Dividir y comprobar
Lo que vas a aprender
- Dividir números de cuatro a seis cifras entre una cifra, sin olvidar los ceros del cociente.
- Dividir entre dos cifras y entre 10, 100 y 1000.
- Estimar el cociente y comprobar la división con dividendo = (divisor × cociente) + residuo.
- Decidir qué significa el residuo en un problema de reparto.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El colegio va de paseo y hay que saber cuántos buses contratar. La panadería empaca su pan en bolsas iguales. La junta del barrio reparte los mercados entre las familias. En todos estos casos se divide.
En esta lección vas a dividir números grandes, vas a estimar antes de dividir y vas a comprobar tu resultado. Además vas a pensar qué hacer con lo que sobra, porque no siempre se hace lo mismo.
Explicación
Repartir y agrupar
Dividir sirve para dos cosas. Para repartir en partes iguales: 408 hojas entre 4 cursos, ¿cuántas le tocan a cada curso? Y para agrupar: 408 huevos en cubetas de 4, ¿cuántas cubetas se llenan?
Cada número de la división tiene su nombre. El que se reparte es el dividendo. Entre el que se reparte es el divisor. El resultado es el cociente. Y lo que sobra es el residuo.
Dividir lugar por lugar
Para dividir un número grande, se reparte de izquierda a derecha, un lugar cada vez. Se empieza por el lugar de más a la izquierda y se sigue hacia la derecha. Si la primera cifra no alcanza para el divisor, se junta con la siguiente: en 15 437 ÷ 6 se empieza por 15 unidades de mil. Lo que sobra en un lugar pasa al lugar siguiente.
El cero del cociente
A veces, en un lugar, no alcanza para darle ni uno a cada parte. Entonces en el cociente se escribe un cero. Ese cero no se puede saltar.
Mira 408 ÷ 4. Las 4 centenas entre 4 dan 1 centena. Las 0 decenas entre 4 dan 0 decenas. Las 8 unidades entre 4 dan 2 unidades. El cociente es 102. Un error muy común es escribir 12, saltándose el cero. Pero 12 × 4 da 48, no 408.
Estimar antes de dividir
Antes de empezar, piensa cuántas cifras tendrá el cociente. En 408 ÷ 4, como 4 cabe en 400 cien veces, el cociente es de cien y algo: tiene tres cifras. Si te da un número de dos cifras, olvidaste un cero.
Para dividir entre dos cifras, redondea el divisor. 42 es casi 40. Así encuentras más rápido cuántas veces cabe.
El residuo siempre es menor que el divisor
Si sobra tanto como el divisor, o más, entonces alcanzaba para dar una vuelta más. Por ejemplo, si repartes entre 7 y te sobran 12, todavía puedes darle uno más a cada uno. El residuo tiene que ser menor que el divisor.
Comprobar
La multiplicación deshace la división. Siempre se cumple:
dividendo = (divisor × cociente) + residuo
Si al hacer esa cuenta no vuelves al dividendo, hay un error.
Entre 10, 100 y 1000
Si el dividendo termina en al menos un cero, dividir entre 10 es quitar un cero. Para dividir así entre 100 hacen falta al menos dos ceros al final, y entre 1000, tres. Con 47 300 ÷ 1000 no alcanza: solo tiene dos ceros.
¿Dividir siempre achica?
No siempre. Si divides entre 1, el número queda igual. Repartir 5280 hojas entre 1 solo curso le deja las 5280 a ese curso.
¿Qué hago con lo que sobra?
Depende del problema. Si empacas panes en bolsas, el residuo son panes que sobran. Pero si llevas personas en buses, nadie se puede quedar: hace falta un bus más.
Ejemplo resuelto
El cero que no se salta
La papelería reparte 8424 hojas entre 4 colegios por partes iguales. ¿Cuántas hojas le tocan a cada colegio?
Ver la solución paso a paso
Estimamos: 8000 entre 4 son 2000. El cociente es de dos mil y algo, con cuatro cifras.
$$8000 \div 4$$
Da:
$$2000$$
Ahora repartimos lugar por lugar. Partimos 8424 en 8000, 400 y 24, porque cada parte se reparte exacta entre 4:
$$8424 \div 4$$
Repartimos cada parte:
$$\left(8000 \div 4\right) + \left(400 \div 4\right) + \left(24 \div 4\right)$$
Las 8 unidades de mil dan 2 unidades de mil. Las 4 centenas dan 1 centena. Las 2 decenas no alcanzan para 4: va un 0 en las decenas. Con las 24 unidades salen 6.
$$2000 + 100 + 6$$
El cociente es:
$$2106$$
Comprobamos con la multiplicación:
$$4 \times 2106 = 8424$$
Si alguien se salta el cero, escribe 216. Pero 216 no tiene cuatro cifras, y al comprobar no vuelve a 8424:
$$4 \times 216 \ne 8424$$
Respuesta: A cada colegio le tocan 2106 hojas.
