El número desconocido
Lo que vas a aprender
- Leer el signo = como «vale lo mismo a los dos lados», también cuando la casilla está a la derecha.
- Hallar el número de la casilla con la operación inversa en igualdades de suma, resta, multiplicación y división.
- Comprobar la respuesta poniendo el número en la casilla.
- Escribir con una casilla un problema cotidiano en el que falta un dato, y resolverlo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Vas a la tienda con unas monedas. Gastas una parte y te quedan otras. ¿Cuántas tenías? En la finca empacan mangos en bolsas iguales y sabes cuántos mangos hay y cuántas bolsas se llenaron. ¿Cuántos van en cada bolsa? En estos problemas falta un dato. Ese dato es un número desconocido.
En esta lección vas a escribir el número que falta con una casilla, □. Vas a encontrarlo deshaciendo la operación y vas a comprobar que no te equivocaste.
Explicación
La casilla
Cuando no sabemos un número, dejamos su lugar vacío con una casilla: □. Por ejemplo, «tenía unos pesos, me dieron 250 y ahora tengo 1000» se escribe:
□ + 250 = 1000
Encontrar el número de la casilla es como resolver una adivinanza.
El signo = es una balanza
El signo = no quiere decir «escribe aquí el resultado». Quiere decir «vale lo mismo a los dos lados». Es como una balanza en equilibrio: lo que hay a la izquierda pesa igual que lo que hay a la derecha.
Por eso el = puede estar en cualquier sitio. 5 + 3 = 8 está bien, y 8 = 5 + 3 también está bien. Las dos dicen que 8 vale lo mismo que 5 más 3.
Mira 8 = □ + 3. Muchos niños suman 8 + 3 y escriben 11, porque creen que el = pide un resultado. Pero entonces el lado derecho valdría 11 + 3 = 14, y el izquierdo vale 8. ¡La balanza se cae! El número correcto es el que, sumado con 3, da 8.
Deshacer la operación
La pregunta clave es: ¿qué le hicieron al número de la casilla? Y después: ¿qué operación lo deshace?
- Si le sumaron algo, se deshace restando.
- Si le restaron algo, se deshace sumando.
- Si lo multiplicaron, se deshace dividiendo.
- Si lo dividieron, se deshace multiplicando.
Esa operación que deshace se llama operación inversa.
La trampa del signo que se ve
En □ + 7 = 15 se ve un «+», y muchos suman 15 + 7. Pero al número de la casilla le sumaron 7, así que hay que restar 7: 15 − 7 = 8. Lo mismo en □ × 4 = 36: se ve un «×», pero no se multiplica 36 × 4. Hay que dividir: 36 ÷ 4 = 9.
No te dejes llevar por el signo que ves. Piensa qué le hicieron a la casilla.
Cuando la casilla está después del signo menos
En 35 − □ = 20 la casilla es lo que se quita. A 35 le quitaron algo y quedaron 20. Lo que se quitó es 35 − 20 = 15. Aquí no se suma: piensa en la historia, «tenía 35, regalé unos y me quedaron 20».
Siempre comprobar
Cuando encuentres el número, ponlo en la casilla y haz la cuenta. Si los dos lados del = valen lo mismo, acertaste. Si no, revisa qué operación usaste. Comprobar toma pocos segundos y te avisa de casi todos los errores.
Ejemplo resuelto
Las monedas de Camila
Camila tenía unas monedas. Su hermano le dio 250 pesos y ahora tiene justo 1000 pesos para comprar un pan. ¿Cuántos pesos tenía? Es decir, □ + 250 = 1000.
Ver la solución paso a paso
A lo que tenía Camila le sumaron 250. Para deshacer la suma, restamos 250:
$$1000 - 250$$
Tenía:
$$750$$
Comprobamos: ponemos 750 en la casilla.
$$750 + 250 = 1000$$
Si alguien suma los dos números que ve, 1000 + 250, obtiene 1250. Al comprobar, no da 1000:
$$1000 + 250 = 1250 \quad\text{y}\quad 1250 + 250 \ne 1000$$
Respuesta: Camila tenía 750 pesos. En la recta se ve: de 750, un tramo de 250 llega a 1000.
□ + 250 = 1000. El tramo azul mide 250 y termina en 1000. Para saber dónde empieza, se retrocede 250: la casilla es 750.
Ejemplo resuelto
Cuando multiplicaron a la casilla
Encuentra el número de la casilla en 6 × □ = 48 y en □ × 4 = 36.
