Coeficiente de correlación y recta de regresión
Lo que vas a aprender
- Calcular el coeficiente de correlación de Pearson de un conjunto pequeño de datos e interpretar su signo y su tamaño.
- Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados y usarla para predecir dentro del rango de los datos.
- Reconocer que un coeficiente cercano a cero no descarta una relación curva, y que un coeficiente alto no prueba una causa.
- Complementar la descripción de cada variable con su media, su desviación y su coeficiente de variación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección anterior decidiste si una nube de puntos sube o baja. Pero «sube» no basta para comparar: dos nubes pueden subir y una ser mucho más ordenada que la otra. Para decir qué tan fuerte es una relación lineal se usa un número, el coeficiente de correlación, y para resumirla y hacer predicciones se usa una recta calculada, la recta de regresión.
Con ellos un orientador puede decir, por ejemplo, cuántos aciertos en un simulacro suelen ir con cierta cantidad de horas de estudio, y también hasta dónde llega esa predicción y dónde deja de tener sentido.
Antes de empezar repasa la media, la desviación y el coeficiente de variación, y los cuadrantes de las medias de la lección anterior.
Explicación
Del signo al tamaño: el coeficiente de correlación
Recuerda la suma de productos $(x - \bar{x})(y - \bar{y})$ de todos los puntos. Su signo da la dirección, pero su tamaño depende de las unidades y de cuántos datos hay. Para tener una medida que no dependa de eso, se divide entre la raíz cuadrada del producto de las sumas de cuadrados de cada variable. Con las abreviaturas
$$S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}), \qquad S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2, \qquad S_{yy} = \sum (y - \bar{y})^2,$$
el coeficiente de correlación de Pearson es
$$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\, S_{yy}}}.$$
Si divides arriba y abajo entre $n$, aparecen las desviaciones que ya conoces: $r = \dfrac{S_{xy}/n}{\sigma_x\, \sigma_y}$. Por eso a $r$ no le importa si las desviaciones se calculan dividiendo entre $n$ o entre $n - 1$, siempre que se haga igual arriba y abajo. Al coeficiente de variación, en cambio, sí le importa, como se ve al final.
Cómo se lee r
- $r$ siempre está entre $-1$ y $1$.
- El signo es la dirección: positivo si la nube sube, negativo si baja.
- El tamaño $|r|$ es la fuerza de la relación lineal. $r = 1$ o $r = -1$ solo pasa cuando todos los puntos están exactamente sobre una recta. Como guía aproximada, un $|r|$ mayor que $0{,}8$ suele llamarse fuerte, entre $0{,}5$ y $0{,}8$ moderado, y menor que $0{,}5$ débil; no es una regla fija y depende del tema.
- $r$ no tiene unidades: no cambia si pasas las horas a minutos o los metros a centímetros.
Tres advertencias que valen más que la fórmula:
- $r$ cercano a cero no quiere decir «sin relación». Quiere decir «sin relación lineal». Los puntos pueden estar sobre una curva perfecta y dar $r = 0$, como verás en el último ejemplo. Por eso siempre se mira el diagrama antes de calcular.
- Un $r$ alto no prueba una causa. La tercera variable, la dirección contraria y el azar siguen ahí, aunque el número sea $0{,}99$.
- Un solo dato atípico puede subir o bajar mucho a $r$ cuando hay pocos datos.
La recta de regresión
Entre todas las rectas que se pueden trazar en la nube, ¿cuál es la mejor? Para cada punto, la distancia vertical entre el valor observado y el valor de la recta se llama residuo. La recta de mínimos cuadrados es la que hace más pequeña la suma de los cuadrados de los residuos. Su pendiente y su intercepto salen de las mismas sumas:
$$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}, \qquad \hat{y} = b\,x + a.$$
La segunda fórmula dice que la recta siempre pasa por el punto de las medias $(\bar{x};\ \bar{y})$. El sombrero de $\hat{y}$ recuerda que es una predicción, no un dato. La pendiente $b$ tiene el mismo signo que $r$ y sí tiene unidades: en el ejemplo de esta lección, aciertos por cada hora de estudio.
