Curvas en coordenadas polares
Lo que vas a aprender
- Reconocer la curva que describen las ecuaciones polares r = a, θ = α y r = 2a cos θ.
- Convertir una ecuación polar sencilla en cartesiana y una circunferencia cartesiana en polar.
- Comprobar si un punto está sobre una curva polar.
- Decidir qué sistema de coordenadas describe con más sencillez un objeto, según dónde esté el punto de referencia.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En un parque inventado hay una pista circular de patinaje con una caseta de vigilancia en el centro, y en un puerto, también inventado, un radar que vigila los barcos. Si pones el origen en la caseta, decir «la pista» en coordenadas polares es tan corto como decir «todos los puntos a la misma distancia del centro». Si pones el origen en otro sitio, la misma pista necesita una ecuación más larga.
Una curva no tiene un único nombre: tiene una ecuación en cada sistema de coordenadas, y unas son más sencillas que otras. En esta lección vas a traducir curvas de polares a cartesianas y de cartesianas a polares, y a decidir cuál de los dos sistemas conviene para cada objeto.
Antes de empezar recuerda las tres fórmulas de la lección anterior: $x = r\cos\theta$, $y = r\operatorname{sen}\theta$ y $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Repasa también la ecuación de la circunferencia de centro $(h;\ k)$ y radio $a$: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$.
Explicación
Qué es una ecuación polar
Una ecuación polar es una condición que relaciona $r$ y $\theta$. Su curva está formada por todos los puntos que tienen alguna pareja polar que cumple la condición. Fíjate en la palabra alguna: como cada punto tiene muchas parejas, basta con que una de ellas cumpla la ecuación para que el punto esté en la curva. Igual que en la lección anterior, aquí trabajamos con $r \ge 0$.
La curva r = a
En la ecuación $r = a$, con $a > 0$, el ángulo no aparece: puede ser cualquiera. Lo único que se pide es que la distancia al polo sea $a$. Son los puntos de la circunferencia de centro en el polo y radio $a$.
Para pasarla a cartesianas cambiamos $r$ por $\sqrt{x^2 + y^2}$ y elevamos al cuadrado, cosa que se puede hacer porque los dos lados son positivos:
$$r = a \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = a^2.$$
La curva θ = α
En la ecuación $\theta = \alpha$ ahora es $r$ el que puede ser cualquiera, siempre que $r \ge 0$. Son los puntos que se obtienen girando $\alpha$ desde el eje polar y avanzando cualquier distancia: una semirrecta que sale del polo.
En cartesianas, si $\alpha$ no es $90^\circ$ ni $270^\circ$, los puntos de esa semirrecta cumplen $\tfrac{y}{x} = \tan\alpha$, es decir, $y = (\tan\alpha)\,x$. Pero cuidado: esa ecuación cartesiana es la recta completa, y la ecuación polar es solo media recta. Por ejemplo, $\theta = 60^\circ$ es la parte de la recta $y = \sqrt{3}\,x$ que tiene $x \ge 0$; la otra mitad, la que tiene $x \le 0$, es la semirrecta $\theta = 240^\circ$. Para describir solo la semirrecta, a la ecuación cartesiana hay que añadirle la condición sobre el signo de $x$.
La curva r = 2a cos θ
Esta es la primera curva en la que $r$ cambia con el ángulo (tomamos $a > 0$). Para reconocerla, la pasamos a cartesianas con un truco: multiplicamos los dos lados por $r$,
$$r^2 = 2a\,r\cos\theta,$$
y ahora todo se puede cambiar: $r^2$ por $x^2 + y^2$ y $r\cos\theta$ por $x$. Queda $x^2 + y^2 = 2ax$, y completando el cuadrado,
$$(x - a)^2 + y^2 = a^2.$$
Es una circunferencia de centro $(a;\ 0)$ y radio $a$: está sobre el eje polar y pasa por el polo. Su punto más lejano del polo es el de $\theta = 0^\circ$, donde $r = 2a$; ese es el otro extremo del diámetro que sale del polo.
¿Qué ángulos dibujan esta curva? Como $r \ge 0$, solo sirven los ángulos con $\cos\theta \ge 0$, los que van de $-90^\circ$ a $90^\circ$. Con $\theta = -90^\circ$ el punto está en el polo; al crecer el ángulo el punto recorre la mitad de abajo, llega a $r = 2a$ en $\theta = 0^\circ$, sube por la mitad de arriba y vuelve al polo en $\theta = 90^\circ$. Una sola pasada dibuja la circunferencia entera.
Al multiplicar por $r$ podría colarse el polo ($r = 0$) como solución nueva. Aquí no sobra: el polo ya estaba en la curva, porque $(0;\ 90^\circ)$ cumple $r = 2a\cos\theta$.
