El número que no conocemos
Lo que vas a aprender
- Representar con una casilla un número que no se conoce.
- Encontrar el número que falta en una suma, una resta o una multiplicación con la operación que la deshace.
- Decidir quién tiene más aunque no se sepa cuánto hay en una caja.
- Encontrar las maneras de llegar a un puntaje con cestas de 1, 2 y 3 puntos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Valentina abre su alcancía, echa 15 monedas más y ahora tiene 40. ¿Cuántas tenía antes? No lo anotó, pero lo puede averiguar.
Muchas veces no conocemos un número, pero sí sabemos cosas sobre él. Con eso basta para encontrarlo, o para decidir algo sin saberlo, como quién tiene más dulces.
Hoy aprendes a trabajar con el número que no conocemos.
Explicación
La casilla vacía
Cuando no sabemos un número, dejamos su lugar vacío con una casilla: □. La historia de Valentina se escribe así: □ + 15 = 40. La casilla son las monedas que tenía al principio.
Para encontrar el número, piensa al revés. A la casilla le sumaron 15 y dio 40. Si al 40 le quitas esos 15, vuelves al principio. La resta deshace la suma.
Lo mismo pasa con las otras operaciones. La suma deshace la resta. La división deshace la multiplicación.
¡Cuidado! Muchos niños ven 15 y 40 y los suman: 55. Pero 55 + 15 da 70, no 40. Antes de calcular, pregúntate: ¿el número que busco es más grande o más pequeño que el resultado? Aquí la casilla más 15 da 40, así que la casilla es menor que 40.
Arriba, la historia: la casilla más 15 llega a 40. Abajo, al revés: desde 40 se devuelven 15 y se llega a 25.
Ejemplo resuelto
Las monedas de Valentina
¿Qué número va en la casilla? $\square + 15 = 40$
Ver la solución paso a paso
Esta es la historia de Valentina: $\square + 15 = 40$
La resta deshace la suma. Al 40 le quitamos los 15: $\square = 40 - 15$
En la casilla va el $25$.
Comprobamos poniendo el 25 en la casilla: $25 + 15 = 40$. ¡Se cumple!
Respuesta: Valentina tenía 25 monedas. No 55: 55 + 15 = 70, no 40.
La caja con la casilla y 15 pesan lo mismo que 40. Quita 15 de los dos platos: la balanza sigue derecha y la caja pesa 25.
Ejemplo resuelto
Los huevos de la finca
Doña Inés guardó 42 huevos en 6 canastas, con la misma cantidad en cada una. ¿Cuántos huevos hay en cada canasta?
Ver la solución paso a paso
No sabemos cuántos van en cada canasta. Seis canastas iguales dan 42: $6 \times \square = 42$
La división deshace la multiplicación: $\square = 42 \div 6$
En la casilla va el $7$.
Comprobamos: $6 \times 7 = 42$. ¡Se cumple!
Respuesta: En cada canasta hay 7 huevos.
Decidir sin saber el número
A veces no hace falta encontrar el número para responder. José y Patricia tienen cada uno una caja de dulces cerrada. Las dos cajas tienen la misma cantidad, pero nadie sabe cuántos. Encima de su caja, José tiene un dulce suelto y Patricia tiene tres.
¿Quién tiene más? Las cajas son iguales, así que se pueden olvidar. Lo que decide son los dulces sueltos.
Las dos cajas cerradas tienen la misma cantidad de dulces. Encima, 1 dulce suelto en la de José y 3 en la de Patricia.
Ejemplo resuelto
Las cajas de José y Patricia
Cada caja tiene □ dulces. José tiene la caja y 1 dulce más. Patricia tiene la caja y 3 dulces más. ¿Cuántos dulces más tiene Patricia?
Ver la solución paso a paso
Lo de José: $\square + 1$
Lo de Patricia: $\square + 3$
Le quitamos a lo de Patricia lo de José. Las cajas se cancelan: $\left(\square + 3\right) - \left(\square + 1\right)$
Patricia tiene $2$ dulces más, haya lo que haya en la caja.