Predecir con cuidado
Una predicción dentro del rango de los datos (interpolación) es razonable si la relación es fuerte. Fuera de ese rango (extrapolación) nada garantiza que la tendencia siga: la recta no sabe que una prueba tiene un máximo de preguntas o que una planta deja de crecer.
La media, la desviación y el coeficiente de variación de cada variable
Antes de hablar de la relación conviene describir cada variable sola: su media, su desviación y su coeficiente de variación, $CV = \sigma / \bar{x}$. Como en todo el curso, $\sigma$ es la desviación poblacional, la que divide entre $n$. Con la muestral, que divide entre $n - 1$ (la de DESVEST o DESVEST.M en una hoja de cálculo y la tecla $s$ de muchas calculadoras), el CV sale un poco mayor; en una hoja de cálculo, la poblacional es DESVEST.P. El CV dice cuál de las dos variables está más dispersa en relación con su tamaño, aunque se midan en unidades distintas. La respuesta completa a una pregunta de asociación junta todo: cómo es cada variable, cómo es la nube, cuánto vale $r$ y qué dice la recta.
Seis estudiantes inventados: horas de estudio en la semana anterior a un simulacro (x) y aciertos en sus 20 preguntas (y), con la recta de regresión. La recta pasa por el punto de las medias, (5; 10), que no es un estudiante.
Ejemplo resuelto
El coeficiente de correlación paso a paso
Seis estudiantes inventados anotaron sus horas de estudio en la semana anterior a un simulacro (x) y sus aciertos en las 20 preguntas (y): (1; 5), (3; 7), (4; 8), (5; 12), (7; 11), (10; 17). Calcula el coeficiente de correlación.
Ver la solución paso a paso
La media de las horas: $\operatorname{media}\left(\left[1;\ 3;\ 4;\ 5;\ 7;\ 10\right]\right)$
$5$
La media de los aciertos: $\operatorname{media}\left(\left[5;\ 7;\ 8;\ 12;\ 11;\ 17\right]\right)$
$10$
Las distancias a la media son −4, −2, −1, 0, 2, 5 en x y −5, −3, −2, 2, 1, 7 en y. La suma de productos: $\left(1 - 5\right) \cdot \left(5 - 10\right) + \left(3 - 5\right) \cdot \left(7 - 10\right) + \left(4 - 5\right) \cdot \left(8 - 10\right) + \left(5 - 5\right) \cdot \left(12 - 10\right) + \left(7 - 5\right) \cdot \left(11 - 10\right) + \left(10 - 5\right) \cdot \left(17 - 10\right)$
$20 + 6 + 2 + 0 + 2 + 35$
$S_{xy} =$ $65$
La suma de cuadrados de x: $\left(1 - 5\right)^{2} + \left(3 - 5\right)^{2} + \left(4 - 5\right)^{2} + \left(5 - 5\right)^{2} + \left(7 - 5\right)^{2} + \left(10 - 5\right)^{2}$
$S_{xx} =$ $50$
La suma de cuadrados de y: $\left(5 - 10\right)^{2} + \left(7 - 10\right)^{2} + \left(8 - 10\right)^{2} + \left(12 - 10\right)^{2} + \left(11 - 10\right)^{2} + \left(17 - 10\right)^{2}$
$S_{yy} =$ $92$
Reemplazamos en la fórmula: $\frac{65}{\sqrt{50 \cdot 92}}$
$\frac{65}{\sqrt{4600}}$
Con la calculadora, r está entre 0,958 y 0,959:
$$0{,}958 < \frac{65}{\sqrt{4600}} < 0{,}959$$
Lo mismo sale con las desviaciones poblacionales, dividiendo $S_{xy}$ entre los 6 datos:
$$\frac{\frac{65}{6}}{σ\left(\left[1;\ 3;\ 4;\ 5;\ 7;\ 10\right]\right)σ\left(\left[5;\ 7;\ 8;\ 12;\ 11;\ 17\right]\right)} = \frac{65}{\sqrt{4600}}$$
Respuesta: r ≈ 0,96: en esta muestra hay una correlación lineal positiva y fuerte entre las horas de estudio y los aciertos.
