Coordenadas en el espacio
Lo que vas a aprender
- Ubicar un punto del espacio con sus coordenadas cartesianas (x; y; z).
- Calcular la distancia entre dos puntos del espacio y decidir si un punto está sobre una esfera.
- Describir un punto de una esfera con su latitud y su longitud y hallar sus coordenadas cartesianas.
- Comparar la distancia en línea recta entre dos puntos de una esfera con el camino por su superficie.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Para decir dónde está un dron que vuela sobre la cancha del colegio no bastan dos números: además de cuánto avanzar hacia el fondo y hacia un lado, hay que decir a qué altura está. El espacio en que vivimos tiene tres dimensiones, y para ubicar un punto en él hacen falta tres coordenadas.
Y para ubicar un punto sobre una pelota, un globo o cualquier objeto redondo, a veces es más cómodo no dar tres distancias sino dos ángulos: qué tan al norte o al sur está, y qué tanto hay que girar alrededor del eje. Es la idea de la latitud y la longitud, que vas a estudiar con un globo inventado.
Antes de empezar repasa el teorema de Pitágoras y la conversión de polares a cartesianas: $x = r\cos\theta$, $y = r\operatorname{sen}\theta$.
Explicación
Tres ejes perpendiculares
En el espacio se toman tres rectas numéricas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto, el origen $O$: el eje $x$, el eje $y$ y el eje $z$. Se acostumbra dibujarlas así: el eje $y$ hacia la derecha, el eje $z$ hacia arriba y el eje $x$ saliendo de la hoja, hacia quien mira, dibujado en diagonal.
Un punto $P$ se ubica con una terna $(x;\ y;\ z)$: desde el origen se avanzan $x$ unidades en la dirección del eje $x$, luego $y$ en la del eje $y$ y, por último, $z$ hacia arriba (o hacia abajo, si $z$ es negativa). Las tres coordenadas son las aristas de una caja con un vértice en $O$ y el vértice opuesto en $P$.
Cada pareja de ejes forma un plano coordenado. El plano $xy$, el «piso», es el de los puntos con $z = 0$; el plano $xz$ tiene $y = 0$, y el plano $yz$ tiene $x = 0$. Los tres planos dividen el espacio en ocho octantes, de la misma manera que los dos ejes del plano lo dividen en cuatro cuadrantes.
Los tres ejes del espacio. Para llegar a P se avanza x en la dirección del eje x, luego y en la del eje y, y después z hacia arriba, por las líneas punteadas. La línea tenue va del origen a la sombra de P en el piso, el plano xy.
La distancia entre dos puntos
En el plano, la distancia entre dos puntos sale del teorema de Pitágoras. En el espacio se usa dos veces. Toma $A(x_1;\ y_1;\ z_1)$ y $B(x_2;\ y_2;\ z_2)$. Primero, en el piso, la distancia entre las «sombras» de los dos puntos es $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Esa distancia y la diferencia de alturas $z_2 - z_1$ son los catetos de un segundo triángulo rectángulo, vertical, cuya hipotenusa es $AB$. Al aplicar Pitágoras otra vez, la raíz de adentro se cancela con el cuadrado:
$$d(A,\ B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.$$
En particular, la distancia de $P(x;\ y;\ z)$ al origen es $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
La esfera
Los puntos que están a una distancia $R$ del origen forman una esfera de centro $O$ y radio $R$. Elevando al cuadrado la distancia al origen se obtiene su ecuación:
$$x^2 + y^2 + z^2 = R^2.$$
Es la versión espacial de la circunferencia $x^2 + y^2 = R^2$, y de la curva polar $r = R$. Un punto está sobre la esfera si cumple la ecuación, dentro si $x^2 + y^2 + z^2 < R^2$ y fuera si es mayor.
Latitud y longitud: la idea de las coordenadas esféricas
Sobre una esfera, dar tres coordenadas es un desperdicio: si ya sabes que el punto está en la esfera de radio $R$, bastan dos ángulos. Para verlo usaremos un globo inventado de $20$ cm de radio, con el centro en el origen, el eje $z$ pasando por sus dos polos y el plano $xy$ cortándolo por el ecuador. Sobre el globo hay dibujadas dos familias de líneas:
- los meridianos, semicircunferencias que van de polo a polo. Uno de ellos, el que cruza el semieje $x$ positivo, es el meridiano de referencia;
- los paralelos, circunferencias horizontales, paralelas al ecuador.