Ver la solución paso a paso
En la primera, a la casilla la multiplicaron por 6. Para deshacerlo, dividimos entre 6:
$$48 \div 6$$
La casilla es:
$$8$$
Comprobamos:
$$6 \times 8 = 48$$
Si se multiplica lo que se ve, 48 × 6, sale un número enorme que no sirve:
$$6 \times \left(48 \times 6\right) \ne 48$$
En la segunda, a la casilla la multiplicaron por 4. Dividimos entre 4:
$$36 \div 4$$
La casilla es:
$$9$$
Comprobamos:
$$9 \times 4 = 36$$
Respuesta: En 6 × □ = 48 la casilla es 8, y en □ × 4 = 36 es 9. La división deshace la multiplicación.
Ejemplo resuelto
Las láminas del álbum
Pedro tenía unas láminas del álbum. Le regaló 35 a su prima y le quedaron 120. ¿Cuántas tenía? Es decir, □ − 35 = 120.
Ver la solución paso a paso
Al número de la casilla le restaron 35. Para deshacer la resta, sumamos 35:
$$120 + 35$$
Tenía:
$$155$$
Comprobamos: si tenía 155 y regaló 35, le quedan 120.
$$155 - 35 = 120$$
Si alguien resta porque ve un «−», hace 120 − 35 = 85. Pero Pedro no puede quedarse con 120 si solo tenía 85:
$$120 - 35 = 85 \quad\text{y}\quad 85 < 120$$
Respuesta: Pedro tenía 155 láminas. Tenía que tener más de 120, porque regaló algunas y le quedaron 120.
Esta máquina le quita 35 a lo que entra, como las láminas que Pedro regaló, y salió 120. Córrela al revés, sumando 35, y descubre que entraron 155.
Ejemplo resuelto
El signo = en la mitad
¿Qué número va en la casilla? 8 = □ + 3
Ver la solución paso a paso
El = dice que los dos lados valen lo mismo. El lado izquierdo vale 8, así que □ + 3 también tiene que valer 8.
El error común es sumar 8 + 3 y escribir 11. Pero con 11 el lado derecho vale 14, no 8:
$$8 + 3 = 11 \quad\text{y}\quad 8 \ne 11 + 3$$
A la casilla le sumaron 3. Lo deshacemos restando 3 al 8:
$$8 - 3$$
La casilla es:
$$5$$
Comprobamos: los dos lados valen 8.
$$8 = 5 + 3$$
Respuesta: La casilla es 5. Mira la balanza: las dos barras miden lo mismo.
8 = □ + 3 como una balanza: la barra de la izquierda vale 8 y la de la derecha, □ más 3. Para que midan lo mismo, la casilla tiene que valer 5.
8 = □ + 3 en la balanza. Quita 3 de los dos platos: sigue derecha y la caja pesa 5.
Práctica
¿Qué número va en la casilla? □ + 7 = 15
A la casilla le sumaron 7; para deshacerlo se resta 7: 15 − 7 = 8. Comprobación: 8 + 7 = 15. Si sumas 15 + 7 = 22, al comprobar 22 + 7 = 29, que no es 15.
¿Qué número va en la casilla? □ × 4 = 36
A la casilla la multiplicaron por 4; se deshace dividiendo: 36 ÷ 4 = 9. Comprobación: 9 × 4 = 36. Si multiplicas 36 × 4 = 144, al comprobar te da 576.
¿Qué número va en la casilla? □ + 4500 = 12 000
Se deshace la suma restando: 12 000 − 4500 = 7500. Comprobación: 7500 + 4500 = 12 000.
¿Qué número va en la casilla? □ − 1250 = 3750
A la casilla le quitaron 1250; se deshace sumando: 3750 + 1250 = 5000. Comprobación: 5000 − 1250 = 3750.
¿Qué número va en la casilla? 9 × □ = 72
72 ÷ 9 = 8, y 9 × 8 = 72. El 648 sale de multiplicar 72 × 9 por el signo que se ve; el 63 y el 81, de restar o sumar.
¿Qué número va en la casilla? 20 = □ + 6
Los dos lados valen lo mismo: □ + 6 tiene que valer 20. 20 − 6 = 14, y 14 + 6 = 20. El 26 sale de creer que el = pide sumar todo: con 26 el lado derecho valdría 32.
¿Qué número va en la casilla? 45 − □ = 30
A 45 le quitaron algo y quedaron 30: se quitaron 45 − 30 = 15. Comprobación: 45 − 15 = 30. Aquí la casilla está después del menos, y no se suma: el 75 sale de sumar 45 + 30, y a 45 no se le pueden quitar 75.
Sofía tenía unos pesos. Gastó 3500 en las onces y le quedaron 6500. ¿Cuántos pesos tenía?