Probemos con una caja de 10 dulces: $\left(10 + 3\right) - \left(10 + 1\right) = 2$. ¡Da lo mismo!
Entre los dos tienen dos cajas y los dulces sueltos: $\square + 1 + \square + 3$
Es decir: $\square + \square + 4$
Respuesta: Patricia tiene 2 dulces más. Si le dan 2 dulces a José, los dos quedan con lo mismo.
Ejemplo resuelto
Los puntos de Luisa
En el baloncesto del recreo, las cestas valen 1, 2 o 3 puntos. Luisa hizo 7 puntos con tres cestas. ¿Cuáles pudieron ser?
Ver la solución paso a paso
Probamos con dos cestas de 3 y una de 1: $3 + 3 + 1 = 7$. ¡Sirve!
Con una de 3 y dos de 2: $3 + 2 + 2 = 7$. ¡También sirve!
Con tres de 2 no alcanza: $2 + 2 + 2 < 7$
Con dos de 3 y una de 2 se pasa: $3 + 3 + 2 > 7$. Con tres de 3, se pasa todavía más.
Las demás maneras de tres cestas dan menos de 7. No sabemos cuál hizo Luisa, pero solo hay dos posibles.
Respuesta: Luisa pudo hacer 3 + 3 + 1 o 3 + 2 + 2. Hay dos respuestas posibles.
Práctica
¿Qué número va en la casilla? $\square + 18 = 50$
La resta deshace la suma: 50 − 18 = 32. Comprobamos: 32 + 18 = 50. El 68 sale de sumar los dos números que se ven, y 68 + 18 da 86, no 50.
¿Qué número va en la casilla? $\square - 12 = 30$
La suma deshace la resta: 30 + 12 = 42. Comprobamos: 42 − 12 = 30.
¿Qué número va en la casilla? $7 \times \square = 56$
La división deshace la multiplicación: 56 ÷ 7 = 8. Comprobamos: 7 × 8 = 56.
Tomás tenía unas canicas. En el recreo ganó 24 y ahora tiene 61. ¿Cuántas canicas tenía?
La historia es □ + 24 = 61. La resta la deshace: 61 − 24 = 37. Comprobamos: 37 + 24 = 61.
En el bus iban unos pasajeros. En el paradero se bajaron 15 y quedaron 28. ¿Cuántos pasajeros iban?
La historia es □ − 15 = 28. Antes de que se bajaran había más: 28 + 15 = 43.
En el mercado, mamá compró 4 bolsas con la misma cantidad de mangos. En total son 32 mangos. ¿Cuántos hay en cada bolsa?
La historia es 4 × □ = 32. La división la deshace: 32 ÷ 4 = 8 mangos por bolsa.
En «□ + 9 = 20», Pedro escribió 29 en la casilla. ¿Es verdad que $29 + 9 = 20$?
29 + 9 da 38, no 20. Pedro sumó los números que veía. La casilla va con 20 − 9 = 11, y 11 + 9 = 20.
Ana y Luis tienen cajas de dulces iguales, cada una con □ dulces. Ana tiene 5 dulces encima de su caja y Luis tiene 2. ¿Cuántos dulces hay que darle a Luis para que tenga lo mismo que Ana?
Las cajas son iguales y se cancelan. Solo cuentan los sueltos: 5 − 2 = 3. Con 3 dulces más, Luis queda igual que Ana.
Las cestas valen 1, 2 o 3 puntos. Marca las maneras de hacer 8 puntos.
Marca todas las que apliquen.
3 + 3 + 2, 2 + 2 + 2 + 2 y 3 + 2 + 2 + 1 dan 8. 3 + 3 + 3 da 9 y 3 + 3 + 1 da 7.
Marcos y Elena tienen cajas de colores iguales, cerradas. Marcos tiene 4 colores sueltos y Elena tiene 1. Nadie sabe cuántos hay en las cajas. ¿Quién tiene más colores?
