Secuencias que crecen
Lo que vas a aprender
- Decir con palabras la regla de una secuencia que suma o resta siempre lo mismo.
- Hallar los números que siguen en una secuencia de números o de figuras.
- Hallar el número de una posición dada contando bien los saltos.
- Decidir si un número pertenece a una secuencia, como los arreglos triangulares de puntos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Julián ahorra para unos guayos. Cada semana echa la misma cantidad en la alcancía. ¿Cuánto tendrá dentro de ocho semanas? No hace falta esperar: si descubre la regla, lo sabe hoy.
Las secuencias están en todas partes: en las páginas de un libro, en las baldosas de un patio, en las filas de sillas de un auditorio. Hoy aprendes a encontrar su regla y a adivinar lo que viene.
Explicación
Qué cambia y qué se mantiene
Mira esta lista: 25, 50, 75, 100… ¿Qué viene después? Seguro dijiste 125.
Para saberlo, miraste dos cosas. Lo que cambia: el número crece. Lo que se mantiene: siempre crece lo mismo, 25. Ese número que se mantiene es el salto.
La regla se dice con palabras: «empieza en 25 y suma 25 cada vez».
Hay secuencias que bajan. En 1000, 900, 800… la regla es «empieza en 1000 y resta 100 cada vez». El salto se mantiene; solo que ahora se resta.
La secuencia de 25 en 25 en la recta: cada arco es un salto de 25.
¡Cuidado al contar los saltos!
Piensa en postes puestos en fila, en línea recta. Entre 2 postes hay 1 espacio. Entre 3 postes hay 2 espacios. Si los postes están en fila, siempre hay un espacio menos que postes. (En una cerca cerrada, alrededor de una huerta, es distinto: el último poste se une con el primero, y hay tantos espacios como postes.)
En una secuencia pasa lo mismo. Del primer término al segundo hay un salto. Del primero al octavo hay siete saltos, no ocho. Muchos niños cuentan un salto de más y se pasan.
Ejemplo resuelto
El octavo de la secuencia de 25 en 25
La secuencia es 25, 50, 75, 100… ¿Qué número va en la posición 8?
Ver la solución paso a paso
Del primer término al octavo hay un salto menos que posiciones: $8 - 1$
Son $7$ saltos de 25.
Al primer número le sumamos los siete saltos: $25 + \left(7 \times 25\right)$
En la posición 8 va el $200$.
Compruébalo contando: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200. ¡El octavo es el 200!
Respuesta: En la posición 8 va el 200. Si sumas ocho saltos, te sale 225: te pasaste uno.
Ejemplo resuelto
Una secuencia que baja
Camila cuenta hacia atrás de 100 en 100 desde 1000: 1000, 900, 800… ¿Qué número dice en el sexto lugar?
Ver la solución paso a paso
Del primero al sexto hay un salto menos: $6 - 1$
Son $5$ saltos de 100 hacia atrás.
Le restamos los cinco saltos al primer número: $1000 - \left(5 \times 100\right)$
En el sexto lugar dice $500$.
Respuesta: Camila dice 500: 1000, 900, 800, 700, 600, 500.
Secuencias de figuras
Las figuras también hacen secuencias. Con palillos se arma un cuadrado. Luego dos cuadrados pegados, luego tres. El cuadrado nuevo comparte un lado con el anterior. Por eso cada vez se agregan tres palillos, no cuatro.
Ahora mira los arreglos triangulares de puntos. El primero tiene un punto. Para el segundo se agrega una fila de dos puntos debajo. Para el tercero, una fila de tres. Cada arreglo agrega una fila con un punto más que la fila anterior.
Aquí el salto no se mantiene: crece de uno en uno. Se suma 2, luego 3, luego 4. Lo que se mantiene es la manera de crecer.
Los cuatro primeros arreglos triangulares: 1, 3, 6 y 10 puntos. Cada uno agrega una fila con un punto más.
Ejemplo resuelto
¿Hay un arreglo de 35 puntos?
Los arreglos triangulares tienen 1, 3, 6 y 10 puntos. ¿Hay alguno de 35 puntos? ¿Y de 38?
Ver la solución paso a paso
El quinto agrega una fila de 5: $10 + 5$
Tiene $15$ puntos.
El sexto agrega una fila de 6: $15 + 6$
Tiene $21$ puntos.
El séptimo agrega una fila de 7: $21 + 7$
Tiene $28$ puntos.
El octavo agrega una fila de 8: $28 + 8$
Tiene $36$ puntos.
El 35 queda entre el séptimo y el octavo: $28 < 35 < 36$. Ningún arreglo tiene 35 puntos.
El noveno agrega una fila de 9: $36 + 9$
Tiene $45$ puntos.
El 38 queda entre el octavo y el noveno: $36 < 38 < 45$. Tampoco hay arreglo de 38.
Respuesta: No hay arreglo triangular de 35 puntos ni de 38. Los arreglos siguen 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45…
Práctica
La secuencia de cuadrados de palillos. Cada figura agrega un cuadrado pegado a la derecha.
Cuenta los palillos de las figuras: la primera usa 4, la segunda 7 y la tercera 10. ¿Cuántos palillos usa la quinta?
