Igual perímetro, distinta área
Lo que vas a aprender
- Armar todos los rectángulos de lados enteros que se forman con una cantidad de palillos.
- Calcular el perímetro y el área de cada rectángulo y decir cuál cubre más.
- Explicar con un ejemplo que dos rectángulos con el mismo perímetro pueden tener distinta área.
- Mostrar que dos rectángulos con la misma área pueden llevar distinta cinta alrededor.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Doña Rosa tiene un rollo de alambre para cercar una huerta rectangular. Puede hacerla larga y flaca, o más ancha y corta. El alambre es el mismo. ¿Le cabe la misma cantidad de matas de cilantro en las dos?
Parece que sí. ¡Pero no es así! Hoy lo descubres con palillos.
Explicación
El juego de los 12 palillos
Toma 12 palillos iguales y sin punta (sirven pitillos cortados del mismo largo). Arma con ellos el borde de un rectángulo. Usa todos los palillos, sin partir ninguno y sin que sobre ninguno.
Un rectángulo tiene dos largos iguales y dos anchos iguales. Si das media vuelta al borde, recorres un largo y un ancho. Por eso, un largo y un ancho usan la mitad de los palillos.
Cuando tengas un rectángulo, imagina que lo llenas de cuadritos. Cada cuadrito tiene un palillo de lado. Cuenta cuántos caben: esa es el área.
Y si lo vieras como una tabla a la que le pegas cinta alrededor, la cinta mide lo mismo que el borde: es el perímetro, contado en palillos.
Ejemplo resuelto
Los rectángulos de 12 palillos
¿Qué rectángulos se pueden armar con 12 palillos?
Ver la solución paso a paso
Un largo y un ancho usan la mitad de los palillos: $12 \div 2$
El largo y el ancho suman $6$ palillos.
Buscamos dos números que sumen 6. Pueden ser 5 y 1, 4 y 2, o 3 y 3. El de 3 y 3 es un cuadrado, que también es un rectángulo. Si pones 2 y 4, es el mismo de 4 y 2, solo que parado.
Comprobamos que el de 5 por 1 usa todos los palillos: $5 + 1 + 5 + 1$
Usa $12$ palillos. Los otros dos también: 4 + 2 + 4 + 2 y 3 + 3 + 3 + 3.
Respuesta: Se arman tres rectángulos: 5 por 1, 4 por 2 y 3 por 3. Los tres usan 12 palillos.
Los tres rectángulos de 12 palillos: 5 por 1, 4 por 2 y 3 por 3. El borde de los tres mide lo mismo.
Ejemplo resuelto
¿Cuál cubre más?
Cuenta los cuadritos de un palillo de lado que caben en cada rectángulo: 5 por 1, 4 por 2 y 3 por 3.
Ver la solución paso a paso
El de 5 por 1 tiene una sola fila de 5: $1 \times 5$
Cubre $5$ cuadritos.
El de 4 por 2 tiene 2 filas de 4: $2 \times 4$
Cubre $8$ cuadritos.
El de 3 por 3 tiene 3 filas de 3: $3 \times 3$
Cubre $9$ cuadritos.
Los tres llevan la misma cinta, 12 palillos. Pero no cubren lo mismo: el largo y flaco cubre poco, y el más parecido a un cuadrado cubre más.
Respuesta: Mismo perímetro (12 palillos), distinta área: 5, 8 y 9 cuadritos. El de 3 por 3 es el que más cubre.
Con 12 palillos de borde, arrastra la esquina: el 5 por 1 cubre 5 cuadritos, el 4 por 2 cubre 8 y el 3 por 3 cubre 9. El borde es el mismo y el área cambia.
¡Cuidado con esta idea!
Muchos piensan: «Si dos rectángulos llevan la misma cinta, cubren lo mismo». Ya viste que no. Con 12 palillos, uno cubre 5 cuadritos y otro cubre 9.
Piensa en una cuerda cerrada. Si la estiras mucho, el rectángulo queda flaquito, casi sin espacio adentro. Si la abres, cabe mucho más. La cuerda no cambió.
