Predecir un término lejano
Lo que vas a aprender
- Organizar una secuencia de figuras en una tabla de posición y valor.
- Calcular el término de la posición 10, 20 o 100 contando bien los saltos desde el primero.
- Argumentar una predicción con la regla dicha en palabras y comprobarla de otra forma.
- Inventar una secuencia y una pregunta de predicción para un compañero.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Para la izada de bandera, el colegio arma filas de sillas en el patio. La primera fila tiene pocas sillas y cada fila tiene unas más que la de adelante. ¿Cuántas sillas lleva la fila 20? Contarlas una por una cansa. Dibujar 20 filas, también.
En esta lección vas a predecir un término lejano de una secuencia, como el de la posición 10, 20 o 100, sin dibujar todo. Vas a usar una tabla, vas a decir la regla con tus palabras y vas a explicar por qué tu predicción es correcta.
Explicación
Una secuencia de figuras
Mira los cuadros hechos con palillos en el dibujo. La primera figura es un cuadro. La segunda son dos cuadros pegados. La tercera, tres cuadros pegados. Los palillos rojos son los que se agregan para hacer el cuadro nuevo.
La tabla de posición y valor
Contamos los palillos de cada figura y los ponemos en una tabla. Arriba va la posición de la figura y abajo, cuántos palillos tiene.
| Posición | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Palillos | 4 | 7 | 10 | 13 |
En la fila de abajo se suman 3 cada vez. La regla es: «empieza en 4 y suma 3 cada vez». ¿Por qué 3? Porque cada cuadro nuevo aprovecha un palillo del cuadro de al lado, y solo necesita 3 palillos más.
¿Cuántos saltos hay?
Para llegar a la posición 10 no hace falta seguir la tabla hasta el final. Basta con saber cuántos saltos hay desde la posición 1. Aquí está la trampa: de la posición 1 a la posición 10 no hay 10 saltos, hay 9.
Míralo con los dedos. Una mano tiene 5 dedos, pero entre ellos solo hay 4 espacios. Con las posiciones pasa lo mismo: siempre hay un salto menos que posiciones. De la posición 1 a la 20 hay 19 saltos. De la 1 a la 100 hay 99.
Entonces, para la posición 10: empiezas en 4 y sumas 9 saltos de 3.
Comprobar de otra forma
Una buena predicción se comprueba por otro camino. En los palillos, cada cuadro usa 3 palillos, y al final sobra uno: el primer palillo de la izquierda. Diez cuadros son 10 grupos de 3, más ese palillo. Si los dos caminos dan lo mismo, puedes estar tranquilo.
La trampa del doble
Muchos piensan: «si la posición 10 tiene 31 palillos, la posición 20 tiene el doble». ¡Pero no! Los dos grupos de 10 cuadros comparten un palillo en el medio. Por eso la posición 20 tiene uno menos que el doble. En una secuencia que suma, el doble de posición no da el doble de valor, salvo en casos especiales.
Argumentar una predicción
Argumentar es decir por qué. Una buena explicación dice dónde empieza la secuencia, cuánto suma cada vez y cuántos saltos hay hasta la posición pedida. Por ejemplo: «La figura 10 tiene 31 palillos, porque la primera tiene 4, cada figura agrega 3 y del 1 al 10 hay 9 saltos».
Inventar patrones
Tú también puedes inventar una secuencia: elige dónde empieza y qué se suma cada vez. Arma la tabla de las primeras posiciones y pregúntale a un compañero por la posición 20. Si tu secuencia multiplica, ten cuidado: crece tan rápido que la posición 20 se vuelve un número gigante.
Las tres primeras figuras de cuadros con palillos. En rojo, los palillos que se agregan para el cuadro nuevo.
Ejemplo resuelto
La figura 10, por dos caminos
Con la secuencia de cuadros de palillos (4, 7, 10, 13, …), ¿cuántos palillos tiene la figura de la posición 10?
Ver la solución paso a paso
Primer camino. De la posición 1 a la 10 hay un salto menos que posiciones:
$$10 - 1$$
Son:
$$9$$
Empezamos en 4 y sumamos 9 saltos de 3:
$$4 + \left(9 \times 3\right)$$
Da:
$$31$$
Segundo camino. Cada uno de los 10 cuadros usa 3 palillos, y sobra el primer palillo de la izquierda:
$$\left(3 \times 10\right) + 1$$
Da:
$$31$$
Los dos caminos dan lo mismo, y la tabla lo confirma: 4, 7, 10 y 13 suman 3 cada vez.
$$7 - 4 = 3 \quad\text{y}\quad 10 - 7 = 3 \quad\text{y}\quad 13 - 10 = 3$$
Respuesta: La figura 10 tiene 31 palillos. Los dos caminos coinciden.
