La fracción como cociente y como operador
Lo que vas a aprender
- Escribir como fracción lo que le toca a cada uno en un reparto por partes iguales.
- Calcular la fracción de una cantidad en dos pasos, dividiendo entre el denominador y multiplicando por el numerador.
- Revisar si el resultado de una fracción de una cantidad es razonable.
- Explicar un reparto con un dibujo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el paseo del salón hay menos panes que niños, y hay que repartirlos. En la plaza de mercado, doña Rosa vende tres cuartos de sus manzanas antes del almuerzo. En la papelería rebajan un cuarto del precio de los cuadernos.
En los tres casos aparece una fracción. En el primero, la fracción dice cuánto le toca a cada uno. En los otros dos, la fracción actúa sobre una cantidad y dice qué parte de ella se toma.
En esta lección vas a aprender a usar las fracciones de esas dos maneras.
Explicación
Repartir cuando no alcanza para uno entero
Hay 3 panes y 4 niños. No alcanza para darle un pan entero a cada uno. ¿Qué se hace? Se parte cada pan en 4 partes iguales, una para cada niño. Así, cada niño recibe un cuarto de cada pan. Como hay 3 panes, recibe 3 cuartos: $\frac{3}{4}$ de pan.
Esto pasa siempre: repartir 3 entre 4 da $\frac{3}{4}$. La fracción es el resultado de una división, o sea, un cociente. El numerador es lo que se reparte. El denominador es entre cuántos se reparte.
Cuidado con el orden. Repartir 3 panes entre 4 niños no es lo mismo que repartir 4 panes entre 3 niños. En el primer reparto, a cada niño le toca menos de un pan. En el segundo, le toca más de un pan: $\frac{4}{3}$, cuatro tercios.
Tres panes partidos cada uno en cuatro partes iguales. Cada color es un niño: cada uno recibe una parte de cada pan, tres cuartos en total.
Ejemplo resuelto
Tres panes para cuatro niños
En el paseo hay 3 panes para 4 niños, y se reparten por partes iguales. ¿Qué parte de pan le toca a cada niño?
Ver la solución paso a paso
Repartir es dividir. Los 3 panes se reparten entre los 4 niños:
$$3 \div 4$$
El resultado se escribe como fracción. Arriba va lo que se reparte y abajo, entre cuántos:
$$\frac{3}{4}$$
Comprobamos con cuartos. Cada pan se parte en 4 cuartos, así que en total hay:
$$3 \times 4$$
Son:
$$12$$
Los cuartos se reparten entre los 4 niños:
$$12 \div 4$$
A cada niño le tocan 3 cuartos, o sea, tres cuartos de pan:
$$3$$
Respuesta: A cada niño le tocan $\frac{3}{4}$ de pan: un cuarto de cada pan.
Reparte los 3 panes entre los 4 niños: parte cada pan en 4 y dale a cada niño un pedazo de cada pan. A cada uno le tocan 3/4 de pan.
La fracción de una cantidad
Ahora otra pregunta. Doña Rosa tiene 20 manzanas y vende $\frac{3}{4}$ de ellas en la mañana. ¿Cuántas manzanas vende?
Aquí la unidad es el grupo de 20 manzanas. El denominador dice que las manzanas se separan en 4 grupos iguales. Cada grupo es un cuarto de las manzanas. El numerador dice que se toman 3 de esos grupos.
Así se calcula la fracción de una cantidad, en dos pasos:
- Divide la cantidad entre el denominador. Así sabes cuánto hay en una parte.
- Multiplica por el numerador. Así juntas las partes que se toman.
Cuando una fracción actúa así sobre una cantidad, se dice que es un operador: convierte las 20 manzanas en las manzanas vendidas.
Las 20 manzanas de doña Rosa, en 4 filas iguales de 5. Cada fila es un cuarto de las manzanas. Tres filas son tres cuartos.
Ejemplo resuelto
Las manzanas de doña Rosa
En el mercado, doña Rosa tiene 20 manzanas y vende $\frac{3}{4}$ de ellas en la mañana. ¿Cuántas manzanas vende?
