Secuencias que multiplican y la calculadora
Lo que vas a aprender
- Distinguir una secuencia que multiplica de una que suma, revisando todos sus pasos.
- Calcular los términos que siguen en secuencias que multiplican o dividen siempre por lo mismo.
- Usar la tecla «=» repetida de la calculadora para producir una secuencia y contar cuántas veces se oprime.
- Comparar cómo crecen una secuencia que suma y una que multiplica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Lucía le cuenta un chiste a 3 amigos. Cada uno se lo cuenta a otros 3, y cada uno de esos a otros 3. ¡En poco tiempo lo sabe todo el colegio! Eso pasa porque el número de personas no crece sumando, sino multiplicando.
En esta lección vas a conocer las secuencias que multiplican y las que dividen. Vas a usar la calculadora para fabricarlas con la tecla «=». Y vas a ver por qué una secuencia que multiplica deja muy atrás a una que suma.
Explicación
Secuencias que multiplican
Mira 3, 6, 12, 24. De 3 a 6 se suman 3. De 6 a 12 se suman 6. De 12 a 24 se suman 12. Los saltos no son iguales, así que no es una secuencia que suma.
Pero mira otra cosa: 6 es el doble de 3, 12 es el doble de 6 y 24 es el doble de 12. Cada término es el anterior multiplicado por 2. Es una secuencia que multiplica. Su regla es «empieza en 3 y multiplica por 2 cada vez».
Cómo saber por cuánto se multiplica
Divide un término entre el anterior. En 5, 15, 45, la cuenta 15 ÷ 5 da 3. Después revisa todas las parejas, igual que con los saltos: 45 ÷ 15 también da 3. Si todas dan lo mismo, la secuencia multiplica siempre por ese número.
¿Suma o multiplica?
Una secuencia que suma tiene saltos iguales. Una que multiplica tiene saltos que crecen cada vez más. Pero que los saltos crezcan no basta: en 1, 2, 4, 7, 11 también crecen, y no multiplica. Compruébalo siempre dividiendo cada término entre el anterior. Si te equivocas de tipo, te equivocas en todo lo que sigue. En 3, 6, 12, el que suma 3 por costumbre dice que sigue 15. Pero la regla es doblar, y sigue 24.
Secuencias que dividen
También hay secuencias que bajan dividiendo: 64 000, 32 000, 16 000. Cada término es la mitad del anterior: se divide entre 2. Ojo: no se resta siempre lo mismo. De 64 000 a 32 000 bajan 32 000, pero de 32 000 a 16 000 bajan solo 16 000.
La tecla «=» de la calculadora
Muchas calculadoras sencillas repiten la última operación cuando oprimes «=» otra vez. Escribe 4 × 2 y oprime «=»: la pantalla muestra 8. Oprime «=» otra vez: la calculadora hace 8 × 2 y muestra 16. Otra vez: 32. ¡La calculadora fabrica una secuencia que multiplica por 2!
Con la división pasa igual. Escribe 2048 ÷ 2 y oprime «=»: sale 1024. Cada «=» vuelve a dividir entre 2. Llega un momento en que el número ya no se puede partir en dos mitades enteras. Entonces el resultado tiene coma, como 0,5: dejó de ser un número natural. Ojo: casi todas las calculadoras y los celulares muestran un punto en lugar de la coma. Si en la pantalla ves 0.5, es 0,5.
No todas las calculadoras hacen lo mismo
Algunas calculadoras repiten el primer número en vez del segundo. Con 4 × 2 = = muestran 8 y luego 32, porque multiplican otra vez por 4. Otras no repiten nada. Con tu docente, prueben las calculadoras del salón o del celular y descubran qué hace cada una. En esta lección usamos la que repite el último número que escribiste. Si no tienes calculadora, haz las mismas cuentas en el cuaderno: es la misma secuencia.
Sumar contra multiplicar
Empecemos dos secuencias en 3. Una suma 2 cada vez y la otra multiplica por 2. Al principio van casi parejas. Pero cada vez la que multiplica da saltos más grandes, y al sexto término ya va muy lejos. Lo vas a ver en la gráfica.
Ejemplo resuelto
4 × 2 y la tecla «=»
En la calculadora escribes 4 × 2 y oprimes «=» seis veces. ¿Qué números van saliendo en la pantalla?
Ver la solución paso a paso
Primera vez: la calculadora hace la cuenta que escribiste.
$$4 \times 2$$
Muestra:
$$8$$
Segunda vez: repite «× 2» sobre lo que hay en la pantalla.
$$8 \times 2$$
Muestra:
$$16$$
Tercera vez:
$$16 \times 2$$
Muestra:
$$32$$
Cuarta vez:
$$32 \times 2$$
Muestra:
$$64$$
Quinta vez:
$$64 \times 2$$
Muestra:
$$128$$
Sexta vez:
$$128 \times 2$$
Muestra:
$$256$$
Respuesta: Salen 8, 16, 32, 64, 128 y 256. Cada número es el doble del anterior: la calculadora fabricó una secuencia que multiplica por 2.