Así que, para saber el área, no basta con el perímetro. Hay que mirar el largo y el ancho, y multiplicar.
Lo mismo pasa al revés: dos rectángulos pueden cubrir los mismos cuadritos y llevar distinta cinta. Míralo en el ejemplo que sigue.
Dos rectángulos con la misma área, 12 cuadritos: 6 por 2 y 4 por 3. El primero lleva más cinta alrededor.
Ejemplo resuelto
Misma área, distinta cinta
Un rectángulo mide 6 por 2 y otro 4 por 3. ¿Cubren lo mismo? ¿Llevan la misma cinta?
Ver la solución paso a paso
Los dos cubren lo mismo: 2 filas de 6 dan lo mismo que 3 filas de 4. $2 \times 6 = 3 \times 4$
La cinta del de 6 por 2: $6 + 2 + 6 + 2$
Lleva $16$ palillos.
La cinta del de 4 por 3: $4 + 3 + 4 + 3$
Lleva $14$ palillos.
Respuesta: Los dos cubren 12 cuadritos, pero el de 6 por 2 lleva 16 palillos de cinta y el de 4 por 3 lleva 14.
Práctica
Sara arma un rectángulo con 16 palillos. El largo tiene 6 palillos. ¿Cuántos palillos tiene el ancho?
Un largo y un ancho usan la mitad: 16 ÷ 2 = 8 palillos. Si el largo es 6, el ancho es 8 − 6 = 2.
El rectángulo de Sara mide 6 palillos de largo y 2 de ancho. ¿Cuántos cuadritos de un palillo de lado caben adentro?
Son 2 filas de 6 cuadritos: 2 × 6 = 12 cuadritos.
Con 16 palillos se arman cuatro rectángulos: 7 por 1, 6 por 2, 5 por 3 y 4 por 4. ¿Cuál cubre más cuadritos?
Las áreas son 7 × 1 = 7, 6 × 2 = 12, 5 × 3 = 15 y 4 × 4 = 16 cuadritos. Los cuatro llevan 16 palillos de cinta, pero el de 4 por 4 cubre más.
Ana armó un rectángulo de 5 por 1 y Juan uno de 4 por 2. Los dos usaron 12 palillos. ¿Es verdad que cubren los mismos cuadritos? $5 \times 1 = 4 \times 2$
Llevan la misma cinta, pero el de Ana cubre 5 × 1 = 5 cuadritos y el de Juan 4 × 2 = 8. Igual perímetro no quiere decir igual área.
Pedro pone 12 cuadritos en una sola fila: un rectángulo de 12 por 1. ¿Cuántos palillos de cinta lleva alrededor?
Dos largos de 12 y dos anchos de 1: 12 + 1 + 12 + 1 = 26 palillos. Cubre 12 cuadritos, igual que el de 4 por 3, pero lleva mucha más cinta (el de 4 por 3 lleva 14).
Un rectángulo de 6 por 2 y otro de 4 por 3 cubren los mismos cuadritos. ¿Cuántos palillos más de cinta lleva el de 6 por 2?
El de 6 por 2 lleva 6 + 2 + 6 + 2 = 16 palillos y el de 4 por 3 lleva 4 + 3 + 4 + 3 = 14. Son 16 − 14 = 2 más. No es 0: misma área no quiere decir misma cinta.
Cada opción es la cinta que da la vuelta a un rectángulo. Marca los que se arman con 20 palillos, sin que sobre ninguno.
Marca todas las que apliquen.
6 por 4, 5 por 5 y 8 por 2 usan 20 palillos: el largo y el ancho suman 10. El de 7 por 2 usa 18 y el de 9 por 3 usa 24.
Con la misma cinta, el cuadrado de 4 por 4 y el rectángulo de 7 por 1. ¿Cuántos cuadritos más cubre el cuadrado?
El cuadrado cubre 4 × 4 = 16 cuadritos y el rectángulo 7 × 1 = 7. Son 16 − 7 = 9 más, con la misma cinta (16 palillos).
