Multiplicar por descomposición
Lo que vas a aprender
- Multiplicar un número de tres o cuatro cifras por uno de dos o de tres cifras, partiendo un factor en decenas y unidades.
- Explicar con el modelo del rectángulo por qué funciona partir un factor.
- Ubicar bien los productos parciales en el algoritmo, corriendo un lugar por cada decena.
- Estimar un producto para saber si el resultado es razonable.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la huerta del colegio hay 15 surcos, y en cada surco caben 234 matas de cebolla. ¿Cuántas matas caben en total? En la tienda llegan 24 cajas con 326 dulces cada una. ¿Cuántos dulces son? Estas cuentas son multiplicaciones con números grandes.
En esta lección vas a aprender a partir una multiplicación difícil en varias fáciles. También vas a ver por qué, en la multiplicación en columnas, cada fila se escribe corrida hacia la izquierda.
Explicación
Partir un factor
Multiplicar 234 por 15 de una vez es difícil. Pero 15 es 10 + 5. Entonces 15 surcos son 10 surcos y 5 surcos. Calculas las matas de los 10 surcos, después las de los 5 surcos, y las juntas.
Así, una multiplicación larga se vuelve dos cortas: 234 × 10 y 234 × 5. Cada una se llama producto parcial. Al final se suman los productos parciales.
El modelo del rectángulo
Imagina la huerta como un rectángulo. Tiene 234 matas a lo largo y 15 surcos a lo alto. Si trazas una raya después del surco 10, el rectángulo queda partido en dos pedazos. El grande tiene 10 surcos y el pequeño tiene 5. Las matas del rectángulo completo son las de los dos pedazos juntos. Por eso partir el factor funciona: no se pierde ni se repite ninguna mata.
Multiplicar por 10, por 20, por 100
Multiplicar por 10 es agregar un cero: 234 × 10 = 2340. Cada cifra se corre un lugar hacia la izquierda y vale diez veces más. Multiplicar por 20 es multiplicar por 2 y agregar un cero. Multiplicar por 100 es agregar dos ceros.
El algoritmo y los productos corridos
En la multiplicación en columnas pasa lo mismo. Si multiplicas 326 por 24, la primera fila es 326 × 4. La segunda fila es 326 × 2, pero ese 2 son 2 decenas, es decir, 20. Por eso la segunda fila se escribe corrida un lugar hacia la izquierda. Es como si tuviera un cero al final.
Si olvidas correrla, sumas 652 en vez de 6520, y el producto sale mucho más pequeño. Ese es uno de los errores más comunes. Cuando multiplicas por tres cifras, la fila de las centenas se corre dos lugares.
Estimar el producto
Antes de calcular, redondea los factores. 326 × 24 es más o menos 300 × 20, que es 6000. Si tu resultado es 1956, algo salió mal, porque es mucho menos de lo esperado.
¿Multiplicar siempre agranda?
Muchos creen que al multiplicar el resultado siempre es más grande. No siempre. Si multiplicas por 1, el número no cambia: 4578 × 1 = 4578. Una caja con 4578 tornillos sigue teniendo 4578 tornillos. Y si multiplicas por 0, el resultado es 0.
La huerta tiene 15 surcos de 234 matas. La raya punteada la parte en 10 surcos y 5 surcos. Las matas de los dos pedazos juntas son las de toda la huerta.
Ejemplo resuelto
La huerta en dos pedazos
La huerta del colegio tiene 15 surcos y en cada surco hay 234 matas. ¿Cuántas matas hay? Mira el rectángulo.
Ver la solución paso a paso
Son 15 grupos iguales de 234:
$$234 \times 15$$
Partimos el 15 en 10 y 5:
$$234 \times \left(10 + 5\right)$$
Multiplicamos 234 por cada parte. Son los dos pedazos del rectángulo:
$$\left(234 \times 10\right) + \left(234 \times 5\right)$$
Por 10 se agrega un cero. Por 5 es la mitad de por 10:
$$2340 + 1170$$
Sumamos los productos parciales.
$$3510$$
Respuesta: En la huerta hay 3510 matas.
Una huerta más pequeña: 15 surcos de 23 matas, cada surco es una columna. La raya después del surco 10 la parte en 10 × 23 = 230 y 5 × 23 = 115 matas. Juntas son 345: ninguna se pierde ni se repite.
Ejemplo resuelto
La fila corrida del algoritmo
A la tienda llegan 24 cajas con 326 dulces cada una. ¿Cuántos dulces son?