Con casilla: □ − 3500 = 6500. Se deshace la resta sumando: 6500 + 3500 = 10 000. Comprobación: 10 000 − 3500 = 6500.
En la finca empacaron 96 naranjas en bolsas iguales y llenaron 8 bolsas. ¿Cuántas naranjas lleva cada bolsa?
Con casilla: 8 × □ = 96. Se deshace la multiplicación dividiendo: 96 ÷ 8 = 12. Comprobación: 8 × 12 = 96.
En un paradero se suben 18 pasajeros al bus, y ahora van 45. ¿Cuántos pasajeros iban antes?
Con casilla: □ + 18 = 45. Se deshace la suma restando: 45 − 18 = 27. Comprobación: 27 + 18 = 45.
¿Qué número va en la casilla? □ ÷ 4 = 9
A la casilla la dividieron entre 4; la multiplicación lo deshace: 9 × 4 = 36. Comprobación: 36 ÷ 4 = 9.
Tomás lee «8 = □ + 3». ¿Qué quiere decir el signo = en esa igualdad?
El = dice que los dos lados valen lo mismo, esté donde esté. Por eso la casilla es 5: 5 + 3 vale 8.
Reto
¿Qué operación encuentra la casilla?
Piensa qué le hicieron a la casilla y lleva cada igualdad a la operación que lo deshace.
Reto
Equilibra la balanza.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado de las casillas.
Cada casilla es una cifra del candado. Comprueba cada una antes de seguir.
Cierre
En resumen
Un número desconocido se escribe con una casilla, □.
El signo = quiere decir que los dos lados valen lo mismo, como una balanza; no es «escribe aquí el resultado».
La casilla se encuentra con la operación inversa, la que deshace lo que le hicieron.
No hay que dejarse llevar por el signo que se ve, sino pensar qué le hicieron a la casilla.
Siempre se comprueba poniendo el número en la casilla.
Vocabulario
- Casilla
El cuadrito □ que ocupa el lugar de un número que todavía no conocemos.
- Igualdad
Dos cantidades unidas por el signo =, que valen lo mismo. Por ejemplo, 5 + 3 = 8 y también 8 = 5 + 3.
- Operación inversa
La operación que deshace a otra. La resta deshace la suma, la suma deshace la resta, la división deshace la multiplicación y la multiplicación deshace la división.
- Comprobar
Poner el número encontrado en la casilla y revisar que los dos lados del = valen lo mismo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 8 = □ + 3 en el tablero y pida a cada niño escribir su respuesta en una hoja. Recoja las respuestas (suele aparecer 11) sin corregir.
- Explicación · 15 min — El = como balanza, con una balanza de brazos del salón o dibujada; la tabla de operaciones que se deshacen; la trampa del signo que se ve; la casilla después del menos; comprobar siempre.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Las cestas, los huecos y el candado en parejas: uno encuentra la casilla y el otro la comprueba poniendo el número.
- Cierre · 5 min — Vuelva a las respuestas del inicio. Pida a quien escribió 11 comprobarlo en la balanza y explicar qué pasó.
Preguntas para el salón
- ¿Está bien escrito 8 = 5 + 3? ¿Por qué?
- En □ + 7 = 15 se ve un «+». ¿Por qué se resta?
- ¿Cómo saben, sin hacer la cuenta, si el número de la casilla tiene que ser mayor o menor que el resultado?
Errores típicos
- Hacer la operación que aparece en vez de la inversa (en □ + 7 = 15 sumar 15 + 7; en □ × 4 = 36 multiplicar 36 × 4). Pida comprobar siempre poniendo el número en la casilla. Al ver que 22 + 7 no da 15, el error salta a la vista.
- Creer que el signo = quiere decir «escribe aquí el resultado» (en 8 = □ + 3 escribir 11). Use la balanza: lo de la izquierda pesa igual que lo de la derecha. Escriba igualdades con el resultado a la izquierda (8 = 5 + 3) y pregunte si están bien.
- En 35 − □ = 20, sumar 35 + 20 por la regla de que la resta se deshace sumando. Pida contar la historia: tenía 35, regalé unos y me quedaron 20. ¿Cuántos regalé? Así se ve que se resta.
- No revisar si la respuesta tiene sentido (en □ − 35 = 120, dar un número menor que 120). Pregunte antes de calcular: si le quitaron algo y quedaron 120, ¿tenía más o menos de 120?
Tarea sugerida
Inventar tres problemas de la casa o de la tienda en los que falte un dato: uno de suma, uno de resta y uno de multiplicación. Escribirlos con una casilla, resolverlos y comprobarlos poniendo el número en la casilla.