Pedro dice: «Si dos rectángulos llevan la misma cinta alrededor, cubren lo mismo». ¿Qué le responderías?
Basta un ejemplo para mostrar que no: misma cinta, 12 palillos, y áreas de 5 y de 9 cuadritos.
Laura armó con cuadritos un rectángulo largo y flaco. Tomás armó otro más cuadrado, con los mismos cuadritos. ¿Qué pasa con la cinta de alrededor?
Misma área no quiere decir mismo perímetro. Con 12 cuadritos, el de 12 por 1 lleva 26 palillos de cinta y el de 4 por 3 solo 14.
Reto
Completa lo que pasa con 16 palillos.
Un largo y un ancho usan la mitad de los palillos. El área es filas × columnas.
Reto
¿Cuántos cuadritos cubre cada rectángulo?
Cada tarjeta dice filas × columnas. Multiplica y mira si llega a 8.
Cierre
En resumen
Con 12 palillos se arman tres rectángulos: 5 por 1, 4 por 2 y 3 por 3. Todos llevan 12 palillos de cinta.
Esos rectángulos cubren 5, 8 y 9 cuadritos: igual perímetro, distinta área.
Un largo y un ancho usan la mitad de los palillos del borde.
Al revés también pasa: 6 por 2 y 4 por 3 cubren 12 cuadritos, pero llevan 16 y 14 palillos de cinta.
Para saber el área no basta el perímetro: hay que multiplicar el largo por el ancho.
Vocabulario
- Perímetro
El largo de todo el borde de una figura. Aquí lo contamos en palillos.
- Área
Cuántos cuadritos cubren una figura. Aquí cada cuadrito tiene un palillo de lado.
- Largo y ancho
Los dos lados distintos de un rectángulo. El rectángulo tiene dos largos iguales y dos anchos iguales.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte: con el mismo alambre, ¿una huerta larga y flaca da el mismo espacio que una ancha? Anote en el tablero lo que dicen los niños, sin corregir todavía.
- Explicación · 20 min — Cada pareja recibe 12 pitillos cortados de 4 cm (o palillos a los que el docente les cortó la punta) y cuadritos de papel del largo de un pitillo. Arman sobre la mesa todos los rectángulos posibles, los llenan con los cuadritos de papel y cuentan los de adentro. Haga en el tablero una tabla: largo, ancho, palillos de cinta, cuadritos.
- Práctica · 20 min — Repetir con 16 palillos y llenar la tabla. Luego, con 12 cuadritos de papel, armar rectángulos distintos y contar la cinta. Después, las preguntas y los retos.
- Cierre · 5 min — Vuelvan a la pregunta del inicio y corrijan entre todos lo que se anotó.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un largo y un ancho usan la mitad de los palillos?
- Si dos rectángulos llevan la misma cinta, ¿cubren lo mismo? Da un ejemplo.
- ¿Qué rectángulo de 12 cuadritos lleva más cinta? ¿Por qué?
- ¿El cuadrado de 3 por 3 es un rectángulo?
Errores típicos
- Creer que dos rectángulos con el mismo perímetro tienen la misma área. Armar con los mismos 12 palillos el de 5 por 1 y el de 3 por 3, llenarlos de cuadritos y contar.
- Creer que dos rectángulos con la misma área llevan la misma cinta. Con 12 cuadritos de papel, armar 12 por 1 y 4 por 3 y medir el borde con palillos.
- Contar el largo y el ancho una sola vez al calcular la cinta (5 + 1 = 6 en vez de 12). Pida recorrer con el dedo los cuatro lados y decir la medida de cada uno en voz alta.
- Contar como distintos el de 4 por 2 y el de 2 por 4. Girar el rectángulo en la mesa: es el mismo, parado o acostado.
Tarea sugerida
Con un adulto, tomar 20 palillos (o pitillos cortados iguales), armar todos los rectángulos que se puedan y dibujarlos en papel cuadriculado. Escribir para cada uno los palillos de cinta y los cuadritos de adentro, y decir cuál cubre más.