Cada figura agrega 3 palillos. De la tercera a la quinta hay 2 saltos: 10 + (2 × 3) = 16 palillos. La cuarta usa 13.
¿Qué número sigue? 125, 150, 175, …
La regla es sumar 25: 150 − 125 = 25. Después de 175 viene 175 + 25 = 200.
¿Qué número sigue? 960, 940, 920, …
La secuencia baja de 20 en 20: 960 − 940 = 20. Después de 920 viene 920 − 20 = 900.
Una secuencia empieza en 30 y suma 5 cada vez. ¿Qué número está en la posición 6?
De la posición 1 a la 6 hay 5 saltos, no 6: 30 + (5 × 5) = 55. La secuencia es 30, 35, 40, 45, 50, 55. Con 60 se contó un salto de más.
La secuencia empieza en 100 y suma 100 cada vez. ¿Qué número va en la posición 10?
Del primero al décimo hay 9 saltos de 100: 100 + (9 × 100) = 1000.
En la secuencia 10, 20, 30, … Mateo dice que en la posición 5 va el 60. De la posición 1 a la 5 hay 4 saltos de 10. ¿Es verdad que $10 + \left(4 \times 10\right) = 60$?
De la posición 1 a la 5 hay 4 saltos de 10: 10 + (4 × 10) = 50. Mateo contó 5 saltos y se pasó.
Los arreglos triangulares tienen 1, 3, 6, 10 y 15 puntos. ¿Cuántos puntos tiene el sexto?
El sexto arreglo agrega una fila de 6 puntos al quinto: 15 + 6 = 21.
Marca los números que aparecen en la secuencia 25, 50, 75, 100, …
Marca todas las que apliquen.
La secuencia suma 25 cada vez: 125, 150, 175, 200, 225… hasta 375. El 140 y el 310 se quedan entre dos términos.
¿Cuál es la regla de la secuencia 7, 11, 15, 19, …?
De 7 a 11 hay 4, de 11 a 15 hay 4 y de 15 a 19 hay 4. El salto que se mantiene es 4.
Sofía dice: «Puedo armar un arreglo triangular con 30 puntos». ¿Tiene razón?
Los arreglos siguen 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36… Del séptimo (28) al octavo (36) no hay ninguno: 30 no es un arreglo triangular.
Reto
Completa lo que sabes de la secuencia.
Primero busca el salto. Recuerda: hay un salto menos que posiciones.
Reto
Abre el candado de la alcancía.
Busca lo que se mantiene en cada secuencia.
Cierre
En resumen
Una secuencia sigue una regla. Se dice con palabras: «empieza en 25 y suma 25 cada vez».
En las secuencias de este tipo, lo que se mantiene es el salto; lo que cambia es el número.
Del primer término a la posición 8 hay 7 saltos: siempre un salto menos que posiciones.
El término de la posición 8 de 25, 50, 75… es 25 + (7 × 25) = 200.
Los arreglos triangulares agregan una fila con un punto más: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36. No hay arreglo de 35 ni de 38.
Vocabulario
- Secuencia
Una lista de números o de figuras que siguen un orden y una regla.
- Regla
Lo que se hace para pasar de un término al siguiente, como «sumar 25».
- Posición
El lugar que ocupa un término en la secuencia: primero, segundo, tercero…
- Salto
Lo que se suma o se resta para pasar de un término al siguiente.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero 25, 50, 75 y pregunte qué sigue y cómo lo supieron. Pida decir la regla con palabras.
- Explicación · 20 min — Mostrar los saltos en una recta de cartulina. Con una fila de niños como postes, contar cuántos espacios hay entre el primero y el octavo. Armar con tapas o semillas los arreglos triangulares y anotar en una tabla posición y número de puntos.
- Práctica · 20 min — En parejas, armar con palillos la secuencia de cuadrados hasta la quinta figura y contar los palillos. Discutir si hay arreglo triangular de 35 puntos. Después, las preguntas y los retos.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una secuencia, dice su regla con palabras y otra pareja la continúa.
Preguntas para el salón
- En la secuencia 25, 50, 75…, ¿qué cambia y qué se mantiene?
- ¿Cuántos saltos hay del primero al octavo? ¿Por qué no son ocho?
- ¿Por qué la secuencia de cuadrados agrega tres palillos y no cuatro?
- ¿Cómo sabes que no hay un arreglo triangular de 35 puntos?
Errores típicos
- Contar un salto de más para llegar a una posición: en la posición 8 de 25, 50, 75…, sumar ocho saltos y obtener 225. Usar la idea de los postes en fila y comprobar escribiendo la lista hasta la posición pedida.
- Decir la regla mirando solo dos números («suma 25») sin revisar los demás. Pida comprobar el salto entre todos los términos que se ven antes de seguir.
- Creer que los arreglos triangulares suman siempre lo mismo. Anotar en la tabla cuánto se agrega en cada paso: 2, 3, 4… y ver que el salto crece.
- En la secuencia de cuadrados, sumar 4 palillos por cada cuadrado nuevo. Armar la figura con palillos de verdad y contar el lado que se comparte.
Tarea sugerida
Con un adulto, mirar los números de las páginas de la derecha de un libro, escribir los diez primeros y decir su regla. Después, inventar una secuencia de figuras con fríjoles o tapas y dibujar las tres primeras.