La latitud $\varphi$ de un punto dice cuánto sube o baja desde el ecuador: es el ángulo, medido desde el centro, entre el plano del ecuador y el punto. Va de $90^\circ$ sur a $90^\circ$ norte; aquí el norte se cuenta positivo y el sur, negativo. La longitud $\theta$ dice cuánto hay que girar, alrededor del eje $z$, desde el meridiano de referencia hasta el meridiano del punto; el giro hacia el semieje $y$ positivo, el este, se cuenta positivo. En los mapas de la Tierra la longitud se da en grados este u oeste del meridiano de Greenwich; Colombia está al oeste, así que con esta convención su longitud es negativa.
Para pasar a cartesianas, corta el globo por el meridiano del punto. En ese corte aparece una circunferencia de radio $R$, y el punto sube un ángulo $\varphi$ desde el ecuador. Es la conversión polar de siempre: su altura es $z = R\operatorname{sen}\varphi$ y su distancia al eje $z$ es $R\cos\varphi$, que es el radio del paralelo por el que pasa. Ahora mira desde arriba: la sombra del punto en el piso está a distancia $R\cos\varphi$ del origen y girada un ángulo $\theta$. Otra vez polares, ahora con $r = R\cos\varphi$:
$$x = R\cos\varphi\cos\theta, \qquad y = R\cos\varphi\operatorname{sen}\theta, \qquad z = R\operatorname{sen}\varphi.$$
En algunos libros el ángulo vertical se mide desde el polo norte y no desde el ecuador; las fórmulas cambian, pero la idea es la misma: un radio y dos ángulos.
El globo cortado por el meridiano de referencia. Aquí el eje horizontal es el eje x y el vertical hace las veces del eje z. El punto P tiene latitud 30° norte: está a una altura de 10 cm y a 10√3 cm del eje, que es el radio de su paralelo. En punteado van el ecuador, de lado a lado, y el radio del paralelo de P.
Ejemplo resuelto
La distancia entre dos puntos del espacio
Halla la distancia entre los puntos A(1; 2; 3) y B(4; 6; 15).
Ver la solución paso a paso
Aplicamos la fórmula de la distancia, restando coordenada a coordenada:
$$\sqrt{\left(4 - 1\right)^{2} + \left(6 - 2\right)^{2} + \left(15 - 3\right)^{2}}$$
Las diferencias son 3, 4 y 12:
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}}$$
Sumamos los cuadrados, 9 + 16 + 144:
$$\sqrt{169}$$
Y sacamos la raíz:
$$13$$
Respuesta: $13$
Los puntos A(1; 2; 3) y B(3; 5; 9) en el espacio, cada uno con su caja punteada hasta los ejes. Gira la escena y mira el segmento que los une: de A a B se avanzan 2 en x, 3 en y y 6 en z, y la distancia es √(2² + 3² + 6²) = √49 = 7.
Ejemplo resuelto
Del globo a las coordenadas cartesianas
En el globo inventado de 20 cm de radio, un punto P tiene latitud 30° norte y longitud 60° este. Halla sus coordenadas cartesianas, en centímetros.
Ver la solución paso a paso
Primero, el corte por el meridiano. La distancia del punto al eje $z$, que es el radio de su paralelo, es $R\cos\varphi$: $20\operatorname{cos} 30^{\circ} = 10\sqrt{3}$
Su altura es $z = R\operatorname{sen}\varphi$: $20\operatorname{sen} 30^{\circ} = 10$
Ahora, desde arriba, la sombra del punto está a $10\sqrt{3}$ del origen, girada 60°. La abscisa: $10\sqrt{3} \cdot \operatorname{cos} 60^{\circ} = 5\sqrt{3}$
Y la ordenada: $10\sqrt{3} \cdot \operatorname{sen} 60^{\circ} = 15$
Comprobamos que el punto está sobre el globo, a 20 cm del centro: $\sqrt{\left(5\sqrt{3}\right)^{2} + 15^{2} + 10^{2}} = 20$
Respuesta: $P(5\sqrt{3};\ 15;\ 10)$, que es aproximadamente $(8{,}66;\ 15;\ 10)$ cm.
Ejemplo resuelto
Por dentro o por encima del globo
En el mismo globo de 20 cm de radio, compara la distancia en línea recta entre el polo norte N y el punto E del ecuador que está en el meridiano de referencia con el camino más corto entre ellos por la superficie, a lo largo del meridiano.
