Problemas de juntar, cambiar y comparar
Lo que vas a aprender
- Reconocer si un problema es de juntar, de cambiar o de comparar.
- Dibujar un diagrama de partes y todo o de dos barras antes de calcular.
- Decidir si se suma o se resta mirando qué se sabe y qué se busca, no una palabra suelta.
- Revisar si el resultado tiene sentido en la situación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda, en la finca y en el colegio aparecen problemas todo el tiempo. ¿Cuántos cuadernos llegaron en total? ¿Cuánta plata me queda? ¿Cuántos puntos más sacó el otro equipo?
Ya sabes sumar y restar números grandes. Lo difícil es otra cosa: saber cuál de las dos hacer. Hoy aprendes a mirar el problema con calma, a dibujarlo y a decidir.
Hay tres clases de problemas de sumar y restar: los de juntar, los de cambiar y los de comparar. Si sabes de qué clase es, ya tienes medio problema resuelto.
Explicación
Problemas de juntar
En un problema de juntar hay dos partes que forman un todo. Por ejemplo, los niños y las niñas de un colegio forman todos los estudiantes.
Se dibuja una barra larga para el todo. Debajo, la misma barra partida en dos pedazos: las partes.
- Si sabes las dos partes y buscas el todo, sumas.
- Si sabes el todo y una parte, y buscas la otra parte, restas.
El diagrama de partes y todo: arriba el todo; abajo, las dos partes que lo forman.
Ejemplo resuelto
Las frutas de la finca
En la finca de doña Marta recogieron 1345 naranjas y 2580 mandarinas. ¿Cuántas frutas recogieron?
Ver la solución paso a paso
Las naranjas y las mandarinas son las partes. Buscamos el todo: sumamos. $1345 + 2580$
Descomponemos: $\left(1000 + 2000\right) + \left(300 + 500\right) + \left(40 + 80\right) + \left(5 + 0\right)$
Sumamos cada lugar: $3000 + 800 + 120 + 5$
Recogieron $3925$ frutas.
¿Tiene sentido? El todo es mayor que cada parte: $3925 > 2580$
Respuesta: Recogieron 3925 frutas. Es más que cada parte, como debe ser.
Problemas de cambiar
En un problema de cambiar hay un antes y un después. Algo se gana o algo se pierde: llegan pasajeros al bus, se gasta plata en la tienda, se venden empanadas.
Lo puedes dibujar en la recta: un salto hacia adelante si se gana, y uno hacia atrás si se pierde.
¡Cuidado con las palabras! «Gastó» no siempre quiere decir restar. Si sabes lo que gastó y lo que le quedó, y buscas lo que tenía al principio, tienes que sumar. Piensa en la historia al revés: si le devuelven lo que gastó, vuelve a tener lo del principio.
Tomás tenía 2050 pesos. Gastó 850 y le quedaron 1200. El salto va hacia atrás.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto tenía Tomás?
Tomás gastó 850 pesos en la tienda y le quedaron 1200. ¿Cuánto tenía antes de entrar?
Ver la solución paso a paso
No sabemos el principio. Lo que tenía, menos lo que gastó, da lo que le quedó: $\square - 850 = 1200$
Contamos la historia al revés: a lo que le quedó le devolvemos lo que gastó. $\square = 1200 + 850$
Sumamos: $\square = 2050$
Comprobamos: $2050 - 850 = 1200$
Respuesta: Tomás tenía 2050 pesos. Dice «gastó», pero se resolvió sumando.
Problemas de comparar
En un problema de comparar hay dos cantidades separadas. No se juntan ni cambian. Se quiere saber cuánto más tiene una que la otra.
Se dibujan dos barras, una al lado de la otra. Lo que sobresale la barra grande es la diferencia. La diferencia se halla restando: el mayor menos el menor.
Fíjate: «¿cuántos más tiene la escuela de Pedro?» y «¿cuántos menos tiene la de Laura?» son la misma pregunta. Las dos se responden con una resta.
Otras veces sabes la barra pequeña y la diferencia, y buscas la grande. Entonces sumas: a la barra pequeña le pones lo que sobresale.
Los estudiantes de las dos escuelas. La barra de la escuela de Pedro sobresale 375.
