Diagramas de dispersión y correlación

¿Para qué sirve esto?

En la sala de profesores de un colegio inventado alguien dice: «los muchachos que leen por gusto escriben con menos errores de ortografía». Otro responde que eso es pura impresión. ¿Cómo se sale de la discusión? Con datos: se escoge a un grupo de estudiantes, se les pregunta cuánto leen y se les pone un dictado. Después se dibuja cada estudiante como un punto y se mira si la nube de puntos tiene una dirección.

Esa es la pregunta de esta unidad: ¿dos variables están relacionadas? Aparece en la salud, en el deporte, en el comercio y en las ciencias. En esta lección aprendes a plantear la pregunta, a planear la recolección de los datos, a dibujar el diagrama de dispersión y a leerlo sin caer en la trampa más común de la estadística: creer que si dos cosas van juntas, una causa la otra.

Antes de empezar repasa cómo se calcula una media y cómo se halla la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.

La pregunta y el plan de recolección

Una pregunta de asociación pregunta si los valores de una variable tienden a cambiar cuando cambian los de otra. «¿Los estudiantes que leen más por gusto cometen menos errores en un dictado?» es una pregunta de asociación entre dos variables cuantitativas: las horas de lectura a la semana y el número de errores.

Antes de recoger un solo dato se escribe el plan:

• Población: a quiénes se refiere la pregunta. Aquí, los estudiantes de 11.º del colegio.
• Muestra: el grupo que de verdad se estudia, escogido al azar para que no se cuelen solo los más juiciosos o solo los amigos de quien hace el estudio.
• Método: una encuesta (cuántas horas lees a la semana), una observación (el dictado, contando errores con los mismos criterios para todos) o un experimento simple, en el que el investigador decide el valor de una variable.
• Variables: qué se mide, en qué unidades y cuál va en cada eje.

Las conclusiones valen para la población solo si la muestra la representa bien: con ocho estudiantes de un solo curso no se puede hablar de todos los jóvenes del país.

El diagrama de dispersión

Cada estudiante da una pareja de datos $(x;\ y)$ y se dibuja como un punto. En el eje horizontal se pone la variable que se piensa que podría explicar a la otra (la lectura) y en el vertical la que se quiere explicar (los errores). Una hoja de cálculo hace el gráfico en segundos: se escriben las dos columnas y se elige el gráfico de dispersión, el que deja los puntos sueltos, sin unirlos.

Al mirar la nube de puntos se describen tres cosas:

• Dirección. Si la nube sube de izquierda a derecha, la correlación es positiva: los valores altos de $x$ tienden a ir con valores altos de $y$. Si baja, es negativa.
• Fuerza. Si los puntos están muy cerca de una recta, la relación lineal es fuerte; si forman una mancha ancha, es débil.
• Forma. Puede parecer una recta o una curva. Si los puntos forman una U o una loma, hay relación, pero no lineal.

Cuando la nube no muestra ninguna inclinación se habla de correlación nula. Ojo: eso quiere decir que no hay una tendencia lineal. Una nube en forma de U tiene correlación lineal casi nula y, sin embargo, $y$ depende muchísimo de $x$.

Los cuadrantes de las medias

Para decidir la dirección sin depender del ojo, se trazan una recta vertical en la media $\bar{x}$ y una horizontal en la media $\bar{y}$. El plano queda partido en cuatro cuadrantes. Un punto arriba a la derecha o abajo a la izquierda cumple que $x - \bar{x}$ y $y - \bar{y}$ tienen el mismo signo, y su producto es positivo. Un punto arriba a la izquierda o abajo a la derecha da un producto negativo. Si al sumar los productos de todos los puntos el resultado es positivo, la correlación es positiva; si es negativo, negativa. Esa suma es la semilla del coeficiente de correlación de la próxima lección.

La recta de tendencia

Si la nube parece una recta, se puede trazar a ojo una recta de tendencia que pase por el medio de los puntos. Su pendiente resume la relación en lenguaje lineal: «por cada hora más de lectura, el número de errores tiende a bajar en tanto». El signo de la pendiente es el de la correlación.

Correlación no es causalidad

Que dos variables vayan juntas no prueba que una cause la otra. Hay al menos tres explicaciones distintas para una correlación:

1. Una tercera variable las mueve a las dos. Esa variable de confusión no aparece en el gráfico, pero está detrás.
2. La dirección es la contraria: quizá no es que leer mejore la ortografía, sino que quien escribe bien disfruta más leyendo.
3. El azar: con pocos datos, dos variables sin relación pueden dibujar una nube inclinada.

Para hablar de causa hace falta un experimento bien diseñado, en el que se cambie a propósito una variable y se dejen iguales las demás. Un diagrama de dispersión solo dice que hay asociación, y es el primer paso para preguntarse por qué.

En resumen

• Una pregunta de asociación indaga si los valores de una variable cambian cuando cambian los de otra; antes de medir se definen población, muestra al azar, método y variables.

• En un diagrama de dispersión cada individuo es un punto (x; y), y la nube se describe por su dirección, su fuerza y su forma.

• Con las medias se parte el plano en cuadrantes; si la suma de los productos (x − x̄)(y − ȳ) es positiva, la correlación es positiva, y si es negativa, negativa.

• Una correlación lineal nula no quiere decir que no haya relación; puede haber una relación curva.

• Correlación no es causalidad; una tercera variable, la dirección contraria o el azar pueden explicarla.

Vocabulario

Diagrama de dispersión

Gráfico en el que cada individuo es un punto (x; y): x es el valor de una variable y y el de la otra.

Correlación positiva

Tendencia a que los valores altos de una variable vayan con valores altos de la otra; la nube de puntos sube de izquierda a derecha.

Correlación negativa

Tendencia a que los valores altos de una variable vayan con valores bajos de la otra; la nube de puntos baja de izquierda a derecha.

Variable de confusión

Una tercera variable que influye en las dos que se estudian y puede hacerlas parecer relacionadas entre sí.

Recta de tendencia

Recta que resume la dirección de una nube de puntos; su pendiente dice cuánto cambia y, en promedio, por cada unidad de x.