Comparar fracciones y razones
Lo que vas a aprender
- Comparar fracciones con el mismo denominador y fracciones con numerador 1 usando tiras.
- Reconocer en una tira fracciones que valen lo mismo, como 1/2, 2/4 y 4/8.
- Usar una razón para comparar dos cantidades («por cada 2 niñas hay 3 niños»).
- Distinguir la comparación de una parte con el todo («2 de cada 5», la fracción 2/5) de la comparación entre dos partes («2 a 3»).
Para qué
¿Para qué sirve esto?
¿Qué prefieres: un cuarto de chocolatina o un octavo de la misma chocolatina? Muchos niños escogen el octavo porque «8 es más que 4». Y se quedan con el pedazo más pequeño.
Hoy aprendes a comparar fracciones mirando el tamaño de las partes. También aprendes a comparar dos grupos, como las niñas y los niños del salón, con una razón.
Explicación
Mismo denominador: cuenta las partes
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, las partes son del mismo tamaño. Una torta partida en octavos tiene todos los pedazos iguales.
Entonces gana la que tiene más partes: la del numerador más grande. Cinco octavos es más que tres octavos, porque son más pedazos del mismo tamaño.
La misma torta partida en octavos: arriba, tres octavos; abajo, cinco octavos.
Ejemplo resuelto
Los pedazos de torta
Lina se comió tres octavos de una torta y Felipe, cinco octavos de otra torta igual. ¿Quién comió más?
Ver la solución paso a paso
Las dos fracciones son octavos: los pedazos son del mismo tamaño. Comparamos cuántos pedazos comió cada uno: $3 < 5$
Felipe comió más pedazos del mismo tamaño. Entonces $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$
Respuesta: Felipe comió más: 3/8 es menor que 5/8.
Numerador 1: mira el tamaño del pedazo
Ahora compara un pedazo de cada uno: un cuarto y un octavo. Las dos fracciones tienen numerador 1. Lo que cambia es el tamaño del pedazo.
Mientras más partes tiene la unidad, más pequeña es cada parte. Si repartes una chocolatina entre 8 niños, a cada uno le toca menos que si la repartes entre 4.
Por eso un octavo es menor que un cuarto, aunque 8 sea mayor que 4. El 8 no dice que el pedazo es grande. Dice que la chocolatina se partió en muchos pedazos.
La misma chocolatina: arriba partida en cuartos, abajo en octavos. El octavo pintado es más pequeño.
Ejemplo resuelto
¿Un cuarto o un octavo?
Tomás dice que un octavo de chocolatina es más que un cuarto, porque 8 es mayor que 4. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Es cierto que $8 > 4$. Pero el 8 cuenta en cuántas partes se partió la chocolatina.
Con 8 partes, cada parte es más pequeña que con 4. Mira la tira: el octavo pintado es la mitad del cuarto. Entonces $\frac{1}{8} < \frac{1}{4}$
Respuesta: Tomás no tiene razón: un octavo es menor que un cuarto.
Fracciones que valen lo mismo
Mira estas tres tiras. Son la misma cinta. En la primera está pintado un medio. En la segunda, dos cuartos. En la tercera, cuatro octavos. ¡Lo pintado mide lo mismo en las tres!
Cuando dos fracciones cubren lo mismo de la unidad, son equivalentes: valen igual, aunque se escriban distinto. Un medio es lo mismo que dos cuartos.
Un medio, dos cuartos y cuatro octavos de la misma cinta: lo pintado mide lo mismo.
Ejemplo resuelto
La cinta de Paula
Paula pintó la mitad de una cinta partida en cuartos. ¿Cuántos cuartos pintó? Si la cinta estuviera partida en octavos, ¿cuántos octavos serían?
Ver la solución paso a paso
En la tira de cuartos, la mitad llega hasta el segundo cuarto: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$
En la tira de octavos, la mitad llega hasta el cuarto octavo: $\frac{2}{4} = \frac{4}{8}$
Respuesta: Pintó 2 cuartos. En octavos serían 4 octavos: 1/2 = 2/4 = 4/8.
La cinta tiene la mitad pintada. Parte cada pedazo en 2: lo pintado son 2/4. Pártelo en 4: son 4/8. Lo pintado no cambia de tamaño.
La razón: comparar dos cantidades
Una razón compara dos cantidades. En una mesa del salón hay 2 niñas y 3 niños. Podemos decir: «por cada 2 niñas hay 3 niños». Se dice «2 a 3»: compara un grupo con otro grupo.
También podemos comparar una parte con el todo. En la mesa hay 5 niños en total. Las niñas son «2 de cada 5». Cuando la razón compara la parte con el todo, se escribe como fracción: las niñas son $\frac{2}{5}$ de la mesa.
Ojo: $\frac{2}{3}$ no es la fracción de niñas. El 3 son los niños, no el total. Para la fracción, el denominador siempre es el todo.
La mesa: en el primer grupo, las 2 niñas; en el segundo, los 3 niños.
Ejemplo resuelto
La mesa del salón
En una mesa hay 2 niñas y 3 niños. ¿Cuál es la razón de niñas a niños? ¿Qué fracción de la mesa son niñas?
Ver la solución paso a paso
La razón compara las niñas con los niños: 2 a 3. Por cada 2 niñas hay 3 niños.
Para la fracción necesitamos el todo. Contamos a todos los de la mesa: $2 + 3$
En la mesa hay $5$ estudiantes en total.
Las niñas son 2 de cada 5: $\frac{2}{5}$ de la mesa.
Respuesta: La razón de niñas a niños es 2 a 3. Las niñas son 2/5 de la mesa.