Ejemplo resuelto
Comparar dos escuelas
La escuela de Pedro tiene 1240 estudiantes y la de Laura tiene 865. ¿Cuántos estudiantes menos tiene la escuela de Laura?
Ver la solución paso a paso
Comparamos. La diferencia es el mayor menos el menor: $1240 - 865$
Restar completando: de 865 a 900 hay 35, y de 900 a 1240 hay 340. $35 + 340$
La diferencia es $375$.
Comprobamos: si a la escuela de Laura le llegan 375 estudiantes, empata. $865 + 375 = 1240$
Respuesta: La escuela de Laura tiene 375 estudiantes menos.
Ejemplo resuelto
La trampa de la palabra «más»
Luisa ahorró 3450 pesos. Ahorró 1200 pesos más que su hermano. ¿Cuánto ahorró su hermano?
Ver la solución paso a paso
Dice «más», pero no se juntan. Luisa es la barra grande; su hermano, la pequeña. La diferencia es 1200: $\square + 1200 = 3450$
Para hallar la barra pequeña, a la grande le quitamos la diferencia: $\square = 3450 - 1200$
Restamos: $\square = 2250$
Respuesta: El hermano ahorró 2250 pesos. Si alguien suma y dice 4650, el hermano tendría más que Luisa, y el problema dice lo contrario.
¿Tiene sentido el resultado?
Cuando termines, lee otra vez la pregunta y mira tu respuesta. Hazte estas preguntas:
- En uno de juntar, ¿el todo me dio más grande que cada parte?
- Si busqué una parte, ¿me dio más pequeña que el todo?
- En uno de comparar, ¿la diferencia es más pequeña que la cantidad mayor?
- ¿Es un número que puede pasar de verdad? Un bus no lleva 3000 pasajeros.
Si algo no cuadra, vuelve al dibujo. Casi siempre el error fue sumar en vez de restar, o al revés.
Práctica
Un puesto del mercado vendió 1375 mangos el sábado y 1490 el domingo. ¿Cuántos mangos vendió en los dos días?
Es de juntar: las ventas de los dos días son las partes y buscas el todo. 1375 + 1490 = 2865.
En un colegio hay 1250 estudiantes. 680 son niñas. ¿Cuántos son niños?
Es de juntar, pero buscas una parte. Al todo le quitas la parte que sabes: 1250 − 680 = 570. Comprueba: 680 + 570 = 1250.
Un camión llevaba 2400 ladrillos. En la obra descargó 1350. ¿Cuántos ladrillos quedan en el camión?
Es de cambiar: se pierden ladrillos. El salto va hacia atrás: 2400 − 1350 = 1050.
Doña Rosa vendió 760 empanadas en la mañana y le quedaron 240 para la tarde. ¿Cuántas empanadas había hecho?
Dice «vendió», pero buscas lo que había al principio. Cuenta la historia al revés: 240 + 760 = 1000 empanadas.
Sara tenía 1850 pesos en la alcancía. Su abuela le regaló una plata y ahora tiene 5000. ¿Cuánto le regaló la abuela? $1850 + \square = 5000$
Es de cambiar y buscas el salto. De 1850 a 5000 hay 5000 − 1850 = 3150 pesos.
Un tanque tiene 3500 litros de agua y otro tiene 2750. ¿Cuántos litros menos tiene el segundo tanque?
Es de comparar: la diferencia es el mayor menos el menor, 3500 − 2750 = 750. Quien suma obtiene 6250, que es más que el tanque grande: no tiene sentido.
Mateo tiene 1530 láminas. Tiene 245 láminas más que su prima. ¿Cuántas láminas tiene su prima?
Dice «más», pero Mateo es la barra grande y su prima la pequeña. A la grande le quitas la diferencia: 1530 − 245 = 1285.
Pablo tiene 860 canicas. Su primo tiene 375 canicas más que él. ¿Cuántas canicas tiene su primo?
Es de comparar, y ahora buscas la barra grande: el primo tiene más. A la barra pequeña le sumas la diferencia: 860 + 375 = 1235.
Juan dice: «El todo es 4100 y una parte es 2300, así que la otra parte es 6400». ¿Es verdad que $4100 - 2300 = 6400$?