Ver la solución paso a paso
La fracción es tres cuartos: las manzanas se separan en 4 grupos iguales y se toman 3.
$$\frac{3}{4}$$
Primer paso: dividimos las 20 manzanas entre el denominador. Cada grupo, un cuarto, tiene:
$$20 \div 4$$
Son:
$$5$$
Segundo paso: multiplicamos por el numerador, porque se toman 3 grupos.
$$3 \times 5$$
Son:
$$15$$
Revisamos: tres cuartos es más que la mitad, que son 10 manzanas, y menos que las 20.
$$10 < 15 < 20$$
Respuesta: Doña Rosa vende 15 manzanas en la mañana.
Errores que hay que evitar
Hay quien divide entre el numerador, o multiplica por el denominador. Mira siempre el número de abajo: él dice en cuántos grupos iguales se separa la cantidad.
Otro error es quedarse en el primer paso. Con las manzanas, 20 ÷ 4 = 5 es un cuarto, no tres cuartos. Falta multiplicar por el numerador.
Una forma de revisar: tres cuartos es menos que el total y más que la mitad. Si el resultado pasa de 20, o no llega a 10, algo salió mal.
Más que el todo
Si la fracción es mayor que la unidad, el resultado es mayor que la cantidad. Por ejemplo, $\frac{5}{4}$ de 20 son 5 grupos de 5, o sea, 25. Pasa de 20 porque cinco cuartos pasan de la unidad. Y $\frac{4}{4}$ de 20 son los mismos 20: cuatro cuartos son la cantidad entera.
Ejemplo resuelto
Las onces del paseo
Ana tenía 10 000 pesos y gastó $\frac{2}{5}$ en las onces del paseo. ¿Cuánto gastó? ¿Cuánto le quedó?
Ver la solución paso a paso
Dos quintos: el dinero se separa en 5 partes iguales y se toman 2.
$$\frac{2}{5}$$
Primer paso: un quinto del dinero es:
$$10\,000 \div 5$$
Son:
$$2000$$
Segundo paso: dos quintos son dos partes de 2000 pesos.
$$2 \times 2000$$
Gastó:
$$4000$$
Lo que le quedó es lo que tenía menos lo que gastó:
$$10\,000 - 4000$$
Le quedó:
$$6000$$
Respuesta: Ana gastó 4000 pesos y le quedaron 6000 pesos, que son los otros tres quintos.
Práctica
Se reparten 2 arepas entre 5 niños por partes iguales. ¿Qué parte de arepa recibe cada niño?
Repartir 2 entre 5 da dos quintos: arriba lo que se reparte, abajo entre cuántos. Cinco medios sería repartir 5 arepas entre 2 niños.
Tres amigos se reparten 5 chocolatinas iguales por partes iguales. ¿Qué parte de chocolatina recibe cada uno? Escríbela con la raya.
Repartir 5 entre 3 da cinco tercios. Es más de una chocolatina: cada uno recibe una entera y dos tercios de otra.
Luis reparte 3 panes entre 4 niños y dice que a cada uno le tocan cuatro tercios de pan, o sea, $3 \div 4 = \frac{4}{3}$. ¿Tiene razón?
Luis invirtió los números. Repartir 3 entre 4 da tres cuartos: menos de un pan, porque hay menos panes que niños. Cuatro tercios es más de un pan.
Julián tiene 42 canicas y le regala $\frac{1}{6}$ de ellas a su primo. ¿Cuántas canicas le regala?
Un sexto: se separan las 42 canicas en 6 grupos iguales. Cada grupo tiene 42 ÷ 6 = 7 canicas, y se toma un solo grupo.
En una cubeta hay 24 huevos y $\frac{3}{8}$ de ellos son de cáscara morena. ¿Cuántos huevos morenos hay?
Primero, 24 ÷ 8 = 3 huevos en cada octavo. Después, tres octavos son 3 × 3 = 9 huevos.
Para hallar $\frac{2}{3}$ de 18 colombinas, Marta multiplicó 18 por 3 y después dividió entre 2. ¿Cuál es el resultado correcto?
Marta cambió los papeles. Se divide entre el denominador: 18 ÷ 3 = 6 es un tercio. Y se multiplica por el numerador: 2 × 6 = 12. Su resultado, 27, pasa de las 18 colombinas, y dos tercios no puede ser más que el total.
La clase de educación física dura $\frac{3}{4}$ de hora. Una hora tiene 60 minutos. ¿Cuántos minutos dura la clase?
Un cuarto de hora es 60 ÷ 4 = 15 minutos. Tres cuartos son 3 × 15 = 45 minutos.