Ejemplo resuelto
La recta de mínimos cuadrados
Con los mismos datos, halla la recta de regresión de los aciertos sobre las horas de estudio.
Ver la solución paso a paso
La pendiente es $S_{xy}$ dividido entre $S_{xx}$: $\frac{65}{50}$
$1{,}3$ aciertos por hora.
El intercepto es $\bar{y} - b\,\bar{x}$: $10 - 1{,}3 \cdot 5$
$3{,}5$
La recta es $\hat{y} = 1{,}3x + 3{,}5$. Comprobamos que pasa por el punto de las medias, (5; 10):
$$1{,}3 \cdot 5 + 3{,}5 = 10$$
El residuo del estudiante que estudió 5 horas y acertó 12 es lo observado menos lo predicho:
$$12 - \left(1{,}3 \cdot 5 + 3{,}5\right)$$
$2$: acertó 2 preguntas más de lo que predice la recta.
Respuesta: La recta de regresión es ŷ = 1,3x + 3,5. En esta muestra, cada hora más de estudio va acompañada, en promedio, de 1,3 aciertos más.
Ejemplo resuelto
Interpolar sí, extrapolar con cuidado
Con la recta ŷ = 1,3x + 3,5, predice los aciertos de un estudiante que estudia 6 horas y los de uno que estudia 15 horas.
Ver la solución paso a paso
Con 6 horas, dentro del rango de los datos (de 1 a 10 horas): $1{,}3 \cdot 6 + 3{,}5$
$11{,}3$ aciertos, es decir, unos 11.
Con 15 horas, fuera del rango: $1{,}3 \cdot 15 + 3{,}5$
$23$ aciertos.
Pero el simulacro tiene 20 preguntas, y la predicción las supera:
$$23 > 20$$
Respuesta: Con 6 horas la recta predice unos 11,3 aciertos, una predicción razonable. Con 15 horas predice 23, que es imposible: la recta no sabe que la prueba tiene un tope, y por eso no se extrapola.
Ejemplo resuelto
r = 0 con una relación perfecta
Un dron de juguete inventado sube y baja. Cada segundo, desde t = 0 hasta t = 6, se anota su altura en metros: 0; 5; 8; 9; 8; 5; 0. Calcula su coeficiente de correlación entre tiempo y altura.
Ver la solución paso a paso
La media del tiempo: $\operatorname{media}\left(\left[0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\right]\right)$
$3$
La media de la altura: $\operatorname{media}\left(\left[0;\ 5;\ 8;\ 9;\ 8;\ 5;\ 0\right]\right)$
$5$
La suma de productos: $\left(0 - 3\right) \cdot \left(0 - 5\right) + \left(1 - 3\right) \cdot \left(5 - 5\right) + \left(2 - 3\right) \cdot \left(8 - 5\right) + \left(3 - 3\right) \cdot \left(9 - 5\right) + \left(4 - 3\right) \cdot \left(8 - 5\right) + \left(5 - 3\right) \cdot \left(5 - 5\right) + \left(6 - 3\right) \cdot \left(0 - 5\right)$
$15 + 0 - 3 + 0 + 3 + 0 - 15$
$0$. Como el numerador de r es cero, r = 0.
Y sin embargo todos los puntos cumplen exactamente $h = 6t - t^2$. Por ejemplo, en t = 2:
$$6 \cdot 2 - 2^{2} = 8$$
Respuesta: r = 0, aunque la altura depende por completo del tiempo: la relación es una loma, no una recta. Un r cercano a cero solo descarta una relación lineal.
La altura del dron (y) contra el tiempo (x): los siete puntos están sobre y = 6x − x² y, sin embargo, r = 0.