Ejemplo resuelto
Las figuras 20 y 100, sin caer en trampas
¿Cuántos palillos tienen las figuras de las posiciones 20 y 100? La figura 10 tiene 31.
Ver la solución paso a paso
De la posición 1 a la 20 hay 19 saltos. Empezamos en 4 y sumamos 19 saltos de 3:
$$4 + \left(19 \times 3\right)$$
Da:
$$61$$
Trampa 1: contar 20 saltos en vez de 19. Da otra cosa:
$$4 + \left(20 \times 3\right) \ne 61$$
Trampa 2: decir que la figura 20 tiene el doble de la figura 10. Tampoco da:
$$2 \times 31 \ne 61$$
Ahora la posición 100: hay 99 saltos.
$$4 + \left(99 \times 3\right)$$
Da:
$$301$$
Comprobamos por el otro camino: 100 cuadros de 3 palillos, más el primero.
$$\left(3 \times 100\right) + 1 = 301$$
Respuesta: La figura 20 tiene 61 palillos y la figura 100 tiene 301. Ni 64 ni 62: hay que contar bien los saltos.
La tabla de los palillos dibujada como puntos. Cada punto sube 3 respecto al anterior: por eso quedan en línea.
Ejemplo resuelto
Las sillas de la izada de bandera
En el patio, la fila 1 tiene 12 sillas y cada fila tiene 2 sillas más que la de adelante. ¿Cuántas sillas tiene la fila 20?
Ver la solución paso a paso
La regla es «empieza en 12 y suma 2 cada fila». Contamos los saltos de la fila 1 a la fila 20:
$$20 - 1$$
Son:
$$19$$
Empezamos en 12 y sumamos 19 saltos de 2:
$$12 + \left(19 \times 2\right)$$
Da:
$$50$$
Comprobamos con una fila cercana. La fila 2 debe tener 12 + 2 = 14, y con la misma cuenta, un salto, da eso:
$$12 + \left(1 \times 2\right) = 14$$
Respuesta: La fila 20 tiene 50 sillas. Probar la regla con una fila cercana ayuda a confiar en la predicción.
Práctica
Con palillos se arman triángulos en fila, pegados por un lado. Con 1 triángulo se usan 3 palillos, con 2 triángulos 5 y con 3 triángulos 7. ¿Cuántos palillos se usan con 10 triángulos?
Cada triángulo nuevo agrega 2 palillos. De la posición 1 a la 10 hay 9 saltos: 3 + (9 × 2) = 21.
En la misma fila de triángulos, con 10 triángulos se usan 21 palillos. Carlos dice que con 20 triángulos se usa el doble, 42. ¿Cuántos palillos se usan de verdad con 20 triángulos?
Empieza en 3 y hay 19 saltos de 2: 3 + (19 × 2) = 41. Carlos cuenta dos veces el palillo que comparten los dos grupos de 10 triángulos.
En el coliseo del pueblo, la fila 1 de la gradería tiene 20 puestos y cada fila tiene 3 puestos más que la anterior. ¿Cuántos puestos tiene la fila 15?
De la fila 1 a la fila 15 hay 14 saltos: 20 + (14 × 3) = 20 + 42 = 62. Si cuentas 15 saltos te da 65.
El día 1 de su ahorro, Mariana tiene 2500 pesos en la alcancía, y cada día mete 500 pesos más. ¿Cuánto tiene el día 30?
Del día 1 al día 30 hay 29 saltos de 500: 2500 + (29 × 500) = 2500 + 14 500 = 17 000.
En la tabla de una secuencia, la posición 1 vale 9, la posición 2 vale 14 y la posición 3 vale 19. ¿Cuánto vale la posición 10?
Suma 5 cada vez. De la posición 1 a la 10 hay 9 saltos: 9 + (9 × 5) = 54.
Juan dice que en la secuencia 6, 11, 16, 21, … la posición 100 vale 501, porque empieza en 6 y hasta la posición 100 hay 99 saltos de 5. ¿Es verdad que $6 + \left(99 \times 5\right) = 501$?
Empieza en 6, suma 5 y de la posición 1 a la 100 hay 99 saltos: 6 + (99 × 5) = 6 + 495 = 501.