Parte, igual, mayor y menor
Con fracciones dices tres cosas distintas. Una parte del todo: tres cuartos de la arepa. Una igualdad: un medio es igual a dos cuartos. Un orden: un tercio es mayor que un quinto. Antes de responder, mira cuál de las tres te preguntan.
Práctica
¿Cuál es el pedazo más grande de la misma arepa: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{3}$ o $\frac{1}{8}$?
Con 3 partes, cada parte es más grande que con 5 o con 8. Un tercio es el pedazo más grande.
Juan dice que un octavo de pizza es más que un cuarto, porque 8 es mayor que 4. ¿Es verdad que $\frac{1}{8} > \frac{1}{4}$?
Con 8 partes, cada parte es más pequeña. Un octavo es menor que un cuarto.
Andrés se comió 5 sextos de una torta y su hermana 3 sextos de otra torta igual. ¿Es verdad que $\frac{5}{6} > \frac{3}{6}$?
Los dos son sextos: pedazos del mismo tamaño. Andrés se comió más pedazos.
Marca las fracciones que son menores que $\frac{1}{3}$.
Marca todas las que apliquen.
Todas tienen numerador 1. Las que parten la unidad en más de 3 partes tienen pedazos más pequeños: 1/4, 1/6 y 1/10. Un medio es mayor.
Una cinta partida en medios y la misma cinta partida en octavos.
Mira las tiras de arriba. ¿Cuántos octavos cubren lo mismo que un medio?
La mitad de la cinta llega hasta el cuarto octavo: un medio son 4 octavos, 1/2 = 4/8.
En un equipo hay 3 niñas y 5 niños. ¿Qué fracción del equipo son niñas?
El todo es el equipo: 3 + 5 = 8. Las niñas son 3 de cada 8: 3/8. «3 a 5» es la razón de niñas a niños, no la fracción.
En la huerta del colegio, por cada 2 matas de tomate hay 3 de lechuga. Si hay 6 matas de tomate, ¿cuántas matas de lechuga hay?
6 matas de tomate son 3 grupos de 2. Cada grupo trae 3 lechugas: 3 × 3 = 9.
¿Por qué un cuarto de arepa es menos que un medio de la misma arepa, aunque 4 sea mayor que 2?
El denominador dice en cuántas partes se parte. Más partes, partes más pequeñas.
La profe dice: «En este salón, 2 de cada 5 estudiantes llegan en bus». ¿Qué quiere decir?
«2 de cada 5» compara una parte (los que llegan en bus) con el todo (el salón): se escribe como la fracción 2/5. «Por cada 2 que llegan en bus, hay 5 que no» compara dos grupos: sería la razón 2 a 5, y entonces los de bus serían 2 de cada 7.
Reto
¿Es más que un cuarto o menos que un cuarto?
Si el numerador es 1, mira en cuántas partes se partió la unidad. Si el denominador es 4, cuenta los cuartos.
Reto
Une cada fracción con la que cubre lo mismo en la tira.
Cierre
En resumen
Con el mismo denominador, los pedazos son iguales: gana la fracción con más pedazos (5/8 > 3/8).
Con numerador 1, gana la fracción con menos partes, porque sus pedazos son más grandes: 1/4 > 1/8, aunque 8 sea mayor que 4.
Fracciones como 1/2, 2/4 y 4/8 cubren lo mismo de la unidad: son equivalentes.
Una razón compara dos cantidades: un grupo con otro (2 niñas a 3 niños) o una parte con el todo (2 de cada 5 son niñas). La parte con el todo se escribe como fracción: 2/5.
Vocabulario
- Fracciones equivalentes
Fracciones que se escriben distinto pero cubren lo mismo de la unidad, como 1/2 y 2/4.
- Razón
Una comparación entre dos cantidades. Puede comparar un grupo con otro («por cada 2 niñas hay 3 niños», 2 a 3) o una parte con el todo («2 de cada 5»).
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte quién prefiere un cuarto o un octavo de la misma chocolatina. Anote las respuestas sin corregir.
- Explicación · 20 min — Cada niño dobla tres tiras iguales en 2, 4 y 8 partes, las pega una debajo de otra y compara. Luego, con 2 niñas y 3 niños al frente, la razón y la fracción.
- Práctica · 20 min — En parejas, las preguntas, con las tiras a mano. Las cestas y el dominó, en grupo.
- Cierre · 5 min — Vuelva a la pregunta del inicio. Que cada uno diga si cambió de opinión y por qué.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un octavo es más pequeño que un cuarto, si 8 es más que 4?
- ¿Cómo sabes con la tira que un medio y dos cuartos valen lo mismo?
- En tu mesa, ¿cuál es la razón de niñas a niños? ¿Qué fracción de la mesa son niñas?
Errores típicos
- Creer que 1/8 es mayor que 1/4 porque 8 > 4. Ponga las tiras de cuartos y de octavos una debajo de otra y pida comparar los pedazos pintados.
- Comparar solo los numeradores cuando los denominadores son distintos. Aquí solo se comparan fracciones de igual denominador o de numerador 1. Pida decir primero cuál de los dos casos es.
- Tomar la razón como fracción: con 2 niñas y 3 niños, decir que las niñas son 2/3. Pida contar a todos los de la mesa antes de escribir la fracción. El todo va abajo.
- Creer que 2/4 es más que 1/2 porque tiene números más grandes. Que pinten las dos fracciones en tiras del mismo largo y las pongan una encima de otra.
Tarea sugerida
Contar las mujeres y los hombres de la casa. Escribir la razón (por cada … hay …) y la fracción de mujeres de la familia.