Práctica
Calcula el coeficiente de correlación de los puntos (1; 2), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 5). Sus medias son 3 y 4. Escribe el resultado redondeado a la centésima.
S_xy = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6, S_xx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 y S_yy = 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6. Entonces r = 6 ÷ √60 ≈ 0,77: correlación positiva moderada.
Para los mismos puntos (1; 2), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 5), con medias 3 y 4, ¿cuál es la pendiente de la recta de regresión? Escríbela como decimal.
b = S_xy ÷ S_xx = 6 ÷ 10 = 0,6. El intercepto sería 4 − 0,6 · 3 = 2,2.
En un estudio inventado, S_xy = 30, S_xx = 20 y S_yy = 80. ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?
r = 30 ÷ √(20 · 80) = 30 ÷ √1600 = 30 ÷ 40 = 0,75. 1,5 es la pendiente 30 ÷ 20, que no es r; un r nunca pasa de 1.
En otro estudio inventado, S_xy = −48 y S_xx = 32. ¿Cuál es la pendiente de la recta de regresión? Escríbela como decimal.
b = S_xy ÷ S_xx = −48 ÷ 32 = −1,5. La pendiente es negativa, igual que la correlación.
La recta de regresión de unos datos tiene pendiente 2,5, y las medias son x̄ = 6 e ȳ = 20. ¿Cuál es el intercepto a?
La recta pasa por (x̄; ȳ), así que a = ȳ − b·x̄ = 20 − 2,5 · 6 = 20 − 15 = 5.
En una huerta escolar inventada, la recta de regresión entre los días desde la siembra (x) y la altura de unas plantas de maíz en centímetros (y) es $\hat{y} =$ $0{,}8x + 12$, calculada con plantas de entre 10 y 40 días. ¿Qué altura predice para una planta de 25 días?
ŷ = 0,8 · 25 + 12 = 20 + 12 = 32 cm. Es una interpolación: 25 días está dentro del rango de los datos.
En el ejemplo del simulacro, los aciertos fueron 5; 7; 8; 12; 11; 17. Con la desviación poblacional, la que divide entre el número de datos, ¿cuál es su coeficiente de variación, en porcentaje y redondeado a la décima?
La media es 10 y la varianza 92 ÷ 6, así que σ = √(92/6) ≈ 3,916. CV = 3,916 ÷ 10 ≈ 0,392, un 39,2 %. Con la desviación muestral, √(92/5) ≈ 4,290, saldría 42,9 %: por eso hay que decir cuál se usa. Las horas tienen un CV cercano al 57,7 %: en relación con su media, las horas varían más que los aciertos.
Los puntos (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) cumplen todos y = x², y sus medias son 0 y 2. ¿Verdadero o falso? Su suma de productos (x − x̄)(y − ȳ) es cero, así que su coeficiente de correlación es 0.
Los productos son −4, 1, 0, −1 y 4, que suman 0, y r = 0. Aun así, y depende por completo de x: la relación es una parábola, no una recta.
Los puntos (1; 1), (2; 3), (3; 2) tienen medias 2 y 2. Si x se pasa de horas a minutos, los puntos quedan (60; 1), (120; 3), (180; 2), con media de x igual a 120. ¿Verdadero o falso? El coeficiente de correlación no cambia.
En los dos casos r = 0,5: 1 ÷ √(2 · 2) y 60 ÷ √(7200 · 2) = 60 ÷ 120. Multiplicar x por 60 multiplica S_xy por 60 y √S_xx también por 60, y se cancelan. La pendiente sí cambia: pasa de 0,5 por hora a 0,5/60 por minuto.
Con los datos inventados de los seis estudiantes, r ≈ 0,96 entre horas de estudio y aciertos. ¿Cuál es la conclusión mejor sustentada?
r mide la fuerza de la asociación lineal en los datos observados. No es un porcentaje de estudiantes, no da una ley exacta y, sin un experimento, no prueba la causa; además, seis estudiantes son pocos para generalizar.