Reparte los bloques de 8424 entre 4 colegios, de la pieza más grande a la más chica. Las 2 barras no alcanzan para los 4: rómpelas en cubitos. A cada uno le tocan 2106: el 0 dice que no le tocó ninguna barra.
Ejemplo resuelto
Cociente, residuo y comprobación
La panadería hornea 15 437 panes y los empaca en bolsas de 6. ¿Cuántas bolsas llena y cuántos panes sobran?
Ver la solución paso a paso
Estimamos: 6 × 2000 cabe en 15 437, pero 6 × 3000 se pasa. El cociente está entre 2000 y 3000.
$$6 \times 2000 \le 15\,437 < 6 \times 3000$$
Dividiendo lugar por lugar, se llenan 2572 bolsas. Para saber cuántos panes sobran, quitamos los que ya están en bolsas:
$$15\,437 - \left(6 \times 2572\right)$$
El residuo es:
$$5$$
Comprobamos: divisor por cociente más residuo debe dar el dividendo, y el residuo debe ser menor que el divisor.
$$15\,437 = \left(6 \times 2572\right) + 5 \quad\text{y}\quad 5 < 6$$
Respuesta: Llena 2572 bolsas y sobran 5 panes. El cociente está entre 2000 y 3000, como decía la estimación.
1538 queda entre 42 × 36 = 1512 y 42 × 37 = 1554. Por eso el 42 cabe 36 veces en 1538, y sobra un poco.
Ejemplo resuelto
¿Cuántos buses?
Al festival escolar del municipio van 1538 estudiantes. Cada bus lleva 42. ¿Cuántos buses hay que contratar?
Ver la solución paso a paso
Estimamos con 40 en vez de 42: 40 × 30 = 1200 y 40 × 40 = 1600. El cociente está entre 30 y 40.
$$40 \times 30 < 1538 < 40 \times 40$$
Probamos con el número exacto. 42 × 36 todavía cabe, pero 42 × 37 se pasa. Mira la recta:
$$42 \times 36 \le 1538 < 42 \times 37$$
Entonces 36 buses se llenan. Los estudiantes que quedan sin bus son:
$$1538 - \left(42 \times 36\right)$$
Quedan:
$$26$$
Comprobamos, y el residuo es menor que 42:
$$1538 = \left(42 \times 36\right) + 26 \quad\text{y}\quad 26 < 42$$
Pero 26 estudiantes no se pueden quedar en el colegio. Hace falta un bus más:
$$36 + 1$$
Son:
$$37$$
Respuesta: Hay que contratar 37 buses. Aquí el residuo obliga a sumar uno al cociente.
Ejemplo resuelto
Quitar ceros
En la caja de la tienda hay 356 000 pesos. ¿Cuántos billetes de 1000 son? ¿Y cuántas monedas de 100?
Ver la solución paso a paso
Billetes de 1000: dividimos entre 1000.
$$356\,000 \div 1000$$
Se quitan tres ceros:
$$356$$
Comprobamos:
$$356 \times 1000 = 356\,000$$
Monedas de 100: dividimos entre 100.
$$356\,000 \div 100$$
Se quitan dos ceros:
$$3560$$
Respuesta: Son 356 billetes de 1000, o 3560 monedas de 100. Con monedas más pequeñas se necesitan más.
Práctica
Calcula $408 \div 4$. Antes, piensa cuántas cifras tendrá el cociente.
4 centenas entre 4 dan 1 centena. 0 decenas entre 4 dan 0 decenas: va un cero. 8 unidades entre 4 dan 2. El cociente es 102, de tres cifras. Si escribiste 12, comprueba: 12 × 4 = 48, no 408.
Andrea dividió 6324 entre 6 y le dio 154. ¿Cuál es el cociente correcto?
6 unidades de mil entre 6 dan 1. 3 centenas entre 6 no alcanzan: va un 0. Las 32 decenas dan 5 y sobran 2. Las 24 unidades dan 4. Queda 1054. Andrea se saltó el cero: 154 × 6 = 924, muy lejos de 6324.
Una finca empaca 23 450 naranjas en bolsas de 8. ¿Cuántas bolsas se llenan?
23 450 ÷ 8 da 2931 y sobran 2, porque 8 × 2931 = 23 448. Se llenan 2931 bolsas; las 2 naranjas que sobran no llenan otra.
Se reparten 4875 cuadernos entre 7 escuelas por partes iguales. ¿Cuántos cuadernos sobran?
A cada escuela le tocan 696 cuadernos, porque 7 × 696 = 4872. Sobran 4875 − 4872 = 3, que es menor que 7.