En los cuadros de palillos (4, 7, 10, …), ¿qué posición tiene la figura que usa 31 palillos?
De 4 a 31 hay que subir 27, que son 27 ÷ 3 = 9 saltos. Nueve saltos después de la posición 1 está la posición 10.
Ana inventó una secuencia que suma siempre lo mismo. Su posición 1 vale 8 y su posición 5 vale 20. ¿Cuánto suma cada vez?
De 8 a 20 sube 12. De la posición 1 a la 5 hay 4 saltos, no 5. Entonces cada salto es 12 ÷ 4 = 3. Comprobamos: 8, 11, 14, 17, 20.
En un juego, el premio se duplica en cada nivel: el nivel 1 da 5 puntos, el nivel 2 da 10 y el nivel 3 da 20. ¿Cuántos puntos da el nivel 8?
Esta secuencia multiplica por 2. Del nivel 1 al nivel 8 hay 7 duplicaciones: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640.
Sara quiere saber cuántos palillos tiene la figura 100 de los cuadros (4, 7, 10, 13, …). ¿Cuál razonamiento es correcto?
La regla dice dónde empieza (4), cuánto suma (3) y cuántos saltos hay (99). Da 301. Multiplicar por 10 la figura 10 cuenta varias veces los palillos compartidos.
Reto
Predice sin caer en las trampas.
Los cuadros de palillos empiezan en 4 y suman 3 cada vez. Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado de las predicciones.
Cada pregunta da una cifra. Cuenta bien los saltos.
Cierre
En resumen
Una tabla de posición y valor ordena los términos y deja ver la regla.
De la posición 1 a la posición 10 hay 9 saltos; siempre hay un salto menos que posiciones.
El término lejano es el primero más tantos saltos como haya hasta esa posición.
Una predicción se argumenta con la regla y se comprueba por otro camino.
En una secuencia que suma, el doble de la posición no da el doble del valor.
Vocabulario
- Posición
El lugar que ocupa un término en la secuencia: primero, segundo, décimo. La posición 10 es el décimo término.
- Tabla de posición y valor
Una tabla con dos filas: arriba la posición y abajo lo que vale el término en esa posición.
- Predecir
Decir lo que va a pasar antes de verlo, con una razón. Por ejemplo, cuántos palillos tendrá la figura 100 sin dibujarla.
- Conjetura
Una idea que crees que es cierta y que todavía hay que comprobar.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Con palillos o tiras de papel, arme en el tablero los cuadros de 1, 2 y 3. Pregunte cuántos palillos necesita la figura 100 y anote las conjeturas sin corregir.
- Explicación · 15 min — La tabla de posición y valor; los saltos contados con los dedos de la mano; los dos caminos para la figura 10; las trampas del doble y de los 20 saltos; la gráfica de puntos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos y el candado en parejas: uno predice y el otro comprueba con la tabla o con palillos.
- Cierre · 5 min — Retome las conjeturas del inicio y pida a cada pareja argumentar cuál era la correcta. Cada pareja inventa una secuencia y una pregunta por la posición 20 para otra pareja.
Preguntas para el salón
- Si una mano tiene 5 dedos, ¿cuántos espacios hay entre ellos? ¿Qué tiene que ver eso con las posiciones?
- ¿Por qué la figura 20 no tiene el doble de palillos que la figura 10?
- ¿Cómo pueden comprobar una predicción sin dibujar todas las figuras?
Errores típicos
- Para el término 20 de una secuencia que suma, contar 20 saltos desde el primero (4 + (20 × 3) = 64). Pida probar la cuenta con una posición cercana: con la posición 2 debe dar 7, y 4 + (2 × 3) = 10 no da. Con un salto, 4 + (1 × 3) = 7 sí.
- Creer que el doble de posición da el doble de valor (figura 20 = 2 × 31 = 62). Pida armar con palillos dos figuras de 10 cuadros y pegarlas: el palillo del medio queda repetido.
- Confundir la posición con el valor (decir que la figura 10 tiene 10 palillos). Pida escribir siempre la tabla con las dos filas rotuladas: posición y palillos.
- Usar la regla de sumar en una secuencia que multiplica. Pida revisar todos los saltos antes de predecir, como en las lecciones anteriores.
Tarea sugerida
Con palitos de paleta o tiras de papel, armar triángulos en fila o casitas de palillos. Hacer la tabla de las cuatro primeras figuras, escribir la regla con palabras y predecir la figura 20, explicando por qué.