¿Cuántas combinaciones hay?
Lo que vas a aprender
- Hacer una lista ordenada, una tabla o un diagrama de árbol con todas las combinaciones de dos o tres cosas.
- Calcular el número de combinaciones con una multiplicación.
- Revisar si una lista de combinaciones está completa y sin repetidas.
- Resolver problemas de cajas y paquetes con una multiplicación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la heladería eliges un sabor y un cono. En el restaurante escolar eliges sopa, seco y jugo. Para el partido del recreo eliges camiseta y pantaloneta.
¿Cuántas maneras distintas hay de elegir? Si las cuentas a la loca, repites alguna o te saltas otra. Hoy aprendes a contarlas todas, sin repetir, y a ver que el total sale de una multiplicación.
Explicación
Una lista en orden
El equipo de Valeria tiene 3 camisetas (roja, azul y blanca) y 2 pantalonetas (negra y gris). Un uniforme es una camiseta con una pantaloneta. ¿Cuántos uniformes distintos hay?
El truco es no saltar. Deja fija la camiseta roja y recorre todas las pantalonetas: roja con negra, roja con gris. Después cambia a la azul y haz lo mismo. Después la blanca.
Así no repites ninguno y no se te queda ninguno por fuera. El diagrama de árbol muestra lo mismo con ramas.
El árbol de los uniformes: de cada camiseta salen dos ramas, una por pantaloneta.
Ejemplo resuelto
Los uniformes de Valeria
Con 3 camisetas y 2 pantalonetas, ¿cuántos uniformes distintos se pueden armar?
Ver la solución paso a paso
En el árbol, cada camiseta tiene 2 ramas. Contamos las puntas: $2 + 2 + 2$
Son 3 grupos iguales de 2. Eso es una multiplicación: $3 \times 2$
Se pueden armar $6$ uniformes.
Ojo: no es sumar las camisetas y las pantalonetas. Eso daría otra cosa: $3 + 2 \ne 6$
Respuesta: Hay 6 uniformes distintos: 3 × 2 = 6.
Una tabla
En la heladería hay 4 sabores (fresa, mora, vainilla y chocolate). El helado se sirve en cono o en vaso. Una tabla ayuda: una fila por sabor y una columna por recipiente. Cada casilla es una combinación.
| Cono | Vaso | |
|---|---|---|
| Fresa | fresa en cono | fresa en vaso |
| Mora | mora en cono | mora en vaso |
| Vainilla | vainilla en cono | vainilla en vaso |
| Chocolate | chocolate en cono | chocolate en vaso |
La tabla es un arreglo: filas por columnas. Por eso el total es una multiplicación.
Ejemplo resuelto
Los helados
Hay 4 sabores de helado y 2 maneras de servirlo. ¿Cuántos helados distintos se pueden pedir?
Ver la solución paso a paso
La tabla tiene 4 filas y 2 columnas: $4 \times 2$
Se pueden pedir $8$ helados distintos.
Respuesta: Hay 8 helados distintos, uno por cada casilla de la tabla.
Tres cosas para elegir
El almuerzo del colegio trae sopa, seco y jugo. Hay 2 sopas, 3 secos y 2 jugos.
Primero junta la sopa con el seco, como con los uniformes. Después, a cada una de esas parejas le pones cada jugo. En el árbol, cada punta vuelve a abrir ramas, una por jugo.
Ejemplo resuelto
El almuerzo del colegio
Hay 2 sopas, 3 secos y 2 jugos. Un almuerzo lleva una sopa, un seco y un jugo. ¿Cuántos almuerzos distintos hay?
Ver la solución paso a paso
Sopa con seco: $2 \times 3$
Salen $6$ parejas de sopa y seco.
Cada pareja va con cada uno de los 2 jugos: $6 \times 2$
Hay $12$ almuerzos distintos.
Respuesta: Hay 12 almuerzos distintos: 2 × 3 × 2 = 12.
Cajas y paquetes
La multiplicación también cuenta cosas empacadas. Si una caja trae 6 jugos, 7 cajas traen 7 grupos de 6. No hace falta abrir las cajas para contar.
Práctica
En la panadería hay 3 tipos de pan y 4 rellenos. Un sándwich lleva un pan y un relleno. ¿Cuántos sándwiches distintos se pueden armar?
Cada pan va con cada relleno: 3 × 4 = 12. Puedes hacer una tabla de 3 filas y 4 columnas.
Sofía tiene 2 faldas y 5 blusas. ¿Cuántas combinaciones de falda y blusa puede hacer?
Cada falda va con cada blusa: 2 × 5 = 10. Si sumas 2 + 5 = 7, cuentas prendas, no combinaciones.
En la pizzería del barrio hay 2 masas, 3 sabores y 3 tamaños. Una pizza lleva una masa, un sabor y un tamaño. ¿Cuántas pizzas distintas se pueden pedir?