De la misma manera, $r = 2a\operatorname{sen}\theta$ se convierte en $x^2 + y^2 = 2ay$, que es la circunferencia de centro $(0;\ a)$ y radio $a$: la misma figura, girada un cuarto de vuelta, que alcanza su punto más alto, $r = 2a$, en $\theta = 90^\circ$.
¿Qué sistema conviene?
Ningún sistema es mejor en todo. Conviene el que hace sencilla la ecuación del objeto, y eso depende de dónde esté el punto de referencia:
- Lo que gira alrededor de un centro (el alcance de un radar, una pista circular con el origen en su centro, las semirrectas por las que se alejan los barcos) se describe mejor en polares: $r = a$ y $\theta = \alpha$ son ecuaciones de una sola letra.
- Lo que está organizado en filas y columnas, o las rectas que no pasan por el origen, se describen mejor en cartesianas. La recta horizontal $y = 3$, por ejemplo, en polares es $r\operatorname{sen}\theta = 3$, que es más incómoda de usar.
- La misma circunferencia puede ser sencilla o no según el origen: con el centro en el origen es $r = a$; con el polo sobre la circunferencia y el centro sobre el eje polar es $r = 2a\cos\theta$ (o $r = 2a\operatorname{sen}\theta$ si el centro está sobre el eje $y$); con el origen en cualquier otro lugar, la ecuación polar ya no es sencilla.
Ejemplo resuelto
De la ecuación polar r = 6 cos θ a la cartesiana
Halla la ecuación cartesiana de la curva polar r = 6 cos θ y di qué curva es.
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos los dos lados por $r$: $r^2 = 6\,r\cos\theta$. Cambiamos $r^2$ por $x^2 + y^2$ y $r\cos\theta$ por $x$, y pasamos todo al lado izquierdo de la ecuación $x^2 + y^2 = 6x$. Queda igualada a cero: $x^{2} + y^{2} - 6x$ $= 0$.
Completamos el cuadrado en $x$: la mitad de 6 es 3 y su cuadrado es 9, así que sumamos y restamos 9: $x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 9$ $= 0$.
Los tres primeros términos forman un cuadrado perfecto: $\left(x - 3\right)^{2} + y^{2} - 9$ $= 0$.
Pasamos el 9 al otro lado: la ecuación es $(x - 3)^2 + y^2 = 9$, la circunferencia de centro $(3;\ 0)$ y radio 3, que pasa por el polo.
Comprobamos con un punto. Para $\theta = 60^\circ$ la ecuación polar da: $6\operatorname{cos} 60^{\circ} = 3$
El punto polar $(3;\ 60^\circ)$ tiene que cumplir la ecuación cartesiana: $\left(3\operatorname{cos} 60^{\circ} - 3\right)^{2} + \left(3\operatorname{sen} 60^{\circ}\right)^{2} = 9$
Respuesta: $(x - 3)^2 + y^2 = 9$: la circunferencia de centro $(3;\ 0)$ y radio 3.
La curva r = 6 cos θ es la circunferencia de centro C(3; 0) y radio 3. Pasa por el polo O, y su punto más lejano del polo es A(6; 0), el de θ = 0°. El punto P(3/2; 3√3/2) es el de θ = 60°, a distancia 3 del polo.
Ejemplo resuelto
De una circunferencia cartesiana a su ecuación polar
Halla una ecuación polar de la circunferencia (x − 5)² + y² = 25.
Ver la solución paso a paso
Desarrollamos el cuadrado y escribimos todo igualado a cero. La ecuación de partida es $\left(x - 5\right)^{2} + y^{2} - 25$ $= 0$.
Al desarrollar, el 25 se cancela: $x^{2} + y^{2} - 10x$ $= 0$.
Ahora cambiamos $x^2 + y^2$ por $r^2$ y $x$ por $r\cos\theta$: $r^{2} - 10r \cdot \operatorname{cos} \theta$ $= 0$.
Sacamos $r$ como factor común: $r\left(r - 10\operatorname{cos} \theta\right)$ $= 0$.
Un producto vale cero si uno de los factores vale cero: $r = 0$, que es el polo, o $r = 10\cos\theta$. El polo ya está en la segunda curva, porque en $\theta = 90^\circ$ da: $10\operatorname{cos} 90^{\circ} = 0$
Comprobamos con un punto. Para $\theta = 60^\circ$, $r = 10\cos 60^\circ = 5$, y el punto polar $(5;\ 60^\circ)$ cumple la ecuación cartesiana: $\left(10\operatorname{cos} 60^{\circ} \cdot \operatorname{cos} 60^{\circ} - 5\right)^{2} + \left(10\operatorname{cos} 60^{\circ} \cdot \operatorname{sen} 60^{\circ}\right)^{2} = 25$
Respuesta: $r = 10\cos\theta$. Es de la forma $r = 2a\cos\theta$ con $a = 5$: centro $(5;\ 0)$ y radio 5.
