Grupos iguales y arreglos
Lo que vas a aprender
- Reconocer cuándo una situación tiene grupos iguales y escribirla como multiplicación.
- Leer 4 × 6 como 4 grupos de 6 y pasar de un producto a su suma repetida y al revés.
- Contar los objetos de un arreglo por filas o por columnas y ver que el orden de los factores no cambia el total.
- Distinguir un problema de «veces» de uno de «más».
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la feria del colegio hay juegos que se pagan con tiquetes. En el salón, los pupitres están en filas. En la tienda, los huevos vienen en cubetas.
En todos esos casos hay grupos que tienen lo mismo. Contarlos de uno en uno es lento. Con la multiplicación los cuentas de una vez.
En 2.º ya multiplicaste con las tablas del 2, 3, 4, 5 y 10. Hoy repasas qué quiere decir multiplicar y lo usas para resolver problemas.
Explicación
Grupos iguales
Doña Inés empacó mangos en bolsas. Puso la misma cantidad en cada bolsa. Mira el dibujo.
Hay 4 bolsas y cada una tiene 6 mangos. Decimos que hay 4 grupos de 6. Se escribe 4 × 6, y se lee «4 veces 6».
El primer número dice cuántos grupos hay. El segundo dice cuántos hay en cada grupo.
Cuatro bolsas con seis mangos cada una: 4 grupos de 6.
Ejemplo resuelto
Los mangos de doña Inés
Doña Inés tiene 4 bolsas con 6 mangos cada una. ¿Cuántos mangos tiene?
Ver la solución paso a paso
Podemos sumar los mangos de cada bolsa: $6 + 6 + 6 + 6$
Son 4 grupos iguales de 6. Eso es una multiplicación: $4 \times 6$
Doña Inés tiene $24$ mangos.
Respuesta: Tiene 24 mangos. La suma 6 + 6 + 6 + 6 y la multiplicación 4 × 6 cuentan lo mismo.
¡Los grupos tienen que ser iguales!
Multiplicar no es sumar cualquier cosa muchas veces. Multiplicar es juntar grupos que tienen lo mismo.
Si una bolsa tiene 5 mangos, otra 3 y otra 6, hay tres grupos, pero no son iguales. Ahí no sirve multiplicar. Hay que sumar.
Tres bolsas, pero no son iguales: 5, 3 y 6 mangos.
Ejemplo resuelto
Tres bolsas distintas
Otras tres bolsas tienen 5, 3 y 6 mangos. ¿Cuántos mangos hay? ¿Se puede escribir como 3 × 5?
Ver la solución paso a paso
Los grupos no son iguales, así que sumamos: $5 + 3 + 6$
Hay $14$ mangos.
Con 3 × 5 saldría otra cosa: $3 \times 5 \ne 14$
Respuesta: Hay 14 mangos. No se puede escribir como 3 × 5, porque las bolsas no tienen lo mismo.
Arreglos: filas y columnas
En el salón de Andrés los pupitres están en filas. Todas las filas tienen los mismos pupitres. Eso es un arreglo.
Puedes contar por filas: 4 filas de 5 pupitres, o sea 4 × 5. También puedes contar por columnas: 5 columnas de 4 pupitres, o sea 5 × 4.
Si giras el cuaderno, las filas se vuelven columnas. Los pupitres no cambian. Por eso 4 × 5 y 5 × 4 dan lo mismo. El orden de los factores no cambia el producto. No son dos cosas distintas: es el mismo arreglo, mirado de otro lado.
Los pupitres del salón de Andrés: 4 filas de 5, o 5 columnas de 4.
Ejemplo resuelto
Los pupitres del salón
El salón de Andrés tiene 4 filas con 5 pupitres cada una. ¿Cuántos pupitres hay?
Ver la solución paso a paso
Por filas: 4 filas de 5. $4 \times 5$
Por columnas: 5 columnas de 4. $5 \times 4$
De las dos maneras hay $20$ pupitres.
Respuesta: Hay 20 pupitres. 4 × 5 y 5 × 4 son el mismo arreglo, girado.
Son los pupitres del salón: 4 filas de 5. Arrastra la esquina y cámbialo a 5 filas de 4: siguen siendo 20 pupitres.
El diagrama de cajas iguales
Cuando no tienes los objetos delante, dibuja cajas iguales: una caja por cada grupo. Dentro de cada caja va lo mismo. Encima, una llave para el total.
Cinco entradas iguales a la casa del terror. El total son cinco veces el precio de una entrada.
Ejemplo resuelto
Las entradas de la feria
En la feria del colegio, la entrada a la casa del terror cuesta 4 tiquetes. Van 5 amigos. ¿Cuántos tiquetes pagan entre todos?
Ver la solución paso a paso
Hay 5 cajas iguales, una por amigo, y en cada caja van 4 tiquetes: $5 \times 4$
Lo podemos contar de 4 en 4: $4 + 4 + 4 + 4 + 4$
Pagan $20$ tiquetes.
Respuesta: Entre todos pagan 20 tiquetes.
¿«Veces» o «más»?
Lee con cuidado. «Luis tiene 3 veces las láminas de Ana» quiere decir que Luis tiene 3 grupos iguales a lo que tiene Ana: se multiplica.
«Luis tiene 3 más que Ana» quiere decir que Luis tiene lo de Ana y 3 encima: se suma.
No decidas por la palabra «más». Imagina los grupos: ¿hay grupos iguales repetidos, o solo unos pocos de más?
Práctica
Las estrellas de la cartelera, en grupos.
En la cartelera hay 3 grupos de 4 estrellas. ¿Cuántas estrellas hay?
Son 3 grupos de 4: 4 + 4 + 4 = 12. Con la multiplicación, 3 × 4 = 12.
