Secuencias que suman
Lo que vas a aprender
- Encontrar el salto de una secuencia restando dos términos seguidos y comprobarlo con todos los demás.
- Calcular los términos que siguen, o uno que falta, en secuencias que suman o restan siempre lo mismo.
- Describir con palabras la regla de una secuencia de números o de figuras.
- Reconocer una secuencia que no suma siempre lo mismo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La ruta del bus pasa por el paradero cada 15 minutos. En la tienda, las bolsas de leche se apilan de a 6. En el campeonato del salón, cada partido ganado da 3 puntos. En todos estos casos hay algo que se repite: se suma siempre lo mismo.
Cuando descubres lo que se repite, puedes adivinar lo que viene sin tener que contar todo otra vez. En esta lección vas a encontrar esa regla, vas a decirla con tus palabras y vas a usarla para calcular los números que siguen. También vas a aprender a darte cuenta cuando una lista no sigue esa regla.
Explicación
¿Qué es una secuencia?
Mira esta lista: 5, 10, 15, 20. Cada número es 5 más que el anterior. Una lista así, que va en orden y sigue una regla, se llama secuencia. Cada número de la lista es un término.
Lo que se suma para pasar de un término al siguiente es el salto. En 5, 10, 15, 20, el salto es 5.
Crecientes y decrecientes
Si cada término es más grande que el anterior, la secuencia es creciente: se suma el salto. Si cada término es más pequeño, la secuencia es decreciente: se resta el salto. Por ejemplo, 90, 80, 70, 60 resta 10 cada vez.
Cómo encontrar el salto
Toma dos términos seguidos y resta el pequeño del grande. Eso te da el salto. Pero no te quedes con una sola pareja. Haz la resta con todas las parejas seguidas. Si todas dan lo mismo, la secuencia suma (o resta) siempre lo mismo.
Decir la regla con palabras
La regla tiene dos partes: dónde empieza y qué se hace cada vez. Para 5, 10, 15, 20 la regla es: «empieza en 5 y suma 5 cada vez». Para 90, 80, 70, 60: «empieza en 90 y resta 10 cada vez». Con esa frase, cualquier compañero puede seguir la secuencia sin verla.
Estrategias para seguir la secuencia
Hay varias formas de hallar los términos que siguen:
- Sumar el salto al último término, una vez por cada término nuevo.
- Mirar las cifras que cambian. En 45 200, 45 450, 45 700 solo cambian las centenas y las decenas: el resto se queda quieto.
- Dibujar los saltos en una recta, como ranas que brincan siempre lo mismo.
Para encontrar un término que falta en el medio, sumas el salto al término de antes, o lo restas si la secuencia es decreciente. Y compruebas que, al hacerlo otra vez, llegas al término de después.
Secuencias de figuras
Una secuencia también puede ser de dibujos: torres de fichas, filas de tapas, cuadros hechos con palillos. Cuentas los objetos de cada figura y obtienes una secuencia de números. Así descubres cuántos objetos se agregan cada vez.
¡Cuidado! No todas las secuencias suman lo mismo
Muchos niños miran solo los dos primeros términos y creen que ya saben la regla. Mira 3, 6, 12, 24. De 3 a 6 se suman 3, pero de 6 a 12 se suman 6. No suma siempre lo mismo: aquí cada número es el doble del anterior. Esa clase de secuencia, la que multiplica, la verás en la próxima lección.
Hay otras que tampoco suman lo mismo. En 1, 2, 4, 7, 11 los saltos van creciendo: 1, 2, 3, 4. Por eso siempre hay que revisar todos los saltos antes de decir la regla.
Ejemplo resuelto
La alcancía del salón
La alcancía del salón tiene 12 500 pesos el lunes, 15 000 el martes y 17 500 el miércoles. Si sigue así, ¿cuánto tendrá el jueves y el viernes?
Ver la solución paso a paso
Restamos dos términos seguidos para encontrar el salto:
$$15\,000 - 12\,500$$
El salto es:
$$2500$$
No nos quedamos con una sola pareja. Revisamos la siguiente: también tiene que dar 2500.
$$17\,500 - 15\,000 = 2500$$
Todos los saltos son iguales. La regla es «empieza en 12 500 y suma 2500 cada día». Para el jueves, sumamos el salto al miércoles:
$$17\,500 + 2500$$
El jueves tiene:
$$20\,000$$
Para el viernes, sumamos otra vez el salto:
$$20\,000 + 2500$$
El viernes tiene:
$$22\,500$$
Respuesta: El jueves tendrá 20 000 pesos y el viernes 22 500. En la recta se ven los saltos, todos del mismo tamaño.
