Fracciones de la unidad y mayores que la unidad
Lo que vas a aprender
- Escribir la fracción que muestra una figura o un grupo partido en partes iguales.
- Reconocer cuándo unas partes no son iguales y por eso no forman una fracción.
- Leer y representar fracciones mayores que la unidad, como cinco cuartos.
- Hallar la unidad completa cuando se conoce una de sus partes.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda pides media libra de queso. En la casa, la arepa se parte para compartirla. El recreo dura un cuarto de hora. Todas esas cantidades son fracciones: partes de una unidad.
También hay números con coma, como 1,5 metros de tela o una estatura de 1,35 m. Son los decimales, otra forma de escribir partes de la unidad. Los verás más adelante en este curso.
En esta lección vas a escribir la fracción que muestra un dibujo. Vas a conocer fracciones que pasan de la unidad. Y vas a hallar la unidad completa cuando solo conoces un pedazo.
Explicación
La unidad
Lo que se parte se llama la unidad, o el entero. Puede ser una sola cosa: una arepa, una barra de bocadillo, una cinta. También puede ser un grupo de cosas: una docena de huevos, los niños del salón o los buses de la ruta.
Primero, partes iguales
Una fracción solo tiene sentido si la unidad está partida en partes iguales. Mira la figura. La barra de arriba tiene cuatro partes del mismo tamaño: cada una es un cuarto de la barra. La de abajo también tiene cuatro partes, pero son de distinto tamaño. Ninguna de ellas es un cuarto.
Contar las partes no basta. Antes de nombrar una fracción, pregúntate siempre: ¿las partes son iguales?
Arriba, la barra está partida en cuatro partes iguales: la parte pintada es un cuarto. Abajo también hay cuatro partes, pero de distinto tamaño: la parte pintada no es un cuarto.
Numerador y denominador
Una fracción se escribe con dos números y una raya. El número de abajo es el denominador: dice en cuántas partes iguales se partió la unidad. El número de arriba es el numerador: dice cuántas de esas partes se toman.
En $\frac{3}{8}$ de arepa, la arepa se partió en 8 partes iguales y se tomaron 3.
Para leer una fracción, primero se dice el numerador y después el nombre de las partes: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos y décimos. Después vienen los onceavos y los doceavos. Así, $\frac{3}{8}$ se lee «tres octavos».
Fracciones de un grupo
Cuando la unidad es un grupo, cada objeto es una parte. Una docena tiene 12 huevos. Si 5 están rotos, los rotos son $\frac{5}{12}$ de la docena. Aquí las partes son iguales porque cada huevo cuenta como una parte.
La docena de doña Inés: a la izquierda, los 5 huevos rotos; a la derecha, los 7 sanos. Cada huevo es una de las 12 partes del grupo.
Ejemplo resuelto
Los huevos rotos
Doña Inés compró una docena de huevos, que son 12 huevos. En el camino se rompieron 5. ¿Qué fracción de la docena se rompió? ¿Qué fracción quedó sana?
Ver la solución paso a paso
La unidad es la docena. Cada huevo es una de 12 partes iguales, así que el denominador es 12. Se rompieron 5 huevos:
$$\frac{5}{12}$$
Ahora contamos los huevos sanos:
$$12 - 5$$
Quedaron:
$$7$$
Los sanos son 7 de las 12 partes:
$$\frac{7}{12}$$
Comprobamos que los rotos y los sanos juntos completan la docena:
$$5 + 7 = 12$$
Respuesta: Se rompieron $\frac{5}{12}$ de la docena y quedaron sanos $\frac{7}{12}$.
Fracciones mayores que la unidad
Si una barra se parte en 4 partes iguales, con 4 cuartos se completa la barra entera. Por eso $\frac{4}{4}$ es una unidad.
¿Y si alguien tiene 5 cuartos? Ya tiene una barra entera y un cuarto de otra barra. Eso se escribe $\frac{5}{4}$ y se lee «cinco cuartos».
Mucha gente cree que una fracción nunca puede pasar de la unidad. No es así. Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que la unidad. Cuando son iguales, la fracción vale justo una unidad. Y cuando el numerador es menor, no alcanza a completar la unidad.
Ojo: en $\frac{5}{4}$ el denominador sigue siendo 4. Se cuentan cuartos de una barra. No se parte nada en cinco.
Cinco cuartos de barra: la primera barra tiene sus cuatro cuartos pintados y está completa; de la segunda barra hay un cuarto pintado.
Ejemplo resuelto
Más de una barra
En la tienda, cada barra de bocadillo viene partida en 4 trozos iguales. Camilo compra 5 trozos. ¿Qué fracción de barra compra? ¿Es más o menos que una barra?
