Fracciones equivalentes
Lo que vas a aprender
- Reconocer con tiras de papel que dos fracciones distintas pueden ser la misma cantidad.
- Amplificar una fracción multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número.
- Simplificar una fracción dividiendo el numerador y el denominador entre el mismo número.
- Hallar el número que falta en una igualdad de fracciones, como dos tercios igual a casilla doceavos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Pides media libra de queso en la tienda. El tendero tiene una pesa que marca cuartos de libra, y te sirve dos cuartos. ¿Te dio lo que pediste? Sí: media libra y dos cuartos de libra son la misma cantidad.
Una misma cantidad se puede escribir con fracciones distintas. Saber pasar de una a otra te sirve para comparar, para repartir y, más adelante, para sumar fracciones.
En esta lección vas a construir fracciones equivalentes con tiras de papel y con cuentas.
Explicación
El mismo pedazo con otro nombre
Toma tres tiras de papel del mismo largo. Dobla la primera por la mitad y pinta una mitad. Dobla la segunda dos veces, para que quede en cuartos, y pinta dos cuartos. Dobla la tercera tres veces, para que quede en octavos, y pinta cuatro octavos.
Pon las tres tiras una debajo de otra, como en la figura. El pedazo pintado es igual de largo en las tres. Entonces $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ y $\frac{4}{8}$ son la misma cantidad. Se dice que son fracciones equivalentes.
Ojo: las tiras tienen que ser del mismo largo. La mitad de una tira larga no es lo mismo que la mitad de una tira corta.
Tres tiras del mismo largo, partidas en medios, en cuartos y en octavos. El pedazo pintado mide lo mismo en las tres: un medio, dos cuartos y cuatro octavos son equivalentes.
Amplificar: partir cada parte
¿Qué pasó de la primera tira a la segunda? Cada mitad se partió en 2 partes iguales. Por eso hay el doble de partes: el denominador pasó de 2 a 4. Y también hay el doble de partes pintadas: el numerador pasó de 1 a 2.
Esa es la regla. Para construir una fracción equivalente, se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número. Esto se llama amplificar. Las partes se vuelven más pequeñas, pero se toman más. El pedazo no cambia.
Ejemplo resuelto
Tres fracciones iguales a dos tercios
Escribe tres fracciones equivalentes a $\frac{2}{3}$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de dos tercios:
$$\frac{2}{3}$$
Multiplicamos arriba y abajo por 2. Es como partir cada tercio en 2 partes iguales.
$$\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$$
Ahora por 3: cada tercio se parte en 3.
$$\frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$$
Y por 4: cada tercio se parte en 4.
$$\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$
Respuesta: Dos tercios es igual a $\frac{4}{6}$, a $\frac{6}{9}$ y a $\frac{8}{12}$. Hay muchas más: basta multiplicar arriba y abajo por el mismo número.
La tira tiene 2/3 pintados. Parte cada parte en 2, en 3 y en 4: salen 4/6, 6/9 y 8/12. Arriba y abajo se multiplican por el mismo número y lo pintado no cambia.
Simplificar: juntar partes
También se puede ir al revés. En la tira de octavos, junta las partes de a dos: te quedan cuartos. Junta otra vez de a dos: te quedan medios. Eso es simplificar: se dividen el numerador y el denominador entre el mismo número.
Solo se puede simplificar si los dos números se dejan dividir exacto. Por ejemplo, $\frac{3}{5}$ no se puede simplificar: no hay un número, aparte del 1, que divida exacto al 3 y al 5.
Ejemplo resuelto
Las gallinas de la finca
En la finca de don Pablo hay 12 gallinas, y 8 de ellas ponen huevos todos los días. Escribe la fracción de gallinas ponedoras y simplifícala.
Ver la solución paso a paso
Son 8 de 12 gallinas:
$$\frac{8}{12}$$
El 8 y el 12 se dejan dividir exacto entre 4. Dividimos arriba y abajo entre 4:
$$\frac{8 \div 4}{12 \div 4}$$
Queda:
$$\frac{2}{3}$$
Respuesta: Las ponedoras son $\frac{8}{12}$ de las gallinas, que es lo mismo que $\frac{2}{3}$.
Cuidado: se multiplica, no se suma
Un error muy común es sumar el mismo número arriba y abajo. Por ejemplo, a $\frac{2}{3}$ le suman 1 arriba y 1 abajo, y escriben $\frac{3}{4}$. Pero esas dos fracciones no son la misma cantidad. Mira la figura: tres cuartos cubre más tira que dos tercios.