Ejemplo resuelto
Hasta dónde ve el radar
El radar inventado de un puerto alcanza 4 km a la redonda. Un barco sale del radar y se aleja en línea recta por la semirrecta θ = 135°. Con el radar en el polo, ¿en qué punto sale el barco del alcance del radar? Da sus coordenadas polares y cartesianas, en km.
Ver la solución paso a paso
El borde del alcance es la circunferencia $r = 4$, y el camino del barco es la semirrecta $\theta = 135^\circ$. El barco sale del alcance donde se cortan: en el punto polar $(4;\ 135^\circ)$. En polares, la respuesta no necesita ninguna cuenta.
Para las cartesianas, la abscisa: $4\operatorname{cos} 135^{\circ} = -2\sqrt{2}$
Y la ordenada: $4\operatorname{sen} 135^{\circ} = 2\sqrt{2}$
Comprobamos que el punto está sobre el borde, $x^2 + y^2 = 16$: $\left(-2\sqrt{2}\right)^{2} + \left(2\sqrt{2}\right)^{2} = 16$
Y sobre la semirrecta, que está contenida en la recta $y = (\tan 135^\circ)\,x$ y tiene $x \le 0$. La pendiente es: $\operatorname{tan} 135^{\circ} = -1$
El punto tiene $x < 0$ e $y = -x$, así que está sobre la semirrecta. En cartesianas el camino del barco es «$y = -x$ con $x \le 0$», y el borde es «$x^2 + y^2 = 16$»: dos ecuaciones más largas para decir lo mismo que $\theta = 135^\circ$ y $r = 4$.
Respuesta: En el punto polar $(4;\ 135^\circ)$, que en cartesianas es $(-2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})$, unos $(-2{,}83;\ 2{,}83)$ km.
El alcance del radar es la circunferencia r = 4 y el camino del barco, la semirrecta θ = 135°. Se cortan en B(−2√2; 2√2), donde el barco sale del alcance.
Práctica
El borde del alcance de un radar inventado es la curva polar r = $40$, en kilómetros. ¿Cuál es su ecuación cartesiana?
Se cambia r por √(x² + y²) y se elevan al cuadrado los dos lados: x² + y² = 40² = 1600. Con x² + y² = 40 el radio sería √40, no 40.
¿Cuál es el radio de la circunferencia r = $10\operatorname{cos} \theta$?
Es de la forma r = 2a cos θ con 2a = 10, así que a = 5. Otra manera de verlo: en θ = 0° la curva llega a r = 10, que es el diámetro que sale del polo; el radio es la mitad.
¿Cuál es el centro de la circunferencia r = $6\operatorname{sen} \theta$?
r = 6 sen θ es de la forma r = 2a sen θ con a = 3, y se convierte en x² + y² = 6y, es decir, x² + (y − 3)² = 9. El centro es (0; 3). Con coseno el centro estaría sobre el eje x, en (3; 0).
¿Verdadero o falso? El punto de coordenadas polares (4; 60°) está sobre la curva r = 8 cos θ.
Para θ = 60° la ecuación da r = 8 cos 60° = 8 · 1/2 = 4, que es justo la distancia del punto. La pareja cumple la ecuación, así que el punto está en la curva.
¿Verdadero o falso? El punto cartesiano (√3; 1) está sobre la semirrecta θ = 30°.
El punto está en el I cuadrante y tan θ = 1/√3, así que su ángulo es tan⁻¹(1/√3) = 30°. Su distancia al polo es 2: en polares es (2; 30°).
¿Verdadero o falso? El punto cartesiano (−√3; −1) está sobre la semirrecta θ = 30°.
El cociente y/x también es 1/√3, pero el punto está en el III cuadrante. Está sobre la recta y = x/√3, en la otra mitad: la semirrecta θ = 210°. La semirrecta θ = 30° solo tiene puntos con x ≥ 0.
La pista de patinaje de un parque inventado es la circunferencia x² + y² = 2500, en metros, con el origen en la caseta del centro. ¿Qué valor de a hace que la ecuación polar r = a describa la misma pista?
x² + y² es r², así que r² = 2500 y, como r ≥ 0, r = 50. La pista es la curva r = 50: los puntos a 50 m de la caseta.
La circunferencia (x − 4)² + y² = 16 tiene una ecuación polar de la forma r = k cos θ. ¿Cuánto vale k?
Su centro es (4; 0) y su radio es √16 = 4, así que pasa por el polo. En θ = 0° la curva llega a su punto más lejano, a 4 + 4 = 8 del polo, y por eso k = 8: la ecuación es r = 8 cos θ, de la forma r = 2a cos θ con a = 4.