Ver la solución paso a paso
El polo norte está sobre el eje $z$, a 20 cm del centro: $N(0;\ 0;\ 20)$. El punto $E$ tiene latitud 0° y longitud 0°: está sobre el semieje $x$ positivo, $E(20;\ 0;\ 0)$.
La distancia en línea recta, que atraviesa el globo: $\sqrt{\left(20 - 0\right)^{2} + \left(0 - 0\right)^{2} + \left(0 - 20\right)^{2}} = 20\sqrt{2}$
En centímetros, aproximadamente: $28{,}28 < 20\sqrt{2} < 28{,}29$
Por la superficie, el camino va del ecuador al polo por el meridiano: es un cuarto de una circunferencia de radio 20. Su longitud es: $\frac{2\pi \cdot 20}{4} = 10\pi$
En centímetros, aproximadamente: $31{,}41 < 10\pi < 31{,}42$
El camino por encima mide unos 3 cm más que la línea recta: $3{,}1 < 10\pi - 20\sqrt{2} < 3{,}2$
Para un insecto que camina sobre el globo, lo que cuenta es el arco; la línea recta solo la recorrería un túnel.
Respuesta: En línea recta, $20\sqrt{2} \approx 28{,}28$ cm; por la superficie, $10\pi \approx 31{,}42$ cm.
Práctica
¿Cuál es la distancia entre los puntos (2; −1; 3) y (5; 3; 3)?
Las diferencias son 3, 4 y 0, así que d = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5. Los dos puntos tienen la misma altura z = 3: la distancia es la misma que entre sus sombras en el piso.
¿A qué distancia del origen está el punto (3; 4; 12)?
d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Con 19 se suman las coordenadas sin elevarlas al cuadrado, y con 5 se olvida la coordenada z.
¿Cuál es la distancia del origen al punto (1; 2; 3)? Redondea a dos cifras decimales.
d = √(1 + 4 + 9) = √14 ≈ 3,74. Como 14 no es un cuadrado perfecto, el valor exacto es √14.
¿Verdadero o falso? El punto (1; 2; 2) está sobre la esfera de centro en el origen y radio 3.
1² + 2² + 2² = 1 + 4 + 4 = 9 = 3². El punto cumple la ecuación x² + y² + z² = 9, así que está sobre la esfera.
¿Verdadero o falso? La distancia entre los puntos (1; 1; 1) y (2; 2; 2) es 3.
Cada diferencia es 1, así que d = √(1 + 1 + 1) = √3 ≈ 1,73. El 3 sale de sumar las diferencias sin elevarlas al cuadrado ni sacar la raíz.
El punto (3; 4; z) está a 13 unidades del origen. Marca todos los valores posibles de z.
Marca todas las que apliquen.
9 + 16 + z² = 169, así que z² = 144 y z = 12 o z = −12. Hay dos puntos: uno 12 unidades por encima del piso y otro 12 por debajo, a la misma distancia del origen.
En el globo inventado de 20 cm de radio, ¿cuál es la coordenada z, en centímetros, de un punto de latitud 30° sur?
La latitud sur se cuenta negativa: φ = −30°. Entonces z = 20 sen(−30°) = 20 · (−1/2) = −10. El punto está 10 cm por debajo del plano del ecuador.
En el globo inventado de 20 cm de radio, el paralelo de latitud 60° norte es una circunferencia. ¿Cuál es su radio, en centímetros?
El radio del paralelo es la distancia de sus puntos al eje: R cos φ = 20 cos 60° = 20 · 1/2 = 10. Cuanto más cerca del polo, más pequeño es el paralelo.
Un punto del globo inventado de radio $20$ cm tiene latitud $0^{\circ}$ y longitud $180^{\circ}$. ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas?
Latitud 0° quiere decir que el punto está en el ecuador, así que z = 0 y su distancia al eje es 20. Longitud 180° es media vuelta desde el meridiano de referencia: el punto queda sobre el semieje x negativo, en (−20; 0; 0). El punto (0; 0; −20) es el polo sur.
En el globo inventado de 20 cm de radio, dos puntos del ecuador tienen longitudes 0° y 180°. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre ellos, en centímetros?
Los puntos son (20; 0; 0) y (−20; 0; 0). La distancia es √(40² + 0² + 0²) = 40: son puntos opuestos del globo, y la recta que los une es un diámetro, el doble del radio.
En el globo inventado de 20 cm de radio, ¿cuánto mide, en centímetros, el camino más corto por la superficie entre los dos puntos del ecuador de longitudes 0° y 180°? Es media vuelta del ecuador. Redondea a dos cifras decimales.
