0$$
$$x = 0$$
Probamos el signo de $h''$ a cada lado:
$$12 \cdot \left(-1\right)^{2} = 12$$
$$12 \cdot 1^{2} = 12$$
Es positiva a los dos lados: la concavidad no cambia. La gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes, y en el origen tiene un mínimo, no una inflexión.
Respuesta: No. Aunque $h''(0) = 0$, la segunda derivada no cambia de signo, así que no hay punto de inflexión.
Práctica
¿En qué valor de x tiene un punto de inflexión $f(x) =$ $x^{3} - 6x^{2} + 4$?
f′(x) = 3x² − 12x y f″(x) = 6x − 12, que vale cero en x = 2. Como f″ es negativa antes de 2 y positiva después, la concavidad cambia: sí es un punto de inflexión.
¿En qué intervalo es cóncava hacia arriba la gráfica de $f(x) =$ $x^{3} + 3x^{2} - 1$?
f″(x) = 6x + 6 > 0 cuando x > −1. El intervalo (−2; 0) es donde f′ = 3x² + 6x es negativa, es decir, donde f decrece: eso es otra cosa.
Para $f(x) =$ $x^{4} - 2x^{3}$, calcula f″(2).
f′(x) = 4x³ − 6x² y f″(x) = 12x² − 12x. Entonces f″(2) = 48 − 24 = 24. Como es positiva, cerca de x = 2 la gráfica es cóncava hacia arriba.
En un valor a se cumple que f′(a) = 0 y f″(a) = 0. ¿Qué se puede concluir?
Con f″(a) = 0 el criterio de la segunda derivada no decide. x³ no tiene extremo en 0, x⁴ tiene un mínimo y −x⁴ un máximo, y las tres cumplen f′(0) = f″(0) = 0.
¿Verdadero o falso? La segunda derivada de $f(x) =$ $x^{4} + x$ nunca es negativa.
f″(x) = 12x², que es cero en x = 0 y positiva en los demás valores. Por eso la gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes y no tiene puntos de inflexión, aunque f″(0) = 0.
¿Verdadero o falso? La función $f(x) =$ $x^{3} - 12x$ tiene un punto crítico en x = −2, y según el criterio de la segunda derivada allí hay un máximo relativo.
f′(x) = 3x² − 12 vale cero en x = −2. f″(x) = 6x, y f″(−2) = −12 < 0: la curva está doblada hacia abajo, así que es un máximo relativo. En x = 2, f″(2) = 12 > 0 y hay un mínimo.
Marca todos los valores de x donde la segunda derivada de $f(x) =$ $x^{4} - 6x^{2}$ vale cero.
Marca todas las que apliquen.
f′(x) = 4x³ − 12x y f″(x) = 12x² − 12 = 12(x² − 1), que vale cero en ±1. En los dos cambia de signo, así que son abscisas de puntos de inflexión. √3 es un punto crítico (anula f′) y √6, un corte con el eje x.
¿Verdadero o falso? La gráfica de $f(x) =$ $x^{3} - 3x^{2} + 5$ es cóncava hacia abajo cerca de x = 0.
f″(x) = 6x − 6, y f″(0) = −6 < 0. Cerca de 0 la curva se dobla hacia abajo; en x = 0 además f′(0) = 0, así que allí hay un máximo relativo.
¿En qué intervalo es cóncava hacia abajo la gráfica de $f(x) =$ $-x^{3} + 6x^{2}$?
f″(x) = −6x + 12, que es negativa cuando x > 2. El intervalo (0; 4) es donde f′ = −3x² + 12x es positiva, es decir, donde f crece; no es la concavidad.
¿Cuál es el punto de inflexión de la gráfica de $f(x) =$ $2x^{3} - 6x^{2} + x$?
f″(x) = 12x − 12 vale cero en x = 1 y cambia de signo allí. La ordenada se calcula en f, no en f′: f(1) = 2 − 6 + 1 = −3. Si se reemplaza en f′(x) = 6x² − 12x + 1 sale −5, que no es un punto de la gráfica.
Reto
Une cada función con su segunda derivada.
A la izquierda está d/dx(d/dx(…)): deriva dos veces.
Reto
Abre el candado de la concavidad.
Cada respuesta es una cifra del código. Deriva dos veces cuando haga falta.
Cierre
En resumen
La segunda derivada f″ es la derivada de f′ y dice cómo cambia la pendiente.
Donde f″ > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba; donde f″ < 0, cóncava hacia abajo.
Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia; f″ = 0 da los candidatos, pero hay que comprobar el cambio de signo, como muestra x⁴.
Si f′(c) = 0 y f″(c) > 0 hay un mínimo relativo; si f″(c) < 0, un máximo; si f″(c) = 0, el criterio no decide y se vuelve a la primera derivada.
Para trazar un polinomio se reúnen el corte con el eje y, los extremos, la concavidad, las inflexiones y lo que pasa cuando x se aleja hacia la derecha o hacia la izquierda.
Vocabulario
- Segunda derivada
La derivada de la derivada, f″ = (f′)′. Mide cómo cambia la pendiente de la gráfica.
- Cóncava hacia arriba
Una gráfica es cóncava hacia arriba en un intervalo si sus pendientes aumentan allí; se curva como una taza que guarda agua. Pasa donde f″ > 0.
- Cóncava hacia abajo
Una gráfica es cóncava hacia abajo en un intervalo si sus pendientes disminuyen allí; se curva como una taza boca abajo. Pasa donde f″ < 0.
- Punto de inflexión
Un punto de la gráfica donde la concavidad cambia: de hacia arriba a hacia abajo, o al revés.
- Criterio de la segunda derivada
Si f′(c) = 0 y f″(c) < 0, en c hay un máximo relativo; si f′(c) = 0 y f″(c) > 0, un mínimo relativo; si f″(c) = 0, el criterio no decide.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje dos curvas crecientes, una que se empina y otra que se aplana, y pregunte qué las diferencia si las dos suben.
- Explicación · 20 min — Segunda derivada y concavidad; puntos de inflexión con el contraejemplo de x⁴; criterio de la segunda derivada. El primer ejemplo se hace completo en el tablero, dibujando la curva al final.
- Práctica · 20 min — El segundo ejemplo en parejas, para que descubran que en x = 0 el criterio no decide. Luego las preguntas y los retos.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje a mano alzada una curva que crezca y sea cóncava hacia abajo, y otra que decrezca y sea cóncava hacia arriba.
Preguntas para el salón
- ¿Puede una función crecer y ser cóncava hacia abajo al mismo tiempo? Den un ejemplo de la vida diaria.
- Si f″(a) = 0, ¿hay siempre un punto de inflexión en a?
- ¿Por qué un polinomio de grado tres tiene siempre exactamente un punto de inflexión?
Errores típicos
- Declarar punto de inflexión todo valor donde f″ = 0. Pida siempre la tabla de signos de f″ y muestre x⁴ como contraejemplo.
- Confundir concavidad con crecimiento: decir que es cóncava hacia arriba porque sube. Pida separar la tabla de f′, que habla de subir y bajar, de la de f″, que habla de la forma de la curva.
- Calcular la ordenada del punto de inflexión en f′ o en f″ en vez de en f. Recuerde que el punto tiene que estar en la gráfica de f: la ordenada siempre es f(c).
- Concluir algo con el criterio de la segunda derivada cuando f″(c) = 0. Compare en el tablero x³, x⁴ y −x⁴ en el origen.
Tarea sugerida
Estudiar f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 y g(x) = x⁴ − 6x² con sus dos derivadas: crecimiento, extremos, concavidad e inflexiones. Trazar las dos gráficas con todos esos puntos.