Ver la solución paso a paso
Cada trozo es un cuarto de barra. Camilo lleva 5 trozos, o sea, 5 veces un cuarto:
$$5 \times \frac{1}{4}$$
Eso es:
$$\frac{5}{4}$$
Cuatro cuartos completan una barra:
$$\frac{4}{4} = 1$$
Después de completar la barra, sobran estos trozos:
$$5 - 4$$
Sobra:
$$1$$
El numerador es mayor que el denominador, así que la fracción pasa de la unidad:
$$\frac{5}{4} > 1$$
Respuesta: Camilo compra $\frac{5}{4}$ de barra: una barra entera y un cuarto de otra. Es más que una barra.
Cada barra de bocadillo tiene 4 trozos. Pinta los 5 trozos de Camilo: con 4 se llena la primera barra y el quinto pasa a la segunda. Son 5/4, más que una barra.
Hallar la unidad desde una parte
A veces conoces un pedazo y quieres saber cuánto mide todo. Si un pedazo de cinta es un tercio de la cinta, la cinta entera tiene 3 pedazos iguales a ese. Entonces se multiplica la medida del pedazo por 3.
Lo mismo pasa con cualquier parte que sea una sola de las partes iguales: se multiplica por el denominador, y así se juntan todas las partes de la unidad.
Si el pedazo son varias de las partes iguales, como dos tercios, hay un paso más. Primero divides entre el numerador, para saber cuánto mide una parte. Después multiplicas por el denominador. Si multiplicas de una vez, te sale una unidad demasiado grande.
La cinta entera está partida en tres partes iguales. El pedazo que cortó Valentina es una de las tres: un tercio de la cinta.
Ejemplo resuelto
La cinta del moño
Para un moño, Valentina cortó un pedazo de cinta de 4 cm. Ese pedazo es $\frac{1}{3}$ de toda la cinta. ¿Cuánto medía la cinta entera?
Ver la solución paso a paso
Un tercio quiere decir que la cinta tenía 3 partes iguales y que el pedazo es una de ellas:
$$\frac{1}{3}$$
Toda la cinta son 3 pedazos de 4 cm:
$$3 \times 4$$
Mide:
$$12$$
Comprobamos: si partimos 12 cm en 3 partes iguales, cada parte mide 4 cm.
$$12 \div 3 = 4$$
Respuesta: La cinta entera medía 12 cm.
Ejemplo resuelto
Cuando el pedazo son dos partes
Lucas gastó 8 cm de una cinta, y eso es $\frac{2}{3}$ de toda la cinta. ¿Cuánto medía la cinta entera?
Ver la solución paso a paso
Dos tercios quiere decir que la cinta tenía 3 partes iguales y que Lucas gastó 2 de ellas:
$$\frac{2}{3}$$
Si 2 partes miden 8 cm, una parte mide:
$$8 \div 2$$
Cada tercio mide:
$$4$$
Ahora es como con Valentina: toda la cinta son 3 tercios de 4 cm:
$$3 \times 4$$
Mide:
$$12$$
Comprobamos: dos tercios son 2 partes de 4 cm, que son los 8 cm que gastó Lucas.
$$2 \times 4 = 8$$
Respuesta: La cinta entera medía 12 cm. Primero se halla una parte, dividiendo entre el numerador, y después la unidad, multiplicando por el denominador. Si alguien hace de una vez 8 × 3, le da 24 cm: una cinta demasiado larga.
Práctica
Una arepa se partió en 8 pedazos iguales y Sofía se comió 3. ¿Qué fracción de la arepa se comió?
La arepa se partió en 8 partes iguales: el denominador es 8. Sofía tomó 3: el numerador es 3. Se comió tres octavos. 5/8 es lo que quedó.
En la ruta del colegio hay 9 buses y 4 de ellos son azules. ¿Qué fracción de los buses es azul? Escríbela con la raya, así: 1/2.
La unidad es el grupo de 9 buses: cada bus es una de 9 partes. Los azules son 4. La fracción es cuatro novenos.
Mateo partió una torta en 4 pedazos: uno grande y tres pequeños. Dice que cada pedazo es un cuarto de la torta. ¿Tiene razón?
Contar 4 pedazos no basta. Un cuarto es una de 4 partes iguales. Si un pedazo es más grande, ya no son cuartos: el grande es más que un cuarto y los pequeños, menos.
Marca todas las fracciones mayores que la unidad.
Marca todas las que apliquen.
Son mayores que la unidad las que tienen el numerador mayor que el denominador: 5/4, 7/6 y 9/8. La fracción 4/4 vale justo una unidad, no más.
Pedro dice que una fracción nunca puede pasar de la unidad. Por eso asegura que $\frac{5}{4} < 1$. ¿Es verdad?
Cinco cuartos son una unidad entera y un cuarto más. El numerador 5 es mayor que el denominador 4, así que la fracción es mayor que 1. Pedro se equivoca: las fracciones sí pueden pasar de la unidad.
Cada naranja se parte en 2 mitades iguales. En las loncheras del salón hay 7 mitades. ¿Qué fracción de naranja hay en total? Escríbela con la raya.
Cada mitad es un medio de naranja, y hay 7. Son siete medios: 7/2. Con 6 mitades se completan 3 naranjas y sobra media. Es mayor que la unidad.
