Comparar fracciones
Lo que vas a aprender
- Comparar dos fracciones dibujándolas en tiras del mismo largo.
- Comparar dos fracciones con un criterio, según tengan igual denominador, igual numerador, o comparándolas con un medio y con 1.
- Justificar por qué un octavo es menor que un cuarto aunque 8 sea mayor que 4.
- Describir la relación entre los pesos de una balanza equilibrada con el triple y con un tercio.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el recreo, dos amigos comen partes de chocolatinas iguales. ¿Quién comió más? En la casa, dos recetas piden distintas fracciones de libra de arroz. ¿Cuál lleva más? En una balanza, unos objetos pesan lo mismo que otros. ¿Cuál es el más pesado?
Para responder hay que comparar fracciones. En esta lección vas a comparar con dibujos y con criterios que te ahorran el dibujo.
Explicación
Comparar con dibujos
La forma más segura de comparar dos fracciones es dibujarlas en tiras del mismo largo. La fracción que cubre más tira es la mayor.
Las tiras tienen que ser iguales porque solo se comparan partes de la misma unidad. Media pizza grande es más que media pizza pequeña, aunque las dos sean mitades.
Mismo denominador
Si los denominadores son iguales, las partes son del mismo tamaño. Entonces gana la fracción que toma más partes: la de numerador mayor. Por ejemplo, cinco octavos es mayor que tres octavos.
Mismo numerador
Si los numeradores son iguales, se toma el mismo número de partes. Pero, ¿de qué tamaño? Entre más partes se parte la unidad, más pequeña es cada parte. Por eso, con el mismo numerador, gana la fracción de denominador menor.
Mucha gente cree que un octavo es mayor que un cuarto, porque 8 es mayor que 4. Es al revés. Si una pizza se reparte entre 8 amigos, a cada uno le toca menos que si se reparte entre 4. Mira la figura.
Dos tiras del mismo largo. Arriba, partida en cuartos; abajo, en octavos. Un cuarto cubre el doble de tira que un octavo.
Ejemplo resuelto
¿Entre 4 o entre 8?
Una pizza se reparte entre 4 amigos y otra pizza igual entre 8 amigos, por partes iguales. ¿En cuál reparto recibe más cada amigo?
Ver la solución paso a paso
En el primer reparto, cada amigo recibe:
$$1 \div 4$$
Es decir:
$$\frac{1}{4}$$
En el segundo reparto:
$$1 \div 8$$
Es decir:
$$\frac{1}{8}$$
Con la tira de octavos se ve que un cuarto son dos octavos:
$$\frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$$
Y dos octavos es más que un octavo:
$$\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$$
Respuesta: Recibe más cada amigo del grupo de 4: le toca $\frac{1}{4}$ de pizza, que es más que $\frac{1}{8}$, aunque 8 sea mayor que 4. Con más amigos, cada pedazo es más pequeño.
Cuando arriba y abajo son distintos
Si los numeradores son distintos y los denominadores también, mirar uno solo de los dos números engaña. Fíjate en tres octavos y dos tercios. El 3 es mayor que el 2, y el 8 es mayor que el 3. Pero tres octavos es la fracción menor.
Un buen truco es comparar cada fracción con un medio. Pregúntate: ¿cuál es la mitad del denominador? La mitad de 8 es 4. Como 3 no llega a 4, tres octavos no llega a la mitad de la tira. En dos tercios, la mitad de 3 partes es una parte y media, y 2 pasa de ahí. Dos tercios pasa de la mitad.
Ojo: si las dos fracciones pasan de la mitad, o las dos no llegan, este truco no decide. Entonces usa otra forma, como las tiras o una equivalente.
La raya punteada marca la mitad de cada tira. Tres octavos no llega a la mitad; dos tercios sí pasa de la mitad.
Ejemplo resuelto
Las chocolatinas del recreo
En el recreo, Laura comió $\tfrac{3}{8}$ de su chocolatina y Pablo $\tfrac{2}{3}$ de una chocolatina igual. ¿Quién comió más?