El ecuador es una circunferencia de radio 20, de longitud 2π · 20 = 40π cm; media vuelta es 20π ≈ 62,83 cm. En línea recta, por dentro del globo, la distancia era 40 cm: el camino por la superficie es unos 22,83 cm más largo.
¿Qué figura forman todos los puntos del globo que tienen la misma latitud, por ejemplo 40° norte?
Con la latitud fija, la altura z = R sen φ y la distancia al eje R cos φ quedan fijas; solo cambia la longitud, que hace girar el punto alrededor del eje. Así se recorre una circunferencia horizontal de radio R cos φ, menor que R. Los meridianos son los puntos con la misma longitud.
Reto
Une cada distancia al origen con su valor.
Suma los cuadrados de las tres coordenadas y saca la raíz.
Reto
Abre el candado del globo.
Cada respuesta es una cifra del código. En un globo de radio R, la altura es R sen φ y el radio del paralelo es R cos φ.
Cierre
En resumen
En el espacio un punto se ubica con una terna (x; y; z) respecto de tres ejes perpendiculares; los planos coordenados dividen el espacio en ocho octantes.
La distancia entre dos puntos es √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²); sale de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras.
La esfera de centro en el origen y radio R tiene ecuación x² + y² + z² = R².
Sobre una esfera, un punto se describe con dos ángulos, la latitud φ y la longitud θ; sus coordenadas son x = R cos φ cos θ, y = R cos φ sen θ, z = R sen φ.
Entre dos puntos de una esfera, el camino por la superficie es más largo que la línea recta que la atraviesa.
Vocabulario
- Espacio tridimensional
El conjunto de los puntos que se ubican con tres coordenadas (x; y; z) respecto de tres ejes perpendiculares que se cortan en el origen.
- Plano coordenado
Cada uno de los tres planos que contienen dos de los ejes: el plano xy (z = 0), el plano xz (y = 0) y el plano yz (x = 0).
- Esfera
El conjunto de los puntos del espacio que están a una misma distancia R, el radio, de un punto fijo, el centro.
- Latitud
El ángulo que forma con el plano del ecuador la recta que va del centro de la esfera a un punto. Va de 90° sur a 90° norte.
- Longitud
El ángulo que hay que girar desde un meridiano de referencia, alrededor del eje que une los polos, para llegar al meridiano de un punto.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Tome una esquina del salón como origen y pida que ubiquen la lámpara o la esquina del tablero con tres medidas. Discuta por qué dos no bastan.
- Explicación · 15 min — Ejes, ternas y la distancia con dos veces Pitágoras (puede usar una caja de cartón y su diagonal). Luego, con un balón o una naranja, muestre ecuador, paralelos y meridianos y resuelva el ejemplo del globo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Pida que en cada pregunta del globo digan primero si el punto está arriba o abajo del ecuador y a qué lado del meridiano de referencia.
- Cierre · 5 min — Retome la comparación entre la línea recta y el camino por la superficie y pregunte cuándo importa cada una.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en el espacio la fórmula de la distancia tiene tres cuadrados?
- ¿Qué tienen en común todos los puntos con z = 0? ¿Y todos los puntos con x = 0?
- Sobre un globo, ¿qué es más largo: el ecuador o el paralelo de latitud 60°? ¿Cuántas veces?
- ¿Por qué para ubicar un punto sobre una esfera bastan dos números, si el espacio tiene tres dimensiones?
Errores típicos
- Olvidar la coordenada z al calcular la distancia. Use dos puntos que solo difieran en z, como (1; 2; 3) y (1; 2; 8): sin la z, la distancia daría cero.
- Sumar las diferencias sin elevarlas al cuadrado. Compare con el plano: entre (0; 0) y (3; 4) la distancia es 5, no 7.
- Usar R como radio de cualquier paralelo. Muestre en una naranja que los paralelos se achican hacia los polos; el radio del paralelo es R cos φ.
- Tomar positiva la latitud sur. Pida que digan si el punto queda arriba o abajo del ecuador antes de calcular z; en el hemisferio sur, z es negativa.
Tarea sugerida
Con un balón y una cinta métrica, medir el radio del balón (a partir de la medida de su contorno), marcar un ecuador y un polo con cinta de enmascarar y comparar la distancia del polo al ecuador medida por encima con la que se obtiene en línea recta con la fórmula. Escribir en qué se parecen y en qué se diferencian las dos medidas.