Un cuaderno cuesta 4800 pesos. En la papelería rebajan $\frac{1}{4}$ del precio. ¿Cuántos pesos rebajan?
Un cuarto del precio: 4800 ÷ 4 = 1200 pesos. El cuaderno queda en 4800 − 1200 = 3600 pesos.
El año pasado el grupo de danzas tenía 16 niños. Este año tiene $\frac{5}{4}$ de esa cantidad. ¿Cuántos niños tiene ahora?
Un cuarto de 16 es 4. Cinco cuartos son 5 × 4 = 20. El grupo creció: cinco cuartos pasan de la unidad, así que el resultado pasa de 16.
Se reparten unos panes por partes iguales. ¿En cuál de estos repartos recibe cada niño más de un pan?
Con 4 panes para 3 niños hay más panes que niños: cada uno recibe cuatro tercios, más de un pan. En los otros repartos hay menos panes que niños.
¿Cuál de estos dibujos muestra bien el reparto de 3 panes entre 4 niños?
Para que el reparto sea justo, cada pan se parte en tantas partes iguales como niños. Así cada niño recibe un cuarto de cada pan: tres cuartos en total. Si los pedazos son de cualquier tamaño, el reparto no es por partes iguales.
Reto
Une cada cuenta con su resultado.
Una división se puede escribir como fracción. Para la fracción de una cantidad, divide y después multiplica.
Reto
Calcula en dos pasos.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Las palabras del reparto.
Lee cada pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Repartir por partes iguales es dividir, y el resultado se puede escribir como fracción.
Al repartir 3 entre 4, arriba va lo que se reparte y abajo entre cuántos; tres cuartos no es lo mismo que cuatro tercios.
Para calcular la fracción de una cantidad, se divide entre el denominador y se multiplica por el numerador.
Si la fracción es menor que la unidad, el resultado es menor que la cantidad; si es mayor, el resultado pasa de la cantidad.
Vocabulario
- Reparto por partes iguales
Dar a cada uno la misma cantidad. Si 3 panes se reparten entre 4 niños, a cada uno le tocan tres cuartos de pan.
- Cociente
El resultado de una división. Una fracción también es un cociente: tres cuartos es lo que da 3 ÷ 4.
- Operador
Una fracción que actúa sobre una cantidad y la cambia: tres cuartos de 20 manzanas son 15 manzanas.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lleve tres tiras de papel (los «panes») y pida a cuatro estudiantes repartirlas por partes iguales. Recoja las ideas antes de doblar.
- Explicación · 15 min — Los tres panes partidos en cuartos con colores; la fracción como resultado de una división; las 20 manzanas en cuatro grupos con tapas o semillas; los dos pasos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. El dominó, los huecos y el crucigrama en parejas: uno calcula y el otro revisa si el resultado es razonable (menos que el total, más que la mitad…).
- Cierre · 5 min — Cada pareja dibuja un reparto de 2 panes entre 3 niños y escribe cuánto le toca a cada uno.
Preguntas para el salón
- Si hay menos panes que niños, ¿a cada niño le toca más o menos de un pan?
- ¿Por qué para hallar tres cuartos de 20 primero se divide entre 4?
- ¿Cómo saben, sin hacer la cuenta, que dos tercios de 18 no puede dar 27?
Errores típicos
- Invertir la fracción del reparto (4/3 en vez de 3/4). Pregunte si hay más panes o más niños. Si hay menos panes que niños, a cada uno le toca menos de un pan, y la fracción tiene que ser menor que la unidad.
- Dividir entre el numerador y multiplicar por el denominador. Con fichas, pida separar primero en tantos grupos como dice el denominador y después tomar los grupos que dice el numerador.
- Quedarse en el primer paso (20 ÷ 4 = 5 como tres cuartos de 20). Pida decir en voz alta qué parte es el 5: «un cuarto». Después pregunte cuántos cuartos se necesitan.
- Partir los panes en pedazos desiguales al dibujar el reparto. Recuerde la lección anterior: solo son cuartos si las partes son iguales. Doblar tiras de papel ayuda a que salgan iguales.
Tarea sugerida
Con ayuda de un adulto, buscar en la cocina un paquete cerrado con varias unidades (galletas, huevos, panes), sin tocar la estufa ni los cuchillos, y calcular tres fracciones distintas de esa cantidad. Dibujar también un reparto de 2 arepas entre 3 personas.