Sumar no parte cada pedazo en partes iguales. Multiplicar sí. Por eso, para amplificar o simplificar, siempre se multiplica o se divide.
Otro error es cambiar solo uno de los dos números. Si de $\frac{2}{3}$ pasas a $\frac{2}{6}$, partiste cada tercio en dos pero tomaste las mismas partes. Ahora tienes menos tira pintada.
Tres tiras del mismo largo. En azul, dos tercios cubre lo mismo que ocho doceavos. En rojo, tres cuartos llega un doceavo más lejos: es igual a nueve doceavos. Sumar uno arriba y abajo cambió la cantidad.
Ejemplo resuelto
El error de Andrés
Andrés le sumó 1 arriba y 1 abajo a $\tfrac{2}{3}$, y dice que $\tfrac{2}{3}$ es igual a $\tfrac{3}{4}$. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Esto fue lo que hizo Andrés:
$$\frac{2 + 1}{3 + 1}$$
Le dio:
$$\frac{3}{4}$$
Para saber si es la misma cantidad, pasamos las dos fracciones a doceavos, multiplicando:
$$\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$
Y tres cuartos:
$$\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$
Ocho doceavos no es lo mismo que nueve doceavos:
$$\frac{2}{3} \ne \frac{3}{4}$$
Respuesta: Andrés no tiene razón. Sumar el mismo número arriba y abajo cambia la cantidad; para encontrar una equivalente hay que multiplicar o dividir.
El número que falta
A veces te dan una igualdad con una casilla vacía, como $\frac{2}{3} = \frac{\square}{12}$. Primero mira los números que sí conoces. Abajo, el 3 se volvió 12: se multiplicó por 4. Arriba hay que hacer lo mismo: 2 × 4 = 8. En la casilla va el 8.
Ejemplo resuelto
Llenar la casilla
Completa la igualdad $\frac{2}{3} = \frac{\square}{12}$.
Ver la solución paso a paso
Queremos el número de la casilla:
$$\frac{2}{3} = \frac{\square}{12}$$
Miramos los denominadores. ¿Por cuánto se multiplica el 3 para llegar a 12?
$$12 \div 3$$
Por:
$$4$$
Hacemos lo mismo con el numerador:
$$2 \times 4$$
Da:
$$8$$
Comprobamos: ocho doceavos se simplifica dividiendo arriba y abajo entre 4, y vuelve a dar dos tercios.
$$\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$$
Respuesta: En la casilla va el 8: dos tercios es igual a ocho doceavos.
Práctica
¿Qué fracción es equivalente a $\frac{1}{2}$?
Si se multiplican arriba y abajo por 4, un medio da cuatro octavos. Dos tercios sale de sumar 1 arriba y abajo, y eso no da una equivalente.
¿Qué número va en la casilla? $\frac{3}{4} = \frac{\square}{8}$
Abajo, el 4 se multiplicó por 2 para llegar a 8. Arriba se hace lo mismo: 3 × 2 = 6.
¿Qué número va en la casilla? $\frac{5}{6} = \frac{\square}{12}$
El 6 se multiplicó por 2 para llegar a 12. Arriba: 5 × 2 = 10. Si sumas 6 arriba y abajo te da 11, y eso no es equivalente.
Ahora la casilla está abajo. ¿Qué número va en ella? $\frac{3}{5} = \frac{9}{\square}$
Arriba, el 3 se multiplicó por 3 para llegar a 9. Abajo se hace lo mismo: 5 × 3 = 15.
Simplifica: ¿qué número va en la casilla? $\frac{8}{12} = \frac{\square}{3}$
Abajo, el 12 se dividió entre 4 para llegar a 3. Arriba se hace lo mismo: 8 ÷ 4 = 2.
Lina le sumó 1 arriba y 1 abajo a un medio, y escribió $\frac{1}{2} = \frac{2}{3}$. ¿Es verdad?
Sumar no da fracciones equivalentes. Un medio es la mitad de la tira, y dos tercios es más que la mitad. Para amplificar se multiplica: un medio es igual a dos cuartos.
Sin dibujar, decide: ¿es verdad que $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$?
Si se dividen el 4 y el 10 entre 2, queda dos quintos. Son equivalentes.
Marca todas las fracciones equivalentes a $\frac{2}{3}$.