Ver la solución paso a paso
Primero estimamos: 326 es más o menos 300 y 24 es más o menos 20.
$$300 \times 20$$
Deben ser un poco más de:
$$6000$$
Ahora la cuenta exacta:
$$326 \times 24$$
En columnas, la primera fila es 326 por las 4 unidades, y la segunda es 326 por las 2 decenas, que son 20:
$$\left(326 \times 4\right) + \left(326 \times 20\right)$$
La primera fila da 1304. La segunda da 6520: por eso se escribe corrida un lugar, como si terminara en cero.
$$1304 + 6520$$
Sumamos las dos filas:
$$7824$$
Si alguien olvida correr la segunda fila, suma 652 en lugar de 6520:
$$1304 + 652$$
Le daría 1956, mucho menos que la estimación de 6000. Así se descubre el error:
$$1956 < 6000$$
Respuesta: Son 7824 dulces. El resultado está cerca de la estimación y es un poco mayor, como se esperaba.
Ejemplo resuelto
Multiplicar por tres cifras
La planta de leche de la vereda envasa 1245 bolsas cada día. ¿Cuántas bolsas envasa en 132 días?
Ver la solución paso a paso
La cuenta es:
$$1245 \times 132$$
Partimos 132 en centenas, decenas y unidades:
$$1245 \times \left(100 + 30 + 2\right)$$
Multiplicamos 1245 por cada parte:
$$\left(1245 \times 100\right) + \left(1245 \times 30\right) + \left(1245 \times 2\right)$$
Por 100 se agregan dos ceros. Por 30 es por 3 y un cero. Por 2 es el doble. En columnas, la fila de las decenas va corrida un lugar y la de las centenas, dos.
$$124\,500 + 37\,350 + 2490$$
Sumamos los tres productos parciales.
$$164\,340$$
Respuesta: En 132 días envasa 164 340 bolsas.
Ejemplo resuelto
Los billetes del juego de mesa
En un juego de mesa, cada billete azul vale 1000, cada rojo 500 y cada gris 2000. Una ficha redonda vale 10 000. Luisa tiene 13 billetes azules, 22 rojos, 2 grises y 6 fichas. ¿Le alcanza para una tarjeta de auto que cuesta 10 fichas?
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos cuántos hay de cada clase por lo que vale cada uno, y juntamos:
$$\left(13 \times 1000\right) + \left(22 \times 500\right) + \left(2 \times 2000\right) + \left(6 \times 10\,000\right)$$
Cada producto es fácil:
$$13\,000 + 11\,000 + 4000 + 60\,000$$
Sumamos.
$$88\,000$$
La tarjeta cuesta 10 fichas de 10 000:
$$10 \times 10\,000$$
Eso es:
$$100\,000$$
Luisa tiene menos de lo que cuesta la tarjeta:
$$88\,000 < 100\,000$$
Le falta:
$$100\,000 - 88\,000$$
Restamos.
$$12\,000$$
Respuesta: No le alcanza. Tiene 88 000 y le faltan 12 000 para la tarjeta. (Los valores del juego son inventados.)
Práctica
¿Cuál cuenta es igual a $312 \times 24$?
24 es 20 + 4, y el 312 multiplica a las dos partes: 6240 + 1248 = 7488. La opción con 312 × 2 olvida que ese 2 son decenas: es el error de no correr la fila.
Calcula $458 \times 36$.
458 × 30 = 13 740 y 458 × 6 = 2748. Sumados dan 16 488. Estimando, 500 × 36 = 18 000: el resultado está cerca.
Juan multiplicó 326 × 24 en columnas. En la segunda fila escribió 652 sin correrlo y sumó 1304 + 652. ¿Qué número debía sumar en esa fila?
El 2 de 24 son 2 decenas. Entonces la segunda fila es 326 × 20 = 6520, no 652. Por eso se escribe corrida un lugar.
Calcula $2304 \times 125$.
125 es 100 + 20 + 5. 2304 × 100 = 230 400, 2304 × 20 = 46 080 y 2304 × 5 = 11 520. Sumados dan 288 000. Cuidado con el cero de 2304: guarda el lugar de las centenas.
Doña Rosa vende 48 cajas de galletas a 4250 pesos cada caja. ¿Cuántos pesos recibe?
4250 × 40 = 170 000 y 4250 × 8 = 34 000. Juntos dan 204 000 pesos. Estimando, 50 × 4000 = 200 000: tiene sentido.