Jorge dice que al dividir 250 entre 7 el cociente es 34 y el residuo es 12. ¿Está bien hecha su división? Responde verdadero si se cumple $250 = \left(7 \times 34\right) + 12 \quad\text{y}\quad 12 < 7$.
La cuenta (7 × 34) + 12 sí da 250, pero sobran 12, que es más que 7: alcanzaba para una vuelta más. La división correcta da 35 y sobran 5.
En una división, el divisor es 9, el cociente es 1256 y el residuo es 7. ¿Cuál es el dividendo?
dividendo = (divisor × cociente) + residuo = (9 × 1256) + 7 = 11 304 + 7 = 11 311.
Calcula $47\,300 \div 100$.
Dividir entre 100 es quitar dos ceros: 47 300 ÷ 100 = 473. Se comprueba con 473 × 100 = 47 300.
¿Cuál de estas divisiones da exactamente $5280$?
Entre 1 el número queda igual: 5280 ÷ 1 = 5280. Dividir no siempre achica. 5280 ÷ 5280 da 1, no 5280.
Para la fiesta del colegio compraron 1248 empanadas y las reparten entre 24 salones por partes iguales. ¿Cuántas empanadas le tocan a cada salón?
24 es casi 25, y 25 × 50 = 1250: el cociente es cerca de 50. Probando, 24 × 52 = 1248 exacto. A cada salón le tocan 52.
Van 538 personas a una excursión y cada buseta lleva 42. La división da 12 y sobran 34. ¿Cuántas busetas se necesitan?
12 busetas van llenas, pero quedan 34 personas sin puesto. Nadie se puede quedar, así que hace falta una buseta más: 13.
Al dividir 100 entre 8, el cociente es 12 y el residuo es 4. ¿En cuál de estos problemas la respuesta es 13?
En el paseo, los 4 niños que sobran también tienen que ir: hace falta un carro más, 13. En los otros problemas lo que sobra se queda sin usar, y la respuesta es 12.
Reto
Divide lugar por lugar sin saltarte el cero.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado de las divisiones.
Cada pregunta da una cifra. Comprueba con la multiplicación.
Reto
Completa el crucigrama de la división.
Lee cada pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Para dividir un número grande se reparte de izquierda a derecha, un lugar cada vez.
Cuando en un lugar no alcanza, en el cociente se escribe un cero; saltarlo da un cociente con menos cifras.
El residuo siempre es menor que el divisor; si no, alcanzaba para una vuelta más.
Se comprueba con dividendo = (divisor × cociente) + residuo.
Entre 1 el número queda igual; y lo que se hace con el residuo depende del problema.
Vocabulario
- Dividendo
El número que se reparte. En 408 ÷ 4, el dividendo es 408.
- Divisor
El número entre el que se reparte, o el tamaño de cada grupo. En 408 ÷ 4, el divisor es 4.
- Cociente
Cuánto le toca a cada parte, o cuántos grupos se forman. En 408 ÷ 4, el cociente es 102.
- Residuo
Lo que sobra cuando ya no alcanza para otra vuelta. Siempre es menor que el divisor.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 408 ÷ 4 = 12 en el tablero y pregunte si está bien. Pida comprobarlo con la multiplicación.
- Explicación · 15 min — Dividir lugar por lugar con la tabla de valor posicional; el cero del cociente; estimar cuántas cifras tendrá; el residuo menor que el divisor; los buses del festival en la recta.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos, el candado y el crucigrama en parejas: uno divide y el otro comprueba con (divisor × cociente) + residuo.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa un problema en el que el residuo obligue a sumar uno al cociente, y otro en el que el residuo sobre.
Preguntas para el salón
- ¿Cómo saben, antes de dividir, cuántas cifras va a tener el cociente?
- Si al dividir entre 7 les sobran 9, ¿qué pasó?
- ¿Por qué a veces la respuesta es el cociente y a veces el cociente más uno?
Errores típicos
- Olvidar el cero del cociente (408 ÷ 4 = 12 en vez de 102). Pida estimar primero cuántas cifras tendrá el cociente y escribir una casilla por cada una. Cada casilla se llena, aunque sea con cero.
- Dejar un residuo mayor o igual que el divisor. Pida comparar siempre el residuo con el divisor antes de terminar. Si no es menor, el cociente sube uno.
- Creer que dividir siempre da un número más pequeño. Pregunte cuántas hojas le tocan a un curso si se reparten todas entre un solo curso.
- Dar el cociente como respuesta sin pensar qué significa el residuo. Pida escribir con una frase qué es lo que sobra (panes, personas, pesos) y decidir si se puede dejar o si hace falta uno más.
Tarea sugerida
Inventar dos problemas de reparto de la casa o del barrio con números de cuatro cifras: en uno el residuo se deja y en el otro obliga a sumar uno. Resolverlos y comprobarlos con (divisor × cociente) + residuo.