Eventos independientes

¿Para qué sirve esto?

Una emisora juvenil inventada quiere saber si debe hacer un programa para hombres y otro para mujeres, o si basta con uno. La pregunta de fondo es: ¿la preferencia por los deportes o por la música depende del género? Si no depende, saber si el oyente es hombre o mujer no dice nada sobre lo que le gusta.

Esa idea, «saber una cosa no cambia la probabilidad de la otra», se llama independencia. Con ella se decide si dos variables de una encuesta están relacionadas, y también se calculan probabilidades de eventos que no se afectan entre sí, como dos semáforos que no están coordinados. En esta lección aprendes a comprobarla con la probabilidad condicional y a no confundirla con otra idea que suena parecido: que dos eventos no puedan ocurrir a la vez.

Antes de empezar repasa la probabilidad condicional, $P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B)$.

Qué quiere decir independiente

Dos eventos $A$ y $B$ son independientes si saber que ocurrió $B$ no cambia la probabilidad de $A$:

$$P(A \mid B) = P(A).$$

Si se reemplaza $P(A \mid B)$ por su definición y se despeja, aparece una forma equivalente que no necesita dividir:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$

Cualquiera de las dos sirve para comprobar. La segunda muestra además que la independencia es mutua: si $A$ no depende de $B$, $B$ tampoco depende de $A$. Y si $A$ y $B$ son independientes, también lo son sus complementos: $A$ y $\bar{B}$, $\bar{A}$ y $B$, $\bar{A}$ y $\bar{B}$.

Si la igualdad no se cumple, los eventos son dependientes: la información de uno cambia la probabilidad del otro.

Decidir con una tabla de contingencia

Una tabla de contingencia cruza dos variables cualitativas. Para saber si son independientes en el grupo estudiado, se compara la probabilidad de una categoría en cada fila o columna con su probabilidad en el total. Si los porcentajes son iguales en todas las columnas, las variables son independientes en ese grupo: la columna no dice nada sobre la fila. Si cambian, hay dependencia, y se puede describir: «entre los hombres, la preferencia por los deportes es mayor que en el total».

Antes de comparar, plantea la pregunta con claridad: qué eventos hay en la situación y cuál es la condición. «¿La preferencia depende del género?» se traduce en comparar $P(\text{deportes} \mid \text{hombre})$ con $P(\text{deportes})$. Con dos categorías en cada variable basta una comparación: si una columna tiene la misma proporción que el total, la otra también la tiene, porque el total es un promedio ponderado de las dos columnas, con el tamaño de cada una como peso.

Una advertencia honesta. En una encuesta real a una muestra, es casi imposible que los porcentajes coincidan exactamente, aunque en la población las variables sí sean independientes: el azar de quién cayó en la muestra produce diferencias pequeñas. Por eso, con una diferencia muy pequeña, lo prudente es decir que los datos no muestran una dependencia clara, no que la dependencia exista. Decidir cuándo una diferencia es «demasiado grande para ser azar» requiere pruebas estadísticas que se estudian más adelante. Y, como con la correlación, que dos variables sean dependientes no dice cuál causa a cuál, ni si alguna causa a la otra.

Independientes no es lo mismo que excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir a la vez: $P(A \cap B) = 0$. Mucha gente cree que eso los hace independientes, y es al revés. Si $A$ y $B$ son excluyentes y los dos tienen probabilidad positiva, saber que ocurrió $B$ te dice con certeza que $A$ no ocurrió: $P(A \mid B) = 0$, que es distinto de $P(A)$. Son dependientes. La exclusión es una relación muy fuerte entre los eventos; la independencia es la ausencia de relación.

• Excluyentes: no comparten resultados. Se reconoce mirando los resultados.
• Independientes: comparten resultados en la proporción justa para que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Se reconoce calculando.

Usar la independencia para calcular

Cuando se sabe por la situación que dos eventos son independientes (dos lanzamientos de una moneda, dos máquinas que funcionan por separado), la regla del producto da la probabilidad de que ocurran los dos. Y la probabilidad de que ocurra al menos uno sale del complemento: $1 - P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$, porque «ninguno de los dos» es la intersección de los complementos, que también son independientes.

Ojo con suponer independencia a la ligera. Dos días seguidos de lluvia, o dos preguntas de un examen sobre el mismo tema, suelen ser dependientes. La independencia se comprueba con datos o se justifica con la situación; no se supone porque es más fácil multiplicar.

En resumen

• A y B son independientes si P(A | B) = P(A), o lo que es lo mismo, si P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

• En una tabla de contingencia, dos variables son independientes en el grupo si la proporción de una categoría es la misma en cada fila o columna que en el total.

• En una muestra, una diferencia muy pequeña puede deberse al azar; y la dependencia, como la correlación, no dice qué causa qué.

• Excluyentes no es lo mismo que independientes; dos eventos excluyentes con probabilidades positivas son dependientes.

• Con eventos independientes, P(los dos) = P(A)·P(B) y P(al menos uno) = 1 − P(Ā)·P(B̄).

Vocabulario

Eventos independientes

A y B son independientes si saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro: P(A | B) = P(A), o lo que es lo mismo, P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

Eventos dependientes

Eventos que no son independientes: la información de uno cambia la probabilidad del otro.

Tabla de contingencia

Tabla de doble entrada que cruza dos variables cualitativas y muestra cuántos individuos hay en cada combinación.

Eventos mutuamente excluyentes

Eventos que no pueden ocurrir a la vez: P(A ∩ B) = 0. No es lo mismo que independientes.