¿Verdadero o falso? $4578 \times 1 = 4578$
Es verdad. Multiplicar por 1 es tomar el número una sola vez: no cambia. Multiplicar no siempre agranda.
¿Cuál cuenta es igual a $1245 \times 132$? Fíjate en qué vale cada cifra del segundo factor.
132 es 100 + 30 + 2, y el 1245 multiplica a las tres partes. La fila del 1 vale 1245 × 100: por eso va corrida dos lugares. La opción con 1245 × 1 y 1245 × 3 olvida correr las filas.
Mario dice que $507 \times 42 = 3042$. Estima redondeando. ¿Verdadero o falso?
507 × 42 es más o menos 500 × 40 = 20 000. Un resultado de 3042 es muy pequeño: Mario no corrió la fila de las decenas. El producto correcto es 1014 + 20 280 = 21 294.
En el juego de mesa, un billete azul vale 1000, un rojo vale 500 y una ficha vale 10 000. Tomás tiene 15 billetes azules, 18 rojos y 4 fichas. ¿Cuánto dinero tiene?
15 × 1000 = 15 000, 18 × 500 = 9000 y 4 × 10 000 = 40 000. En total, 15 000 + 9000 + 40 000 = 64 000.
¿Por qué 234 × 15 da lo mismo que (234 × 10) + (234 × 5)?
15 grupos de 234 son 10 grupos y 5 grupos más. En el rectángulo de la huerta se ve: los dos pedazos juntos son la huerta entera.
Reto
Une cada multiplicación con otra cuenta que vale lo mismo.
Parte el segundo factor en decenas y unidades, y fíjate en los ceros.
Reto
Multiplica en columnas sin olvidar correr la fila.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado de los productos.
Cada pregunta da una cifra. Haz la multiplicación por partes.
Cierre
En resumen
Para multiplicar por un número de dos o tres cifras, se parte ese factor en centenas, decenas y unidades, y se multiplica por cada parte.
Los resultados de cada parte son los productos parciales; al final se suman.
El modelo del rectángulo muestra por qué funciona partir un factor; los pedazos juntos son el rectángulo entero.
En el algoritmo, la fila de las decenas se corre un lugar y la de las centenas, dos.
Multiplicar no siempre agranda; por 1 el número queda igual. Estimar antes ayuda a descubrir errores.
Vocabulario
- Factor
Cada uno de los números que se multiplican. En 234 × 15, los factores son 234 y 15.
- Producto
El resultado de una multiplicación.
- Producto parcial
El resultado de multiplicar por una sola parte del otro factor, como 234 × 10 cuando se calcula 234 × 15.
- Descomponer un factor
Partirlo en sumandos fáciles, como 15 = 10 + 5, para multiplicar por partes.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje en el tablero un rectángulo de 15 filas y pregunte cómo contar las matas sin contarlas una por una.
- Explicación · 15 min — Partir el factor con el rectángulo de la huerta; el algoritmo con la segunda fila corrida; por tres cifras; los billetes del juego de mesa.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. El dominó, los huecos y el candado en parejas: uno calcula y el otro estima para comprobar.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica a su compañero, con el rectángulo, por qué la segunda fila va corrida.
Preguntas para el salón
- ¿Qué significa el 2 de 24 cuando multiplicamos 326 × 24?
- Si al multiplicar un número el resultado queda igual, ¿por cuánto multiplicamos?
- ¿Cómo les ayuda la estimación a encontrar un error en una multiplicación?
Errores típicos
- No correr la fila de las decenas en el algoritmo (sumar 652 en vez de 6520). Pida escribir un cero al final de la segunda fila antes de empezar a multiplicar, y decir en voz alta «2 decenas son 20».
- Multiplicar solo una parte del factor partido ((234 × 10) + 5 en vez de (234 × 10) + (234 × 5)). Use el rectángulo: cada pedazo tiene su propia multiplicación. Ningún pedazo se queda sin calcular.
- Creer que multiplicar siempre da un número más grande. Pregunte cuántos tornillos hay en una caja de 4578 tornillos. Una vez 4578 es 4578.
- Saltarse el cero de un factor como 2304 y correr mal las cifras. Pida descomponer el factor en la tabla de valor posicional antes de multiplicar.
Tarea sugerida
Inventar un problema de la tienda en el que se compren varias cajas iguales de un producto con precio de cuatro cifras. Resolverlo partiendo el número de cajas y comprobarlo estimando.