Ver la solución paso a paso
La mitad de 8 es 4, así que cuatro octavos es justo la mitad:
$$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
Laura no llegó a la mitad:
$$\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$$
Pablo comió 2 de 3 partes. La mitad de 3 partes es una parte y media, y 2 pasa de ahí:
$$\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$$
Lo que no llega a la mitad es menor que lo que pasa de la mitad:
$$\frac{3}{8} < \frac{2}{3}$$
Respuesta: Pablo comió más. Mirar solo los números de arriba (3 es mayor que 2) o solo los de abajo (8 es mayor que 3) llevaba a la respuesta equivocada.
Arriba, la chocolatina de Laura con 3/8; abajo, la de Pablo con 2/3. Mira la mitad de cada una: 3/8 no llega y 2/3 sí pasa. Pablo comió más.
Comparar con 1
Otra referencia es la unidad. Una fracción con el numerador mayor que el denominador pasa de 1. Una con el numerador menor no llega a 1. Entonces la primera es mayor, sin hacer más cuentas.
Y si un denominador cabe exacto en el otro, puedes usar una equivalente. Para comparar un medio con cinco octavos, escribe el medio en octavos: cuatro octavos. Ahora tienen el mismo denominador, y cinco octavos es mayor.
Ejemplo resuelto
¿Qué ruta dura más?
La ruta del bus de Lina dura $\tfrac{5}{4}$ de hora y la de Tomás dura $\tfrac{7}{8}$ de hora. ¿Cuál ruta dura más?
Ver la solución paso a paso
Cinco cuartos pasa de una hora, porque el numerador es mayor que el denominador:
$$\frac{5}{4} > 1$$
Siete octavos no llega a una hora:
$$\frac{7}{8} < 1$$
Lo que pasa de 1 es mayor que lo que no llega a 1:
$$\frac{5}{4} > \frac{7}{8}$$
Respuesta: La ruta de Lina dura más: más de una hora, y la de Tomás, menos de una hora.
La balanza
En la balanza de la figura hay tres esferas iguales en un platillo y un cubo en el otro. La balanza está quieta y derecha: los dos lados pesan lo mismo.
Entonces el cubo pesa lo que pesan las tres esferas juntas. El cubo es el más pesado: pesa el triple de una esfera. Y al revés, cada esfera pesa un tercio del cubo.
Si en el platillo de las esferas solo hubiera dos, el lado del cubo bajaría, porque dos esferas pesan menos que el cubo.
Una balanza equilibrada: tres esferas iguales en el platillo izquierdo pesan lo mismo que el cubo del platillo derecho.
Ejemplo resuelto
El peso de cada esfera
En la balanza, 3 esferas iguales equilibran un cubo que pesa 900 g. ¿Cuánto pesa cada esfera? ¿Qué relación hay entre los dos pesos?
Ver la solución paso a paso
Las 3 esferas juntas pesan lo mismo que el cubo. Repartimos el peso del cubo entre las 3:
$$900 \div 3$$
Cada esfera pesa, en gramos:
$$300$$
El cubo pesa el triple de una esfera:
$$3 \times 300 = 900$$
Y una esfera es esta parte del cubo:
$$300 \div 900$$
Un tercio:
$$\frac{1}{3}$$
Respuesta: Cada esfera pesa 300 g. El cubo pesa el triple de una esfera, y cada esfera pesa un tercio del cubo.
Tres esferas iguales pesan lo mismo que el cubo: 900 g. Parte los dos platos en 3: una esfera pesa 300 g, un tercio del cubo.
Práctica
En la misma tira, ¿qué es más: $\frac{3}{8}$ o $\frac{5}{8}$?
Tienen el mismo denominador: las partes son del mismo tamaño. Cinco partes es más que tres partes.
Felipe dice que $\frac{1}{8} > \frac{1}{4}$, porque 8 es mayor que 4. ¿Tiene razón?
Es al revés. Si la unidad se parte en 8, cada parte es más pequeña que si se parte en 4. Un octavo es la mitad de un cuarto.
Una torta se reparte entre 6 niños y otra torta igual entre 10 niños, por partes iguales. ¿Qué parte de torta recibe cada niño en el reparto donde le toca más?
Entre menos niños, más grande el pedazo. Un sexto es mayor que un décimo, aunque 10 sea mayor que 6.
Marca todas las fracciones mayores que un medio.
Marca todas las que apliquen.
