Probabilidad condicional

¿Para qué sirve esto?

La probabilidad de que llegues tarde al colegio no es la misma un día cualquiera que un día en que está lloviendo a cántaros. Cuando sabes algo de la situación, las probabilidades cambian. La probabilidad condicional es la herramienta para recalcular una probabilidad cuando tienes información nueva.

La usan los médicos al leer un examen, los meteorólogos al pronosticar, los aseguradores al fijar precios y cualquiera que quiera tomar una decisión con datos. Y tiene una trampa que engaña incluso a los adultos: confundir «la probabilidad de A sabiendo B» con «la probabilidad de B sabiendo A».

Antes de empezar repasa cómo se lee una tabla de doble entrada y qué son la intersección y el complemento de eventos.

Cuando ya se sabe algo

Un colegio inventado preguntó a sus 250 estudiantes de 10.º y 11.º si llegan en bus ($B$) y si llegaron tarde al menos una vez en el último mes ($T$). Estos son los resultados (inventados):

Si se escoge un estudiante al azar entre los 250, la probabilidad de que haya llegado tarde es la columna $T$ dividida entre el total. Pero supón que alguien te dice: «el estudiante escogido llega en bus». Ya no tiene sentido mirar a los 250: el estudiante está en la fila $B$, y en esa fila hay 120. De ellos, 36 llegaron tarde. Saber que ocurrió $B$ reduce el espacio muestral a los casos de $B$.

Esa es la probabilidad condicional de $T$ dado $B$, y se escribe $P(T \mid B)$. Contando en la tabla:

$$P(A \mid B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}.$$

Si en vez de conteos se tienen probabilidades, se divide numerador y denominador entre el total y queda la definición general:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad \text{con } P(B) > 0.$$

El orden importa: P(A|B) no es P(B|A)

En $P(T \mid B)$ el grupo de referencia son los que llegan en bus. En $P(B \mid T)$ el grupo de referencia son los que llegaron tarde. El numerador es el mismo, la casilla $B \cap T$, pero el denominador cambia, y con él el resultado. Confundirlas es un error con consecuencias: no es lo mismo «casi todos los que llegaron tarde vienen en bus» que «casi todos los que vienen en bus llegan tarde». La primera frase puede ser verdadera y la segunda falsa al mismo tiempo, como verás en los ejemplos.

La regla de la multiplicación

Si se despeja la definición, aparece una regla para calcular intersecciones:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B).$$

Es muy útil en los experimentos en etapas, como sacar dos balotas de una bolsa sin devolver la primera. La segunda extracción depende de lo que salió en la primera: si la primera fue roja, queda una roja menos y una balota menos en total.

Diagramas de árbol

En un experimento en dos etapas se dibuja un árbol. De la raíz salen las ramas de la primera etapa, con sus probabilidades. De cada una salen las ramas de la segunda etapa, con probabilidades condicionales: la de cada rama supone que ya ocurrió la rama de la que sale. Por ejemplo, para un día en un municipio inventado:

• Llueve ($L$), con probabilidad $0{,}3$.
• Dado que llueve, el bus llega tarde ($T$) con probabilidad $0{,}4$, y a tiempo con $0{,}6$.
• No llueve ($\bar{L}$), con probabilidad $0{,}7$.
• Dado que no llueve, llega tarde con probabilidad $0{,}1$, y a tiempo con $0{,}9$.

Tres reglas para leerlo:

1. Las ramas que salen de un mismo punto suman 1.
2. La probabilidad de un camino completo es el producto de sus ramas: es la regla de la multiplicación.
3. La probabilidad de un evento que aparece en varios caminos es la suma de esos caminos.

Con el árbol se puede incluso voltear la pregunta: si el bus llegó tarde, ¿qué tan probable es que haya llovido? Basta aplicar la definición: la probabilidad del camino «llueve y tarde» dividida entre la probabilidad total de «tarde».

Una pregunta antes de cada cálculo

Casi todos los errores de probabilidad condicional se evitan con una sola pregunta: ¿entre quiénes se escoge? Si la respuesta es «entre todos», se divide entre el total y se está calculando una probabilidad simple o una intersección. Si la respuesta es «entre los que cumplen tal condición», se divide entre ese grupo, y la probabilidad es condicional. La palabra «sabiendo», y también «de los que», «si» o «dado que», suele anunciar la condición.

En resumen

• P(A | B) es la probabilidad de A sabiendo que ocurrió B; en una tabla se cuenta solo dentro de B, y en general P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B).

• P(A | B) y P(B | A) tienen el mismo numerador pero distinto grupo de referencia, y en general son diferentes.

• La regla de la multiplicación, P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B), da la probabilidad de un camino en un experimento en etapas.

• En un árbol, las ramas de un mismo punto suman 1, un camino se multiplica y los caminos de un mismo evento se suman.

• Antes de calcular, pregunta siempre «¿entre quiénes?»: esa es la condición.

Vocabulario

Probabilidad condicional

P(A|B): la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ocurrió B. Se lee «probabilidad de A dado B».

Regla de la multiplicación

P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B): la probabilidad de que ocurran los dos eventos es la del primero por la del segundo dado el primero.

Diagrama de árbol

Esquema de ramas para un experimento en etapas; en cada rama va la probabilidad condicional de esa etapa.

Sin reemplazo

Extracción en la que lo que sale no se devuelve, así que cambian las probabilidades de la siguiente extracción.