Coordenadas polares

¿Para qué sirve esto?

Imagina el radar de la torre de control de un aeródromo pequeño (el aeródromo y el radar son inventados). En la pantalla, la torre está en el centro y cada avión aparece como un punto que se enciende cuando la aguja del radar pasa por encima. Para avisar dónde está un avión, el controlador no dice «tantos kilómetros al este y tantos al norte». Dice dos cosas que el radar mide directamente: a qué distancia está el avión y en qué dirección.

Esa manera de ubicar puntos, con una distancia y un ángulo, es la de las coordenadas polares. Las usan los radares, los sonares de los barcos, los aspersores que riegan un círculo de pasto y cualquier situación en la que todo gira alrededor de un centro. El plano cartesiano, con sus dos distancias perpendiculares, sigue siendo útil; lo que vas a aprender es a describir el mismo punto con dos sistemas distintos y a pasar de uno al otro.

Antes de empezar repasa el círculo unitario: si el lado terminal de un ángulo θ lo corta en un punto, ese punto es $(\cos\theta;\ \operatorname{sen}\theta)$.

El polo, el eje polar y la pareja (r; θ)

Para ubicar puntos en coordenadas polares se necesitan dos cosas: un punto fijo, el polo, y una semirrecta que sale de él, el eje polar. Cuando dibujamos los dos sistemas a la vez, el polo es el origen y el eje polar es el semieje $x$ positivo.

Un punto $P$ distinto del polo queda determinado por dos números:

• $r$, la distancia de $P$ al polo;
• $\theta$, el ángulo que hay que girar desde el eje polar hasta la semirrecta que va del polo a $P$. Como en trigonometría, el giro en contra de las agujas del reloj es positivo y a favor de ellas es negativo.

Se escribe $P(r;\ \theta)$. En esta lección $r$ es una distancia, así que $r \ge 0$. El polo mismo tiene $r = 0$, y ahí cualquier ángulo sirve, porque no hay dirección que medir.

Para ubicar un punto polar, primero se gira desde el eje polar el ángulo $\theta$, y luego se avanzan $r$ unidades sobre esa semirrecta. Si dibujas varias circunferencias con centro en el polo y varias semirrectas que salen de él, obtienes una cuadrícula polar: cada circunferencia reúne los puntos con el mismo $r$, y cada semirrecta, los puntos con el mismo $\theta$.

De polares a cartesianas

Toma un punto $P(r;\ \theta)$ con $r > 0$. La semirrecta del ángulo $\theta$ corta el círculo unitario en $(\cos\theta;\ \operatorname{sen}\theta)$. El punto $P$ está sobre la misma semirrecta, pero a distancia $r$ en lugar de $1$: es el punto del círculo unitario alargado $r$ veces. Por eso

$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\operatorname{sen}\theta.$$

Estas fórmulas valen en cualquier cuadrante, porque el seno y el coseno ya traen el signo: un ángulo del II cuadrante da $x$ negativa, uno del III da las dos negativas.

De cartesianas a polares

Ahora el camino contrario: conoces $(x;\ y)$ y buscas $r$ y $\theta$. La distancia sale del teorema de Pitágoras:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Para el ángulo, si $x \neq 0$, al dividir las dos fórmulas se obtiene

$$\tan\theta = \frac{y}{x}.$$

Aquí está la trampa más frecuente de toda la lección. La tangente se repite cada $180^\circ$: los puntos $(1;\ 1)$ y $(-1;\ -1)$ dan el mismo cociente $\tfrac{y}{x} = 1$, y sin embargo uno está en el I cuadrante y el otro en el III. La tecla $\tan^{-1}$ de la calculadora solo devuelve ángulos entre $-90^\circ$ y $90^\circ$, es decir, ángulos del I o del IV cuadrante. Por eso:

• si el punto está en el I o en el IV cuadrante ($x > 0$), el ángulo de $\tan^{-1}$ sirve tal como sale (en el IV sale negativo; si lo quieres entre $0^\circ$ y $360^\circ$, súmale $360^\circ$);
• si el punto está en el II o en el III cuadrante ($x < 0$), hay que sumarle $180^\circ$ al ángulo de $\tan^{-1}$;
• si el punto está sobre un eje, el ángulo se lee directamente: $90^\circ$ para el semieje $y$ positivo, $180^\circ$ para el semieje $x$ negativo, $270^\circ$ para el semieje $y$ negativo.

La mejor costumbre es ubicar primero el cuadrante con los signos de $x$ y de $y$, y solo después calcular. Al final, una comprobación rápida: vuelve a cartesianas con el $r$ y el $\theta$ que encontraste y mira si recuperas el punto.

Un punto, muchas parejas

En el plano cartesiano cada punto tiene una sola pareja $(x;\ y)$. En polares no. Si al ángulo $\theta$ le sumas una vuelta completa, $360^\circ$, la semirrecta queda en el mismo sitio y el punto no se mueve. Lo mismo si le restas una vuelta, o si sumas o restas cualquier número entero de vueltas. Así, para un punto distinto del polo,

$$(r;\ \theta), \quad (r;\ \theta + 360^\circ), \quad (r;\ \theta - 360^\circ), \quad (r;\ \theta + 720^\circ), \ \ldots$$

son infinitas parejas para el mismo punto. El polo tiene todavía más: $(0;\ \theta)$ es el polo para cualquier $\theta$. Cuando se pide «la» representación polar, se acuerda un rango para el ángulo, por ejemplo $0^\circ \le \theta < 360^\circ$, y con ese acuerdo cada punto distinto del polo tiene una sola pareja.

En resumen

• En coordenadas polares un punto se ubica con la pareja (r; θ), su distancia r al polo y el ángulo θ medido desde el eje polar.

• De polares a cartesianas, x = r cos θ e y = r sen θ, en cualquier cuadrante.

• De cartesianas a polares, r = √(x² + y²) y tan θ = y/x; si x < 0, al ángulo de tan⁻¹ se le suman 180°; si x > 0 e y < 0, sale negativo, y se le suman 360° para dejarlo entre 0° y 360°.

• Un punto distinto del polo tiene infinitas parejas polares, que se diferencian en vueltas completas del ángulo.

• Conviene ubicar el cuadrante antes de calcular y comprobar al final volviendo a cartesianas.

Vocabulario

Polo

El punto fijo desde el que se miden las distancias en coordenadas polares. Al dibujarlo sobre el plano cartesiano coincide con el origen.

Eje polar

La semirrecta que sale del polo y desde la que se miden los ángulos. Coincide con el semieje x positivo.

Coordenadas polares

La pareja (r; θ) que ubica un punto por su distancia r al polo y por el ángulo θ que forma con el eje polar.

Ángulo polar

El ángulo θ, medido desde el eje polar, positivo en contra de las agujas del reloj.