Volumen y empaques
Lo que vas a aprender
- Contar los cubitos de un cuerpo, también los que no se ven.
- Hallar los cubitos de una caja sumando sus pisos.
- Calcular cuántos objetos caben en una caja por filas, columnas y pisos.
- Explicar por qué el empaque más alto no siempre es el de más volumen.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda de don Hernando llegan cajas de jugos, de galletas y de frascos de mermelada. Antes de abrirlas, él quiere saber cuántos productos trae cada una. ¿Tiene que sacarlos uno por uno? ¡No! Si sabe cuántos van en un piso, puede calcular el resto.
Hoy aprendes a medir el espacio que ocupa una caja contando cubitos, y a pensar cómo empacar cosas.
Explicación
¿Qué es el volumen?
Todo objeto ocupa un espacio. Un ladrillo ocupa más espacio que un borrador. Ese espacio se llama volumen.
Para medirlo, armamos el objeto con cubitos iguales y los contamos. Si un cuerpo tiene más cubitos que otro, tiene más volumen.
Pero hay una trampa: no todos los cubitos se ven. Mira la caja del dibujo. De frente ves una pared de cubitos azules. Detrás de esa pared hay más cubitos, escondidos. ¡También cuentan!
Una caja armada con cubitos: 3 a lo largo, 2 hacia atrás y 2 pisos. Los cubitos de atrás no se ven, pero están.
Contar por pisos
Para no saltarte ningún cubito, desarma la caja en la imaginación, piso por piso. Cuentas los cubitos de un piso. Después sumas los pisos.
Así cuentas también los de adentro y los de atrás, que no se ven en el dibujo.
La misma caja vista desde arriba, piso por piso. Cada piso tiene 2 filas de 3 cubitos.
Ejemplo resuelto
Los cubitos de la caja
La caja del dibujo tiene 2 pisos. Cada piso tiene 2 filas de 3 cubitos. ¿Cuántos cubitos tiene la caja?
Ver la solución paso a paso
Un piso tiene 2 filas de 3 cubitos: $2 \times 3$
En cada piso hay $6$ cubitos.
Sumamos los dos pisos: $6 + 6$
La caja tiene $12$ cubitos.
De frente solo se ven 6 cubitos azules. Los otros 6 están detrás. Si contamos solo los que se ven, nos falta la mitad.
Respuesta: La caja tiene 12 cubitos, aunque de frente solo se ven 6.
Mira cómo se llena la caja piso por piso: 2 filas de 3 cubitos son 6 en cada piso, y 2 pisos son 12 cubitos.
¿El más alto tiene más volumen?
Muchos creen que el empaque más alto es el que tiene más adentro. ¡No siempre! Mira la torre A y la caja B. La torre es mucho más alta. Pero la caja B es ancha y profunda.
Para saber cuál ocupa más espacio, no mires solo la altura. Cuenta los cubitos.
La torre A es alta y delgada. La caja B es bajita, pero ancha y profunda.
Ejemplo resuelto
La torre y la caja plana
La torre A tiene 6 cubitos, uno encima de otro. La caja B tiene un solo piso de 3 filas de 3 cubitos. ¿Cuál tiene más volumen?
Ver la solución paso a paso
La caja B tiene 3 filas de 3 cubitos: $3 \times 3$
La caja B tiene $9$ cubitos.
La torre A tiene 6. ¿Cuántos cubitos más tiene la caja B? $9 - 6$
La caja B tiene $3$ cubitos más, aunque es mucho más bajita.
Respuesta: La caja B tiene más volumen: 9 cubitos contra 6 de la torre.
Empacar en filas, columnas y pisos
Para empacar frascos, jugos o huevos, mira primero el fondo de la caja. ¿Cuántos caben a lo largo? ¿Cuántos a lo ancho? Eso da las filas y las columnas de un piso. Después miras la altura: ¿cabe otro piso encima?
También importa la forma de lo que empacas. Los frascos redondos dejan huecos entre ellos. Y unos frascos altos quizá no dejan poner un segundo piso.
Fíjate en algo. Algunas medidas se toman poniendo la unidad: el largo de la mesa con la regla. Otras se pueden calcular con una cuenta: si sabes cuántos van en un piso y cuántos pisos hay, no tienes que contar uno por uno.
El fondo de la caja visto desde arriba. Cada punto es un frasco: 4 a lo largo y 3 a lo ancho.
Ejemplo resuelto
La caja de frascos
En el fondo de una caja caben 4 frascos a lo largo y 3 a lo ancho. La caja es tan alta que caben dos pisos de frascos. ¿Cuántos frascos caben?
Ver la solución paso a paso
Un piso tiene 3 filas de 4 frascos: $3 \times 4$
En un piso caben $12$ frascos.
Hay dos pisos iguales. Los sumamos: $12 + 12$
En la caja caben $24$ frascos.
Respuesta: Caben 24 frascos: 12 en cada piso.
Práctica
La caja de Laura, armada con cubitos.
La caja de Laura tiene 2 pisos. En cada piso hay 2 filas de 4 cubitos. ¿Cuántos cubitos tiene en total, contando los que no se ven?
Un piso tiene 2 × 4 = 8 cubitos. Los dos pisos: 8 + 8 = 16.
Laura contó solo los cubitos que se ven de frente en su caja y dijo «8». La caja tiene 2 pisos de 2 filas de 4 cubitos. ¿Cuántos tiene de verdad?