Escribe 4, la tecla × 2 y oprime «=» una y otra vez: cada vez sale el doble del anterior, 8, 16, 32, 64, 128.
Ejemplo resuelto
2048 ÷ 2 hasta que aparece la coma
Escribes 2048 ÷ 2 y oprimes «=» una y otra vez. ¿Cuántas veces tienes que oprimir «=» para que el resultado deje de ser un número natural?
Ver la solución paso a paso
Vez 1:
$$2048 \div 2 = 1024$$
Vez 2:
$$1024 \div 2 = 512$$
Vez 3:
$$512 \div 2 = 256$$
Vez 4:
$$256 \div 2 = 128$$
Vez 5:
$$128 \div 2 = 64$$
Vez 6:
$$64 \div 2 = 32$$
Vez 7:
$$32 \div 2 = 16$$
Vez 8:
$$16 \div 2 = 8$$
Vez 9:
$$8 \div 2 = 4$$
Vez 10:
$$4 \div 2 = 2$$
Vez 11: todavía es un número natural.
$$2 \div 2 = 1$$
Vez 12: un 1 no se parte en dos mitades enteras. Aparece la coma (en la pantalla, 0.5).
$$1 \div 2 = 0{,}5$$
Respuesta: Hay que oprimir «=» 12 veces. En la vez 11 sale 1, que todavía es natural; en la vez 12 sale 0,5, que ya no lo es.
Ejemplo resuelto
Sumar 2 contra multiplicar por 2
Dos secuencias empiezan en 3. La azul suma 2 cada vez y la roja multiplica por 2. ¿Cuánto vale el sexto término de cada una?
Ver la solución paso a paso
Del primer término al sexto hay cinco pasos. La azul suma 2 cinco veces:
$$3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2$$
Su sexto término es:
$$13$$
La roja multiplica por 2 cinco veces:
$$3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$
Su sexto término es:
$$96$$
La que multiplica va muy lejos de la que suma:
$$96 - 13 = 83$$
Respuesta: La azul llega a 13 y la roja a 96. Al principio van parejas: las dos tienen 3, y luego 5 y 6. Después la roja se dispara.
Las dos secuencias del ejemplo. Azul: suma 2 (3, 5, 7, 9, 11, 13). Roja: multiplica por 2 (3, 6, 12, 24, 48, 96).
Práctica
¿Cuál es el término que sigue en 5, 15, 45, 135, …?
15 ÷ 5 = 3, 45 ÷ 15 = 3 y 135 ÷ 45 = 3: multiplica por 3. Sigue 135 × 3 = 405. Si sumas 90, que fue el último salto, te da 225, pero los saltos no son iguales.
En la calculadora de la lección escribes 3 × 4 y oprimes «=» tres veces. ¿Qué número muestra la pantalla?
La primera vez sale 3 × 4 = 12. La segunda, 12 × 4 = 48. La tercera, 48 × 4 = 192.
Sigues con 3 × 4 en la misma calculadora. ¿Cuántas veces, como mínimo, tienes que oprimir «=» para que la pantalla pase de 1000?
Van saliendo 12, 48, 192, 768 y 3072. Con 4 veces sale 768, que todavía no pasa de 1000. Con 5 veces sale 3072.
Escribes 729 ÷ 3 y oprimes «=» una y otra vez. ¿Cuántas veces tienes que oprimir «=» para que el resultado deje de ser un número natural?
Salen 243, 81, 27, 9, 3 y 1: son 6 veces y todos son naturales. La vez 7 divide 1 entre 3 y aparece la coma.
¿Cuál es el término que sigue en 64 000, 32 000, 16 000, …?
Cada término es la mitad del anterior: 16 000 ÷ 2 = 8000. Si restas 16 000, como el último salto, te da 0, pero esta secuencia no resta siempre lo mismo: divide entre 2.
Paula dice que 3, 6, 9, 12 es una secuencia que multiplica por 2. Compruébalo con el tercer término. ¿Es verdad que $6 \times 2 = 9$?
6 × 2 = 12, no 9. Esta secuencia suma 3 cada vez: 3, 6, 9, 12. Que los dos primeros términos sirvan para las dos reglas no quiere decir que todos sirvan.
Dos secuencias empiezan en 2. Una suma 2 cada vez y la otra multiplica por 2. ¿Cuánto vale el sexto término de la que multiplica?