Doña Marta parte cada arepa en 4 pedazos iguales. Hoy vendió $\frac{9}{4}$ de arepa. ¿Cuántas arepas enteras completan esos pedazos?
Nueve cuartos son 9 pedazos. Cada 4 pedazos completan una arepa: con 8 pedazos se completan 2 arepas y sobra 1 pedazo. Para 3 arepas harían falta 12 pedazos.
Un trozo de cuerda mide 6 cm y es $\frac{1}{5}$ de toda la cuerda. ¿Cuántos centímetros mide la cuerda entera?
Un quinto es una de 5 partes iguales. La cuerda entera tiene 5 trozos de 6 cm: 5 × 6 = 30 cm.
Juan ya leyó 10 páginas de un cuento, que son $\frac{2}{5}$ del cuento. ¿Cuántas páginas tiene el cuento?
Dos quintos son 2 de 5 partes iguales. Si 2 partes son 10 páginas, cada parte tiene 10 ÷ 2 = 5 páginas. El cuento tiene 5 partes: 5 × 5 = 25 páginas.
¿En cuál de estas situaciones se usa una fracción?
Media libra es la mitad de una libra: una parte de una unidad. Contar niños, decir un puesto o marcar una casa usan números naturales enteros.
Reto
¿Menor o mayor que la unidad?
Lleva cada fracción a su canasta. Compara el numerador con el denominador.
Reto
Abre el candado de las fracciones.
Cada pregunta da una cifra. Haz un dibujo si te ayuda.
Reto
Busca los nombres de las partes.
Encuentra las seis palabras. Pueden ir de lado o hacia abajo.
Cierre
En resumen
Una fracción nombra partes de una unidad, que puede ser una cosa o un grupo de cosas.
La unidad tiene que estar partida en partes iguales; si las partes son desiguales, no son cuartos ni tercios.
El denominador dice en cuántas partes iguales se partió la unidad, y el numerador cuántas se toman.
Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción pasa de la unidad, como cinco cuartos.
Si conoces una de las partes iguales, multiplicas por el denominador para hallar la unidad entera; si conoces varias, primero divides entre el numerador para hallar una.
Vocabulario
- Unidad
Lo que se parte: una arepa, una barra, una cinta o un grupo de cosas, como una docena de huevos.
- Denominador
El número de abajo. Dice en cuántas partes iguales se partió la unidad.
- Numerador
El número de arriba. Dice cuántas de esas partes se toman.
- Fracción mayor que la unidad
Una fracción con el numerador mayor que el denominador, como cinco cuartos: pasa de una unidad entera.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Doble una hoja en cuatro partes iguales y otra en cuatro partes desiguales. Pregunte en cuál cada parte es un cuarto y por qué.
- Explicación · 15 min — Partes iguales; numerador y denominador; la docena como unidad; cinco cuartos con dos tiras de papel del mismo largo; la cinta de la que se conoce un tercio.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Las cestas, el candado y la sopa en parejas: uno dice la fracción y el otro la dibuja en tiras.
- Cierre · 5 min — Cada pareja dibuja una fracción mayor que la unidad con tiras y explica cuántas unidades enteras completa.
Preguntas para el salón
- Si parto una hoja en cuatro pedazos de cualquier tamaño, ¿cada pedazo es un cuarto?
- ¿Cuántos tercios necesito para completar una unidad? ¿Y si tengo uno más?
- Si un pedazo es un quinto de la cuerda, ¿cuántos pedazos como ese forman la cuerda?
Errores típicos
- Llamar «cuartos» a cuatro partes de distinto tamaño. Pida recortar las partes y ponerlas una encima de otra. Si no coinciden, no son cuartos.
- Creer que una fracción nunca puede ser mayor que 1 (5/4 «no existe»). Use dos tiras iguales partidas en cuartos. Pinte los cuatro cuartos de una y uno de la otra, y cuenten juntos los cuartos pintados.
- Partir la unidad en tantas partes como dice el numerador (5/4 dibujado como una barra en cinco partes). Recuerde que el denominador dice el tamaño de cada parte. En 5/4 se cuentan cuartos, y se necesita más de una barra.
- Invertir los números: escribir 8/3 cuando se comieron 3 de 8 pedazos. Pida decir en voz alta «de cuántas partes» (abajo) y «cuántas tomé» (arriba) antes de escribir.
- Hallar la unidad desde varias partes multiplicando de una vez por el denominador (si 2/5 del cuento son 10 páginas, decir 10 × 5 = 50). Pida dibujar una tira de 5 partes, pintar 2 y repartir las 10 páginas entre esas 2. Cada parte tiene 5 páginas, y las 5 partes, 25.
Tarea sugerida
Buscar en la casa tres situaciones donde se use una fracción (una receta, la hora, la tienda) y dibujar cada una con partes iguales. Dibujar también una fracción mayor que la unidad con arepas o panes.