Marca todas las que apliquen.
Cuatro sextos, ocho doceavos y seis novenos salen de multiplicar arriba y abajo por 2, por 4 y por 3. Dos sextos cambió solo el de abajo, y tres cuartos salió de sumar 1.
La mamá de Sara partió una torta en 8 pedazos iguales y repartió 4. El papá partió una torta igual en 2 mitades y repartió 1. ¿Repartieron la misma cantidad de torta? Es verdad si $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Cuatro octavos se simplifica dividiendo entre 4: da un medio. Como las tortas son iguales, los dos repartieron media torta.
Una tira está partida en 12 partes iguales. ¿Cuántas partes hay que pintar para cubrir lo mismo que $\frac{3}{4}$ de una tira igual?
Para pasar de cuartos a doceavos se multiplica abajo por 3. Arriba también: 3 × 3 = 9. Tres cuartos es igual a nueve doceavos.
¿Por qué un medio y dos cuartos de la misma tira son la misma cantidad?
Amplificar es partir cada parte en partes iguales más pequeñas. Hay el doble de partes y se toman el doble, así que la cantidad es la misma. Que los números sean más grandes no quiere decir que la cantidad sea mayor.
Reto
Une cada fracción con su equivalente.
Busca el número por el que se multiplicaron el numerador y el denominador.
Reto
Amplifica paso a paso.
Elige en cada espacio el número correcto. Recuerda: se multiplica, no se suma.
Reto
Abre el candado de las casillas.
Cada casilla da una cifra. Mira qué pasó con los números que conoces.
Cierre
En resumen
Dos fracciones son equivalentes si nombran la misma cantidad de la misma unidad, como un medio y dos cuartos.
Para amplificar, se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número.
Para simplificar, se dividen el numerador y el denominador entre el mismo número, si los dos se dejan dividir exacto.
Sumar el mismo número arriba y abajo no da una fracción equivalente; cambiar solo uno de los dos números tampoco.
Para llenar una casilla, mira por cuánto se multiplicó o se dividió el número que conoces y haz lo mismo con el otro.
Vocabulario
- Fracciones equivalentes
Fracciones que nombran la misma cantidad de la misma unidad, aunque se escriban distinto: un medio y dos cuartos.
- Amplificar
Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Es partir cada parte en partes más pequeñas.
- Simplificar
Dividir el numerador y el denominador entre el mismo número. Es juntar partes pequeñas en partes más grandes.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero «media libra = dos cuartos de libra» y pregunte si es cierto. Recoja las razones.
- Explicación · 15 min — Cada estudiante dobla tres tiras de papel del mismo largo en medios, cuartos y octavos y las compara. Amplificar como partir cada parte; simplificar como juntar; el error de Andrés con las tiras de tercios, doceavos y cuartos; la casilla.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. El dominó, los huecos y el candado en parejas: uno escribe la cuenta y el otro la comprueba doblando o dibujando tiras.
- Cierre · 5 min — Cada pareja escribe cuatro fracciones equivalentes a tres cuartos y explica cómo las construyó.
Preguntas para el salón
- Si parto cada cuarto de una tira en dos, ¿cuántas partes hay ahora? ¿Cambió el pedazo pintado?
- ¿Por qué sumar 1 arriba y abajo no sirve para encontrar una equivalente?
- ¿Se puede simplificar tres quintos? ¿Por qué?
Errores típicos
- Sumar el mismo número arriba y abajo (2/3 → 3/4). Pida pintar las dos fracciones en tiras del mismo largo. Al ver que cubren distinto, pregunte qué operación sí parte cada pedazo en partes iguales.
- Multiplicar solo el denominador (2/3 → 2/6). Con la tira, muestre que al partir cada tercio en dos también se parten las partes pintadas, y hay que contarlas otra vez.
- Creer que una fracción con números más grandes es una cantidad mayor (2/4 > 1/2). Ponga las tiras de medios y de cuartos una debajo de la otra y compare el largo de lo pintado.
- Comparar mitades de unidades de distinto tamaño. Recuerde que las tiras deben ser del mismo largo: la mitad de una tira larga es más papel que la mitad de una corta.
Tarea sugerida
Con una hoja, tijeras de punta roma y la ayuda de un adulto, recortar cuatro tiras del mismo largo, doblarlas en medios, tercios, cuartos y sextos, y pegar en el cuaderno tres parejas de fracciones equivalentes con su cuenta.