La que multiplica: 2, 4, 8, 16, 32, 64. La que suma: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Empiezan iguales, pero al sexto término la que multiplica ya vale más de cinco veces la otra.
¿Qué número falta en 7, 21, □, 189?
21 ÷ 7 = 3: se multiplica por 3. 21 × 3 = 63. Comprobamos: 63 × 3 = 189, que es el término de después.
¿Por qué número se multiplica en 6, 30, 150, 750?
30 ÷ 6 = 5, 150 ÷ 30 = 5 y 750 ÷ 150 = 5. El 24 es lo que se suma la primera vez, pero el siguiente salto ya es 120.
Lucía le cuenta una noticia del colegio a 3 compañeros. En la ronda siguiente, cada uno se la cuenta a 3 más, y así sigue. ¿Cuántos niños la reciben en la cuarta ronda?
Primera ronda, 3 niños. Segunda, 3 × 3 = 9. Tercera, 9 × 3 = 27. Cuarta, 27 × 3 = 81. Multiplica por 3 cada ronda.
Juan escribe 4 × 2 y oprime «=» varias veces. La pantalla muestra 8, 16, 32, 64. ¿Qué hace la calculadora cada vez que oprime «=»?
8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32 y 32 × 2 = 64. Sumar 8 sirve solo para el primer paso: 16 + 8 = 24, no 32.
Reto
Divide con la tecla «=».
Elige en cada espacio el número que muestra la pantalla.
Reto
Abre el candado de las secuencias que multiplican.
Cada pregunta da una cifra. Revisa todas las parejas antes de responder.
Cierre
En resumen
En una secuencia que multiplica, cada término es el anterior multiplicado siempre por el mismo número.
Para saber por cuánto se multiplica, se divide un término entre el anterior y se revisan todas las parejas.
Una secuencia que suma tiene saltos iguales; en una que multiplica, dividir cada término entre el anterior da siempre lo mismo.
En muchas calculadoras, la tecla «=» repetida repite la última operación y fabrica una secuencia.
Una secuencia que multiplica deja muy atrás a una que suma, aunque empiecen en el mismo número.
Vocabulario
- Secuencia que multiplica
Una secuencia en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior siempre por el mismo número. Por ejemplo, 3, 6, 12, 24 multiplica por 2.
- Secuencia que divide
Una secuencia en la que cada término se obtiene dividiendo el anterior siempre entre el mismo número. Por ejemplo, 80, 40, 20, 10 divide entre 2.
- Doble
El resultado de multiplicar por 2. El doble de 12 es 24.
- Número natural
Los números que usamos para contar: 0, 1, 2, 3 y así. No llevan coma. 0,5 no es un número natural.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 3, 6, … en el tablero. Pida dos formas distintas de seguirla (sumar 3 o doblar) y escriba las dos secuencias una debajo de la otra.
- Explicación · 15 min — Revisar todas las parejas con la división; secuencias que dividen; la tecla «=» con las calculadoras del salón (antes, cada grupo descubre si su calculadora repite el primer o el segundo número); la gráfica de sumar contra multiplicar.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos y el candado en parejas, con una calculadora por pareja: uno predice en el cuaderno y el otro comprueba con la tecla «=».
- Cierre · 5 min — Pregunte: con 3 × 4 y diez veces «=», ¿podría salir un número menor que 1000? Que cada pareja argumente sin calculadora.
Preguntas para el salón
- ¿Cómo saben si una secuencia suma o multiplica?
- ¿Por qué la calculadora del vecino dio 8, 32, 128 si las dos empezaron con 4 × 2?
- ¿Por qué al dividir 2048 entre 2 muchas veces llega un momento en que aparece una coma?
Errores típicos
- Creer que toda secuencia suma siempre lo mismo (en 5, 15, 45 sumar 30 o sumar 10). Pida escribir los saltos debajo de la secuencia. Si crecen cada vez más, pruebe con la división entre términos seguidos.
- En una secuencia que divide, restar el último salto (en 64 000, 32 000, 16 000 decir que sigue 0). Pida preguntarse si cada término es la mitad del anterior, y comprobarlo con la multiplicación: 8000 × 2 = 16 000.
- Contar mal las veces que se oprime «=» (no contar la primera, que hace la cuenta escrita). Pida hacer una tabla de dos columnas: vez y número en pantalla. La primera fila es la vez 1.
- Pensar que la calculadora siempre hace lo mismo. Compare en el salón dos calculadoras distintas con 4 × 2 = = y pida describir con palabras qué repite cada una.
Tarea sugerida
Con una calculadora de la casa (con un adulto), escribir 5 × 2 y oprimir «=» cinco veces. Anotar los números en una tabla, decir la regla con palabras y escribir qué secuencia saldría si la calculadora sumara 2 en vez de multiplicar.