La alcancía del salón, de lunes a viernes. Cada salto es de 2500 pesos. Los tramos azules marcan dos de esos saltos: miden lo mismo.
Ejemplo resuelto
La tarjeta del bus
Valentina mira el saldo de su tarjeta del bus después de cada viaje: 30 000, 27 100, 24 200 pesos. Cada viaje cuesta lo mismo. ¿Qué saldo tendrá después de dos viajes más?
Ver la solución paso a paso
El saldo baja: es una secuencia decreciente. Restamos el grande menos el pequeño para hallar el salto:
$$30\,000 - 27\,100$$
Cada viaje cuesta:
$$2900$$
Comprobamos con la otra pareja:
$$27\,100 - 24\,200 = 2900$$
La regla es «empieza en 30 000 y resta 2900 cada viaje». Siguiente viaje:
$$24\,200 - 2900$$
Queda:
$$21\,300$$
Un viaje más:
$$21\,300 - 2900$$
Queda:
$$18\,400$$
Respuesta: Después de dos viajes más tendrá 18 400 pesos. En una secuencia decreciente el salto se resta.
Ejemplo resuelto
Torres de fichas
Lina arma torres con fichas. La primera tiene 3 fichas, la segunda 5, la tercera 7 y la cuarta 9. ¿Cuántas fichas tendrá la sexta torre?
Ver la solución paso a paso
Contamos cuántas fichas se agregan de una torre a la siguiente:
$$5 - 3$$
Se agregan:
$$2$$
Revisamos los otros saltos. Todos tienen que ser 2:
$$7 - 5 = 2 \quad\text{y}\quad 9 - 7 = 2$$
La regla es «empieza en 3 y suma 2 cada vez». La quinta torre:
$$9 + 2$$
Tiene:
$$11$$
La sexta torre:
$$11 + 2$$
Tiene:
$$13$$
Respuesta: La sexta torre tendrá 13 fichas. La gráfica muestra las torres que ya armó y las dos que siguen.
Las torres de Lina. Cada torre tiene 2 fichas más que la anterior: 3, 5, 7 y 9. En rojo, las dos que siguen: 11 y 13.
Ejemplo resuelto
¿Suma siempre lo mismo?
Mateo ve la secuencia 3, 6, 12, 24 y dice: «Se suma 3, así que sigue 27». ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Mateo miró solo la primera pareja:
$$6 - 3$$
Ese salto es:
$$3$$
Revisamos la segunda pareja:
$$12 - 6$$
Este salto es:
$$6$$
Los saltos no son iguales. La secuencia no suma siempre lo mismo:
$$6 - 3 \ne 12 - 6$$
Miramos de otra forma: cada término es el doble del anterior.
$$3 \times 2 = 6 \quad\text{y}\quad 6 \times 2 = 12 \quad\text{y}\quad 12 \times 2 = 24$$
El 27 de Mateo sale de sumar 3 otra vez, y no es el doble de 24:
$$24 + 3 = 27 \quad\text{y}\quad 27 \ne 24 \times 2$$
Lo que sigue es el doble de 24:
$$24 \times 2$$
Sigue:
$$48$$
Respuesta: Mateo no tiene razón: los saltos cambian. Esta secuencia multiplica por 2 y lo que sigue es 48.
Práctica
¿Cuál es el término que sigue en 45 200, 45 450, 45 700, …?
El salto es 45 450 − 45 200 = 250, y 45 700 − 45 450 también da 250. Sigue 45 700 + 250 = 45 950. Solo cambian las centenas y las decenas.
¿Cuál es el término que sigue en 860 000, 835 000, 810 000, …?
Es decreciente: cada vez se restan 860 000 − 835 000 = 25 000. Sigue 810 000 − 25 000 = 785 000.
En la secuencia 3405, 3505, 3605, 3705, ¿cuánto se suma cada vez?
3505 − 3405 = 100, y lo mismo con las demás parejas. Cambia la cifra de las centenas: 4, 5, 6, 7. El salto es 100.
¿Qué número falta en 7250, 7500, □, 8000?
El salto es 7500 − 7250 = 250. Al 7500 le sumamos 250 y da 7750. Comprobamos: 7750 + 250 = 8000, que es el término de después.
¿Qué número falta en 50 000, □, 38 000, 32 000?
De 38 000 a 32 000 se restan 6000. Entonces 50 000 − 6000 = 44 000. Comprobamos: 44 000 − 6000 = 38 000.