La semirrecta θ = 135° está contenida en una recta y = mx. ¿Cuánto vale la pendiente m?
m = tan 135° = −1. La recta es y = −x; la semirrecta θ = 135° es la mitad que tiene x ≤ 0, la del II cuadrante.
¿Qué valor de r da la curva r = 8 cos θ en la semirrecta θ = 45°? Redondea a dos cifras decimales.
r = 8 cos 45° = 8 · √2/2 = 4√2 ≈ 5,66. El punto de la curva sobre esa semirrecta es (4√2; 45°), que en cartesianas es (4; 4).
La torre de un radar está en el origen. ¿Qué sistema de coordenadas describe con la ecuación más sencilla una carretera recta que pasa a 3 km de la torre, sin pasar por ella?
Con un eje paralelo a la carretera, su ecuación cartesiana es y = 3. En polares sería r sen θ = 3, más incómoda. Las ecuaciones θ = α solo describen semirrectas que salen del polo, y esta carretera no pasa por él.
Reto
Abre el candado de las circunferencias.
Cada respuesta es una cifra del código. Recuerda que r = 2a cos θ es la circunferencia de centro (a; 0) y radio a.
Reto
¿Qué cuenta da un r negativo?
Las rondas son, en orden, las curvas r = 2 cos θ, r = 4 sen θ y r = 3 cos θ. Con r ≥ 0, un ángulo da un punto de la curva solo si el valor de r que sale es positivo o cero. En cada ronda, toca la cuenta que da un r negativo.
Cierre
En resumen
Una ecuación polar es una condición sobre r y θ; un punto está en su curva si alguna de sus parejas polares la cumple.
r = a es la circunferencia de centro en el polo y radio a; en cartesianas, x² + y² = a².
Con r ≥ 0, θ = α es una semirrecta que sale del polo; la recta y = (tan α)x la contiene, pero es la recta completa: incluye también la semirrecta opuesta, θ = α + 180°.
r = 2a cos θ es la circunferencia de centro (a; 0) y radio a, que pasa por el polo; se reconoce multiplicando por r y completando el cuadrado.
Conviene el sistema que hace sencilla la ecuación, y eso depende de dónde está el punto de referencia.
Vocabulario
- Ecuación polar
Una condición sobre r y θ. Su curva está formada por los puntos que tienen alguna pareja polar que la cumple.
- Semirrecta
La parte de una recta que empieza en un punto y sigue sin fin en una sola dirección.
- Ecuación cartesiana
Una condición sobre x e y que cumplen los puntos de una curva.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo describirían el borde de una pista circular con el origen en el centro y con el origen en un punto de la pista; anote sus propuestas para retomarlas al final.
- Explicación · 15 min — r = a y θ = α con la cuadrícula polar; insista en que θ = α es media recta. Resuelva en el tablero el ejemplo de r = 6 cos θ y dibuje la circunferencia marcando los puntos de −90°, 0°, 60° y 90°.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El intruso se puede proyectar: pida que antes de tocar digan el signo del coseno o del seno de cada ángulo.
- Cierre · 5 min — Vuelva a las propuestas del inicio y pida que cada estudiante escriba la ecuación de la pista en los dos casos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué θ = 60° y la recta y = √3 x no son la misma curva?
- En r = 2a cos θ, ¿qué pasa con el punto cuando θ se acerca a 90°?
- Al multiplicar una ecuación por r, ¿qué solución podría aparecer que antes no estaba? ¿Por qué aquí no sobra?
- Den un ejemplo de su entorno que describirían en polares y otro que describirían en cartesianas.
Errores típicos
- Pasar r = a a cartesianas como x² + y² = a, sin elevar a al cuadrado. Pida comprobar con un punto concreto: el punto (a; 0) tiene que cumplir la ecuación cartesiana.
- Creer que θ = α es una recta completa. Ubique en la cuadrícula polar varios puntos con θ = 60° y distintos r ≥ 0; nunca llegan al III cuadrante.
- Confundir el centro de r = 2a cos θ con (2a; 0). Recuerde que (2a; 0) es el punto más lejano del polo, el otro extremo del diámetro; el centro está en la mitad.
- Cambiar r cos θ por y y r sen θ por x. Repase con el ángulo de 0°: el punto está sobre el eje x y cos 0° = 1, así que r cos θ va con x.
Tarea sugerida
En papel milimetrado, tabular r = 4 cos θ para θ = −90°, −60°, −30°, 0°, 30°, 60° y 90°, ubicar los puntos en una cuadrícula polar y comprobar que quedan sobre la circunferencia de centro (2; 0) y radio 2. Después, escribir un objeto del colegio que convenga describir en polares y otro en cartesianas, y explicar por qué.