De frente se ven 8, pero detrás hay otra fila de cubitos en cada piso. Piso por piso: 8 + 8 = 16.
Una torre tiene 7 cubitos, uno encima de otro. Una caja plana tiene un solo piso de 3 filas de 4 cubitos. ¿Cuántos cubitos más tiene la caja plana?
La caja plana tiene 3 × 4 = 12 cubitos. 12 − 7 = 5. La torre es más alta, pero tiene menos volumen.
Sara mira una caja de cereal alta y delgada y una caja de galletas baja y ancha. Dice: «En la de cereal cabe más, porque es más alta». ¿Qué le dices?
La altura sola no decide. Una caja baja pero ancha y profunda puede tener más cubitos que una alta y delgada.
Una caja tiene tres pisos iguales. En cada piso hay 6 cubitos. ¿Cuántos cubitos tiene la caja?
Sumamos los pisos: 6 + 6 + 6 = 18 cubitos.
En el fondo de una caja caben 5 jugos a lo largo y 2 a lo ancho. ¿Cuántos jugos caben en el fondo?
Son 2 filas de 5 jugos: 2 × 5 = 10 jugos en el fondo.
Una caja de latas tiene dos pisos. En cada piso van 3 filas de 4 latas. ¿Cuántas latas caben?
Un piso tiene 3 × 4 = 12 latas. Los dos pisos: 12 + 12 = 24 latas.
La caja mide 40 cm de largo y cada frasco ocupa 8 cm. ¿Cuántos frascos caben en una fila a lo largo?
Buscamos cuántas veces caben 8 cm en 40 cm: 5 × 8 = 40. Caben 5 frascos.
Cada cuenta dice los cubitos de un empaque, piso por piso. Marca los empaques que tienen más de 12 cubitos.
Marca todas las que apliquen.
(2 × 3) + (2 × 3) = 12, que no es más de 12. (3 × 3) + (3 × 3) = 18 y (2 × 4) + (2 × 4) = 16 sí. (1 × 5) + (1 × 5) = 10.
Don Luis tiene que empacar 24 naranjas. Puede usar una caja de 1 piso con 4 filas de 6, o una caja de 2 pisos con 3 filas de 4. ¿Qué es cierto?
La de 1 piso lleva 4 × 6 = 24. La de 2 pisos, 12 + 12 = 24. Caben las mismas; cambia la forma de la caja.
Don Hernando sabe que en un piso de la caja van 12 jugos y que la caja tiene 2 pisos. ¿Qué puede hacer para saber cuántos jugos hay?
Si sabe lo que va en un piso y cuántos pisos hay, lo calcula: 12 + 12 = 24. El largo de la caja o el peso de un jugo no le dicen cuántos hay.
Reto
Completa lo que tiene la caja.
Cuenta un piso y después suma los pisos.
Reto
Une cada empaque, contado piso por piso, con sus cubitos.
Cierre
En resumen
El volumen es el espacio que ocupa un objeto. Se puede contar en cubitos iguales.
Hay que contar también los cubitos que no se ven: los de atrás y los de adentro.
Para no saltarse ninguno, se cuenta un piso y se suman los pisos: 6 + 6 = 12.
El empaque más alto no siempre tiene más volumen: una torre de 6 cubitos tiene menos que una caja plana de 9.
Para empacar, se cuentan las filas y las columnas del fondo y después los pisos que caben.
Vocabulario
- Volumen
El espacio que ocupa un objeto. Se puede contar en cubitos iguales.
- Piso o capa
Un nivel de cubitos u objetos que están a la misma altura dentro de una caja.
- Empacar
Acomodar objetos en una caja o recipiente para que quepan los más posibles sin dañarse.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una caja de jugos o de galletas cerrada y pregunte cuántos productos trae. Anote las estimaciones.
- Explicación · 20 min — Con cubos de madera o cajitas de fósforos vacías, armar una caja de 2 pisos y pedir que cuenten los cubitos que ven. Desarmarla piso por piso y contar de nuevo. Armar una torre alta y una caja plana y comparar.
- Práctica · 20 min — En grupos, empacar tapas o cajitas en una caja de zapatos: contar las filas y columnas del fondo y los pisos que caben. Después, las preguntas y los retos.
- Cierre · 5 min — Abrir la caja del inicio, contar piso por piso y comparar con las estimaciones.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no basta con contar los cubitos que se ven?
- ¿Puede una caja bajita tener más volumen que una alta? Da un ejemplo.
- Si sabes cuántos jugos van en un piso, ¿cómo sabes cuántos hay en toda la caja?
Errores típicos
- Contar solo los cubitos que se ven en el dibujo o en el cuerpo armado. Desarmar el cuerpo piso por piso y contar cada piso por separado; luego comparar con lo que se veía.
- Creer que el empaque más alto es el de más volumen. Armar con los mismos cubitos una torre y una caja plana, y otra vez una torre de 6 y una caja de 9: contar y comparar.
- Contar dos veces los cubitos de las esquinas cuando se cuentan las caras que se ven. Contar cubitos, no caras: tocar cada cubito una sola vez al desarmar.
- Olvidar que los objetos redondos o altos no llenan la caja como los cubitos. Empacar de verdad frascos o tapas y ver los huecos que quedan y si cabe otro piso.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en la casa una caja de leche, de jugos o de huevos. Contar cuántos productos van en un piso y cuántos pisos tiene, y calcular cuántos trae en total. Después, comprobar contando.