Nicolás dice que la secuencia 5, 10, 20, 40 suma siempre lo mismo. Compara los dos primeros saltos. ¿Es verdad que $10 - 5 = 20 - 10$?
10 − 5 = 5, pero 20 − 10 = 10. Los saltos cambian, así que no suma siempre lo mismo. Aquí cada término es el doble del anterior.
Una secuencia empieza en 2350 y suma 1200 cada vez. ¿Cuál es el cuarto término?
Primero 2350, segundo 3550, tercero 4750 y cuarto 5950. Del primero al cuarto hay tres saltos, no cuatro: 2350 + 1200 + 1200 + 1200 = 5950.
En el recreo, Samuel arma filas de tapas: la primera tiene 4 tapas, la segunda 8, la tercera 12. ¿Cuántas tapas tendrá la quinta fila?
Se agregan 4 tapas cada vez. La cuarta fila tiene 12 + 4 = 16 y la quinta 16 + 4 = 20.
¿Qué regla describe la secuencia 120 000, 115 000, 110 000, 105 000?
La secuencia empieza en 120 000 y baja: es decreciente. Cada vez se restan 5000. Una regla completa dice dónde empieza y qué se hace cada vez.
¿Cuál de estas listas NO suma siempre lo mismo?
En 1, 2, 4, 7, 11 los saltos son 1, 2, 3 y 4: van creciendo. Las otras listas tienen siempre el mismo salto: 5, 100 (restando) y 15.
Reto
Sigue la secuencia que resta.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
¿El salto es siempre el mismo?
Revisa todos los saltos de cada lista, no solo el primero, y llévala a su canasta.
Cierre
En resumen
Una secuencia es una lista que va en orden y sigue una regla; cada número es un término.
El salto se encuentra restando dos términos seguidos, y se revisa con todas las parejas.
En una secuencia creciente se suma el salto; en una decreciente se resta.
La regla se dice con dos partes, dónde empieza y qué se hace cada vez.
No todas las secuencias suman lo mismo; algunas multiplican y otras tienen saltos que cambian.
Vocabulario
- Secuencia
Una lista de números o de figuras que van en orden y siguen una regla. Por ejemplo, 5, 10, 15, 20.
- Término
Cada número o cada figura de la secuencia. En 5, 10, 15, 20, el tercer término es 15.
- Salto
Lo que se suma o se resta para pasar de un término al siguiente. En 5, 10, 15, 20, el salto es 5.
- Regla
La frase que dice cómo se arma la secuencia: dónde empieza y qué se hace cada vez. Por ejemplo, «empieza en 5 y suma 5».
- Secuencia creciente
Una secuencia en la que cada término es mayor que el anterior.
- Secuencia decreciente
Una secuencia en la que cada término es menor que el anterior.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 3, 6, 12, … en el tablero y pida el número que sigue. Anote las respuestas (15, 24) sin corregir: se retoman al final de la explicación.
- Explicación · 15 min — Salto como resta de dos términos seguidos; revisar todas las parejas; crecientes y decrecientes; la regla en dos partes; las torres de fichas con material concreto; el caso de Mateo.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos y las cestas en parejas: uno dice la regla con palabras y el otro la comprueba con todos los saltos.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una secuencia que suma siempre lo mismo y otra que no, y reta a otra pareja a clasificarlas.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no basta con mirar los dos primeros términos para saber la regla?
- ¿Cómo saben si una secuencia es creciente o decreciente sin hacer cuentas?
- Si conocen el primer término y el salto, ¿cómo le dirían a un compañero la regla para que la siga sin verla?
Errores típicos
- Creer que toda secuencia crece sumando siempre lo mismo y mirar solo la primera pareja (en 3, 6, 12, 24 decir que sigue 27). Pida escribir todos los saltos debajo de la secuencia antes de dar la regla. Si los saltos no son iguales, la secuencia no es de las que suman.
- En una secuencia decreciente, sumar el salto en vez de restarlo. Pida decir primero si la secuencia sube o baja, y escribir la regla con la palabra «suma» o «resta».
- Contar mal los saltos (creer que del primero al cuarto término hay cuatro saltos). Pida dibujar los términos como piedras y los saltos como arcos entre ellas: siempre hay un arco menos que piedras.
- En números grandes, sumar el salto en el lugar equivocado (sumar 250 a las unidades de mil). Pida mirar qué cifras cambian de un término a otro y cuáles se quedan quietas.
Tarea sugerida
Buscar en la casa o en el barrio algo que aumente o disminuya siempre lo mismo (la numeración de las casas de una cuadra, los precios de una promoción inventada, las hojas del almanaque). Escribir cinco términos y la regla con palabras.