Las cajas tienen lo mismo, así que no deciden nada. Marcos tiene 3 colores sueltos más que Elena, haya lo que haya en las cajas.
Para encontrar la casilla en □ + 15 = 40, Daniel sumó 15 + 40 y escribió 55. ¿Qué le dirías?
Al poner 55 en la casilla, 55 + 15 da 70. La resta deshace la suma: 40 − 15 = 25, y 25 + 15 = 40.
Reto
Abre el candado de la caja de dulces.
Usa la operación que deshace: resta para la suma, suma para la resta, división para la multiplicación.
Reto
Completa la historia de las cajas.
Las cajas son iguales: solo cuentan los dulces sueltos.
Reto
¿Cuántos puntos hizo cada niño?
Suma las cestas de cada tarjeta y compara con 6.
Cierre
En resumen
El número que no conocemos se escribe con una casilla: □ + 15 = 40.
Para encontrarlo se usa la operación que deshace: 40 − 15 = 25. Nunca se suman sin pensar los números que se ven.
Siempre se comprueba poniendo el número en la casilla: 25 + 15 = 40.
Se puede decidir sin saber el número: con cajas iguales, Patricia (caja y 3) tiene 2 dulces más que José (caja y 1).
Un puntaje puede salir de varias maneras: 7 puntos con tres cestas son 3 + 3 + 1 o 3 + 2 + 2.
Vocabulario
- Casilla
Un cuadrito vacío, □, que ocupa el lugar del número que no conocemos.
- Operación inversa
La operación que deshace a otra: la resta deshace la suma, la suma deshace la resta y la división deshace la multiplicación.
- Comprobar
Poner el número encontrado en la casilla y ver si la igualdad se cumple.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Cuente la historia de la alcancía de Valentina y pregunte cuántas monedas tenía. Anote las respuestas, incluida la de 55, sin corregir todavía.
- Explicación · 20 min — Escribir □ + 15 = 40 y comprobar cada respuesta anotada poniéndola en la casilla. Con dos cajas iguales y cerradas (con la misma cantidad de fichas adentro) y fichas sueltas encima, representar a José y Patricia y discutir quién tiene más sin abrirlas.
- Práctica · 20 min — En grupos, con tarjetas de 1, 2 y 3 puntos, buscar todas las maneras de llegar a 6 y a 8 puntos. Después, las preguntas y los retos.
- Cierre · 5 min — Abrir las cajas, contar lo que había y comprobar que la diferencia era la que se dijo sin abrirlas.
Preguntas para el salón
- En □ + 15 = 40, ¿la casilla es mayor o menor que 40? ¿Cómo lo sabes antes de calcular?
- ¿Qué operación deshace una suma? ¿Y una multiplicación?
- ¿Por qué se puede decir quién tiene más dulces sin abrir las cajas?
- ¿De cuántas maneras se pueden hacer 7 puntos con tres cestas?
Errores típicos
- En «□ + 15 = 40», sumar los dos números que se ven y escribir 55. Pida siempre comprobar poniendo el número en la casilla, y preguntar antes si la casilla debe ser mayor o menor que el resultado.
- Usar la misma operación que aparece en vez de la inversa (en □ − 12 = 30, restar 30 − 12). Contar la historia en voz alta («tenía, se fueron 12, quedaron 30») y preguntar si al principio había más o menos.
- Creer que no se puede decidir nada si no se sabe cuánto hay en la caja. Usar dos cajas iguales de verdad con fichas sueltas y comparar solo lo de afuera.
- Dar una sola manera de llegar a un puntaje cuando hay varias. Organizar la búsqueda: primero con todas las cestas de 3 que quepan, luego con una menos, y así.
Tarea sugerida
Con un adulto, inventar dos historias con un número escondido (una con suma y otra con resta), escribirlas con la casilla y encontrar el número. Pedirle al adulto que compruebe la respuesta.