Un estudiante usa la recta del simulacro para decir que quien estudie 30 horas tendrá unos 42 aciertos. ¿Qué está mal?
1,3 · 30 + 3,5 = 42,5, imposible en una prueba de 20 preguntas. La recta resume los datos observados; fuera de su rango nada garantiza que la tendencia siga. Dentro del rango sí sirve, aunque x no sea un dato de la tabla.
Reto
Completa el análisis de un estudio inventado.
En un estudio inventado, S_xy = 40, S_xx = 25 y S_yy = 100, con medias x̄ = 4 e ȳ = 10. Elige el valor de cada hueco.
Reto
Une cada cálculo con su resultado.
Cada ficha de la izquierda es un coeficiente de correlación, una pendiente, un intercepto o una predicción.
Cierre
En resumen
El coeficiente de correlación r = S_xy ÷ √(S_xx · S_yy) está entre −1 y 1; su signo es la dirección y su tamaño la fuerza de la relación lineal.
r no tiene unidades y no cambia al cambiar las unidades de las variables.
La recta de mínimos cuadrados tiene pendiente b = S_xy ÷ S_xx y pasa por el punto de las medias, así que a = ȳ − b·x̄.
Se predice con la recta dentro del rango de los datos; extrapolar puede dar valores imposibles.
Un r cercano a cero no descarta una relación curva, y un r alto no prueba una causa.
Vocabulario
- Coeficiente de correlación
Número r entre −1 y 1 que mide qué tan cerca están los puntos de una recta y si esa recta sube o baja.
- Recta de regresión
La recta y = bx + a que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta.
- Residuo
La diferencia entre el valor observado de y y el que predice la recta para ese mismo x.
- Extrapolación
Usar la recta para predecir fuera del rango de los datos observados; es poco confiable.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre dos nubes que suben, una ordenada y otra dispersa, y pregunte cómo se podría poner un número a la diferencia.
- Explicación · 25 min — Construya en el tablero la tabla de distancias a la media, sus productos y sus cuadrados con el ejemplo del simulacro. Si hay computadores, que comprueben r y la recta en una hoja de cálculo con la línea de tendencia del gráfico de dispersión.
- Práctica · 25 min — Preguntas y retos en parejas con calculadora. Insista en mirar el diagrama antes de interpretar r.
- Cierre · 5 min — Con el ejemplo del dron, que expliquen con sus palabras por qué r = 0 no significa que no haya relación.
Preguntas para el salón
- ¿Puede r valer 1,2? ¿Qué tendría que pasar para que valiera exactamente −1?
- Si se cambian las horas por minutos, ¿qué cambia en la recta y qué no cambia en r?
- ¿Por qué la recta de regresión pasa siempre por el punto de las medias?
- ¿Qué pasaría con r si se agrega un estudiante que estudió 10 horas y acertó 2 preguntas?
Errores típicos
- Confundir la pendiente con el coeficiente de correlación. Muestre que la pendiente tiene unidades y puede pasar de 1, mientras que r no tiene unidades y está entre −1 y 1.
- Leer r = 0 como «no hay relación». Use el ejemplo del dron: una relación exacta con r = 0.
- Leer r = 0,96 como «el 96 % de los casos». Pida que digan qué unidades tendría ese porcentaje y de qué conjunto sería; r no cuenta individuos.
- Extrapolar con la recta sin revisar el rango de los datos. Pida siempre el rango de x antes de predecir, y que revisen si la predicción tiene sentido en el contexto.
- Concluir causalidad de un r alto. Pregunte qué tercera variable podría explicar la relación y qué experimento la pondría a prueba.
Tarea sugerida
Con cinco o seis parejas de datos inventados o recogidos en el curso (por ejemplo, estatura y largo del pie), calcular las medias, las desviaciones poblacionales y los coeficientes de variación de cada variable, el coeficiente de correlación y la recta de regresión, comprobarlos en una hoja de cálculo y escribir un párrafo que responda la pregunta de asociación sin afirmar una causa.