Masa con sabor: 2 × 3 = 6. Cada una de esas va en 3 tamaños: 6 × 3 = 18.
Las bicicletas de un juego llevan una placa con una letra, A o B, y un número del 1 al 5. ¿Cuántas placas distintas hay?
Hay 2 letras y 5 números. Cada letra va con cada número: 2 × 5 = 10, de A1 a B5.
Lina dice que con 3 camisetas y 3 pantalonetas arma 6 uniformes. ¿Es verdad que $3 \times 3 = 6$?
Es falso: cada camiseta va con 3 pantalonetas, así que son 3 × 3 = 9 uniformes. Lina sumó 3 + 3.
Con 4 sabores de helado y varios tipos de cono se pueden pedir 12 helados distintos. ¿Cuántos tipos de cono hay? $4 \times \square = 12$
4 × 3 = 12, así que hay 3 tipos de cono. También: 12 ÷ 4 = 3.
Una caja trae 6 jugos. ¿Cuántos jugos hay en 7 cajas?
Son 7 grupos de 6: 7 × 6 = 42.
Cada bandeja de huevos tiene 4 filas de 5 huevos. ¿Cuántos huevos hay en 3 bandejas?
Una bandeja tiene 4 × 5 = 20 huevos. Tres bandejas: 3 × 20 = 60.
Tomás tiene camiseta roja o azul y pantaloneta negra, gris o blanca. Hizo esta lista de uniformes: roja y negra, roja y gris, azul y negra, roja y negra, azul y blanca. ¿Está completa?
Con 2 camisetas y 3 pantalonetas hay 2 × 3 = 6 uniformes. Una lista en orden lo muestra: primero la roja con las tres, después la azul con las tres.
¿Qué forma de contar las combinaciones ayuda a no repetir ninguna y a no dejar ninguna por fuera?
Una lista en orden, una tabla o un árbol recorren todo sin saltar. Así no se repite ni se pierde ninguna.
Reto
Abre el candado contando combinaciones.
Cada cosa de un grupo va con cada cosa del otro: multiplica.
Reto
Completa lo que pasa en la heladería.
Cada vez que se agrega una opción nueva, se vuelve a multiplicar.
Cierre
En resumen
Una combinación junta una cosa de cada grupo.
Para contarlas todas sin repetir: lista en orden, tabla o diagrama de árbol.
El total es una multiplicación: 3 camisetas y 2 pantalonetas dan 3 × 2 = 6 uniformes, no 3 + 2.
Con tres grupos se multiplica dos veces: 2 × 3 × 2 = 12.
Vocabulario
- Combinación
Una manera de juntar una cosa de cada grupo. Camiseta roja con pantaloneta negra es una combinación.
- Lista ordenada
Una lista que deja fija una cosa y recorre todas las demás antes de cambiarla.
- Diagrama de árbol
Un dibujo con ramas: de cada cosa del primer grupo salen ramas para cada cosa del segundo grupo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Recorte en papel 3 camisetas y 2 pantalonetas de colores. Pida a varios niños armar uniformes distintos en el tablero sin orden, y pregunte si ya están todos.
- Explicación · 20 min — Rehaga la lista en orden y dibuje el árbol. Luego la tabla de los helados y el árbol del almuerzo con tres niveles.
- Práctica · 15 min — En parejas, las preguntas. Pida dibujar la tabla o el árbol al menos en una. El candado y los huecos, en grupo.
- Cierre · 5 min — Lea la lista de Tomás y pida al grupo encontrar la repetida y las que faltan.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 3 camisetas y 2 pantalonetas no dan 5 uniformes?
- ¿Cómo sabes que tu lista no tiene repetidas ni le falta ninguna?
- Si llega una camiseta nueva, ¿cuántos uniformes nuevos aparecen?
Errores típicos
- Contar dos veces la misma combinación o dejar alguna por fuera al listar sin orden. Pida dejar fija una cosa del primer grupo y recorrer todo el segundo grupo antes de cambiar. Revisar con la multiplicación.
- Sumar las cantidades de cada grupo (3 + 2) en lugar de multiplicar. Dibuje el árbol: de cada camiseta salen 2 ramas, y las puntas son 2 + 2 + 2.
- Con tres grupos, multiplicar solo dos de ellos. Pida extender el árbol un nivel más y contar las puntas finales.
- Creer que «roja con negra» y «negra con roja» son dos uniformes distintos. Pregunte si cambia lo que se pone el jugador. Es la misma combinación.
Tarea sugerida
Con un adulto, contar cuántas combinaciones de camiseta y pantalón (o falda) se pueden hacer con la ropa de la casa. Hacer la lista en orden y comprobarla con una multiplicación.