Es falso. Juan sumó. Una parte no puede ser más grande que el todo: el resultado no es plausible. La otra parte es 4100 − 2300 = 1800.
«En un bus había algunos pasajeros. Se bajaron 12 y quedaron 27.» ¿Qué dibujo representa este problema?
Es de cambiar: hay un antes que no sabemos, se pierden 12 y el después es 27. El salto termina en 27. Para hallar el principio, se suma: 27 + 12 = 39.
Camila calculó cuántos niños hay en su salón y le dio 2850. ¿Qué piensas de su resultado?
Un resultado se mira también con lo que sabemos del mundo. En un salón no caben 2850 niños. Algo salió mal en la cuenta o en la operación que eligió.
Reto
¿De qué clase es cada problema?
Pregúntate: ¿se juntan dos partes, algo se gana o se pierde, o se comparan dos cantidades separadas?
Reto
Completa el problema de comparar.
Primero piensa cuál es la barra grande y cuál la pequeña.
Cierre
En resumen
Hay tres clases de problemas de sumar y restar: juntar dos partes, cambiar una cantidad (ganar o perder) y comparar dos cantidades.
En los de juntar: si buscas el todo, sumas; si buscas una parte, restas.
En los de comparar, la diferencia es el mayor menos el menor, aunque la pregunta diga «más». Si buscas la cantidad mayor, a la menor le sumas la diferencia.
No elijas la operación por una palabra suelta. Haz el dibujo y mira qué sabes y qué buscas.
Al final, revisa si el resultado tiene sentido: el todo es mayor que cada parte.
Vocabulario
- Todo
La cantidad completa, cuando se juntan todas las partes. Siempre es la más grande.
- Parte
Un pedazo del todo. Cada parte es más pequeña que el todo.
- Diferencia
Lo que le sobra a la cantidad mayor cuando la comparamos con la menor. Se halla restando.
- Plausible
Un resultado que puede ser cierto en la situación. Si las partes salen más grandes que el todo, el resultado no es plausible.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lea en voz alta: «Luisa ahorró 3450 pesos, 1200 más que su hermano». Pregunte: ¿quién tiene más? Deje que voten si se suma o se resta, sin corregir todavía.
- Explicación · 20 min — Muestre las tres clases con tiras de papel: una tira partida en dos (juntar), una tira a la que se le pega o se le corta un pedazo (cambiar) y dos tiras lado a lado (comparar). Resuelva los cuatro ejemplos dibujando primero.
- Práctica · 15 min — En parejas: uno dibuja el diagrama y el otro decide la operación; luego cambian. Las cestas y los huecos, en grupo.
- Cierre · 5 min — Vuelva al problema de Luisa. Pregunte: ¿cómo saben, sin hacer la cuenta, que el hermano tiene menos de 3450?
Preguntas para el salón
- ¿Por qué una parte nunca puede ser más grande que el todo?
- Si un problema dice «gastó», ¿siempre hay que restar? Inventen uno donde haya que sumar.
- ¿Por qué «cuántos más» y «cuántos menos» se responden con la misma resta?
Errores típicos
- Elegir la operación por una palabra: sumar porque dice «más» o restar porque dice «gastó». Prohíba calcular antes de dibujar. Pida decir en voz alta qué se sabe (las partes, el todo, el antes, el después) y qué se busca.
- Sumar las dos cantidades en un problema de comparar (3500 + 2750 en vez de 3500 − 2750). Ponga dos tiras de papel lado a lado y pregunte qué pedazo responde la pregunta. Es el que sobresale, no las dos tiras juntas.
- Dar una parte mayor que el todo sin darse cuenta. Haga la pregunta de control al final de cada problema: ¿el todo es lo más grande? Escríbala en una esquina del tablero.
- En los problemas de cambiar con el principio desconocido, restar los dos números que aparecen. Actúe la historia con fichas: alguien tiene unas fichas escondidas, entrega algunas y muestra las que le quedan. ¿Cuántas tenía? Hay que juntar las dos.
Tarea sugerida
Con un adulto, inventar un problema de juntar, uno de cambiar y uno de comparar con precios de la tienda. Dibujar el diagrama de cada uno y resolverlo.