¿Qué multiplicación cuenta lo mismo que $8 + 8 + 8$?
Son 3 grupos de 8: 3 × 8 = 24. 8 × 8 serían 8 grupos de 8, y 8 + 3 no es una multiplicación.
¿Qué número va en la casilla? $7 + 7 + 7 + 7 + 7 = \square \times 7$
Cuenta los grupos de 7: hay 5. Por eso 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 × 7 = 35.
Sofía dice que 3 × 4 y 4 × 3 son cosas distintas y dan distinto. ¿Es verdad que $3 \times 4 \ne 4 \times 3$?
Es falso. Dibuja un arreglo de 3 filas de 4. Si lo giras, quedan 4 filas de 3. Los puntos son los mismos: los dos dan 12.
La cubeta de huevos, ordenada en filas.
Una cubeta tiene 6 filas de 5 huevos. ¿Cuántos huevos tiene?
Es un arreglo de 6 filas de 5: 6 × 5 = 30. Por columnas sería 5 × 6, que también da 30.
En el bus del paseo hay 9 filas con 4 puestos cada una. ¿Cuántos puestos hay?
9 filas de 4: 9 × 4 = 36. Si te cuesta la tabla del 9, piensa en 4 × 9, que es lo mismo.
Cada vuelta en el carrusel de la feria cuesta 5 tiquetes. Mariana quiere dar 8 vueltas. ¿Cuántos tiquetes necesita?
Son 8 cajas iguales de 5 tiquetes: 8 × 5 = 40. Puedes contar de 5 en 5, ocho veces.
Pedro tiene 6 canicas. Su hermana tiene 4 veces las canicas de Pedro. ¿Cuántas canicas tiene su hermana?
«4 veces» son 4 grupos de 6: 4 × 6 = 24. Si sumas 6 + 4 = 10, contaste «4 más», que es otra cosa.
Ana tiene 5 colores. Luis tiene 3 colores más que Ana. ¿Cuántos colores tiene Luis?
«3 más» quiere decir lo de Ana y 3 encima: 5 + 3 = 8. Sería 15 si dijera «3 veces».
¿Qué situación se puede resolver con 6 × 3?
6 × 3 son 6 grupos de 3. Solo los paquetes de jugos tienen grupos iguales. Las otras se resuelven sumando o restando.
Felipe dice: «Multiplicar es sumar muchas veces, así que 4 + 7 + 2 es una multiplicación». ¿Qué le respondes?
Multiplicar es juntar grupos que tienen lo mismo. 4 + 7 + 2 no tiene grupos iguales: se suma y da 13.
Reto
Une cada suma con la multiplicación que cuenta lo mismo.
Cuenta cuántas veces se repite el número: esos son los grupos.
Reto
Abre el candado contando grupos.
Piensa en grupos iguales o en un arreglo.
Cierre
En resumen
Multiplicar es juntar grupos iguales. Si los grupos no tienen lo mismo, se suma.
4 × 6 se lee «4 grupos de 6» y es lo mismo que 6 + 6 + 6 + 6.
En un arreglo se cuenta por filas o por columnas. Girarlo no cambia el total: 4 × 5 = 5 × 4.
«3 veces» se multiplica; «3 más» se suma.
Vocabulario
- Grupos iguales
Grupos que tienen todos la misma cantidad. Solo así se puede multiplicar.
- Arreglo
Objetos puestos en filas y columnas, con la misma cantidad en cada fila. Como los pupitres del salón.
- Factor
Cada número que se multiplica. En 4 × 6, los factores son 4 y 6.
- Producto
El resultado de una multiplicación. En 4 × 6 = 24, el producto es 24.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Ponga en la mesa 4 vasos con 6 tapas cada uno y otros 3 vasos con 5, 3 y 6 tapas. Pregunte en qué caso se puede multiplicar y por qué.
- Explicación · 20 min — Arme con fichas un arreglo de 4 filas de 5 sobre una hoja. Gire la hoja frente al grupo y pida contar de nuevo. Dibuje el diagrama de cajas iguales para las entradas de la feria.
- Práctica · 15 min — En parejas: uno arma un arreglo con fichas y el otro escribe las dos multiplicaciones. Luego las preguntas. El dominó y el candado, en grupo.
- Cierre · 5 min — Escriba en el tablero «3 veces» y «3 más» con el mismo número de Ana. Pida a dos niños que lo muestren con fichas.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 5 + 3 + 6 no se puede escribir como una multiplicación?
- Si giro el arreglo, ¿cambia el número de pupitres? ¿Qué cambia?
- Inventen una situación del colegio que se resuelva con 6 × 3.
Errores típicos
- Creer que multiplicar es sumar cualquier cosa muchas veces, sin ver que los grupos deben ser iguales. Antes de escribir el ×, pida señalar los grupos y decir cuánto tiene cada uno. Si alguno es distinto, no se multiplica.
- Creer que 3 × 4 y 4 × 3 son distintos y dan distinto. Arme el arreglo con fichas en una hoja y gírela. Los mismos objetos, contados de otra manera.
- Resolver «4 veces las canicas de Pedro, que tiene 6» sumando 6 + 4. Pida dibujar los grupos: 4 cajas iguales con 6 cada una. Compare con «4 más», donde solo se agregan 4 sueltos.
- Confundir cuál número son los grupos y cuál lo que hay en cada grupo al leer 4 × 6. Lea siempre en voz alta «4 grupos de 6» y dibuje primero los grupos vacíos, después lo de adentro.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en la casa o en la tienda tres cosas que vengan en filas o en grupos iguales (huevos, gaseosas, baldosas). Escribir para cada una la multiplicación y el total.