Compara el numerador con la mitad del denominador. La mitad de 5 es dos y medio, y 3 pasa. La mitad de 8 es 4, y 5 pasa. La mitad de 12 es 6, y 7 pasa. En cambio, 2 no llega a 3 ni 4 llega a 5.
Don Jorge sembró papa en $\frac{4}{5}$ de su lote, y su vecino en $\frac{5}{12}$ de un lote igual. ¿Qué fracción es mayor?
Cuatro quintos pasa de la mitad (la mitad de 5 es dos y medio). Cinco doceavos no llega a la mitad (la mitad de 12 es 6). Fijarse solo en que 5 es mayor que 4 lleva al error.
¿Qué es más: $\frac{9}{8}$ o $\frac{11}{12}$ de la misma tira?
Nueve octavos pasa de la unidad: el numerador es mayor que el denominador. Once doceavos no llega a la unidad. Lo que pasa de 1 es mayor.
Una receta pide $\frac{1}{2}$ libra de arroz y otra pide $\frac{5}{8}$ de libra. ¿Cuál cantidad es mayor?
Un medio es lo mismo que cuatro octavos. Con el mismo denominador, cinco octavos es mayor que cuatro octavos.
Camila dice que $\frac{5}{6} < \frac{1}{3}$, porque 6 es mayor que 3. ¿Tiene razón?
Camila solo miró el denominador. Cinco sextos pasa de la mitad, y un tercio no llega a la mitad. Cinco sextos es mayor.
En una balanza, 4 esferas iguales equilibran un cubo de 800 g. ¿Cuántos gramos pesa cada esfera?
Las 4 esferas juntas pesan lo mismo que el cubo: 800 g. Cada una pesa 800 ÷ 4 = 200 g. El cubo pesa 4 veces lo que una esfera, y cada esfera, un cuarto del cubo.
Si 3 esferas iguales equilibran un cubo, ¿cuántas esferas equilibran 2 cubos iguales a ese?
Cada cubo pesa lo que 3 esferas. Dos cubos pesan lo que 3 + 3 = 6 esferas.
En una balanza, 5 esferas iguales equilibran un cubo. ¿Qué parte del peso del cubo pesa una esfera?
El peso del cubo se reparte entre 5 esferas iguales: cada una pesa un quinto del cubo. Y el cubo pesa 5 veces lo que una esfera.
Valeria dice que tres quintos es mayor que tres séptimos. ¿Cuál es la mejor razón?
Con el mismo numerador se toma el mismo número de partes, y gana la de partes más grandes: los quintos. La segunda razón falla si los numeradores son distintos: cinco sextos es mayor que un tercio.
Reto
Compara con un medio.
Elige en cada espacio la respuesta correcta.
Reto
Abre el candado de la balanza.
Cada pregunta da una cifra. Haz un dibujo de la balanza si te ayuda.
Reto
Las palabras de comparar.
Lee cada pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Para comparar fracciones con dibujos, se usan tiras del mismo largo; la que cubre más tira es la mayor.
Con el mismo denominador, gana la de numerador mayor; con el mismo numerador, gana la de denominador menor.
Un octavo es menor que un cuarto aunque 8 sea mayor que 4, porque las partes son más pequeñas.
Si arriba y abajo son distintos, sirve comparar cada fracción con un medio o con 1, o pasar a una equivalente.
En una balanza equilibrada con tres esferas y un cubo, el cubo pesa el triple de una esfera y cada esfera, un tercio del cubo.
Vocabulario
- Comparar fracciones
Decidir cuál de dos fracciones de la misma unidad es mayor, o si son iguales.
- Un medio como referencia
Una fracción es justo un medio cuando el numerador es la mitad del denominador, como cuatro octavos. Sirve para comparar.
- El triple
Tres veces una cantidad. Si tres esferas pesan lo que un cubo, el cubo pesa el triple de una esfera.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte: «¿Prefieren un cuarto o un octavo de la misma pizza?». Anote las respuestas y las razones antes de dibujar.
- Explicación · 15 min — Tiras del mismo largo; igual denominador e igual numerador; tres octavos frente a dos tercios con la raya de la mitad; comparar con 1; la balanza. Si el colegio tiene una balanza de platillos, el docente la arma con objetos iguales del salón (borradores, tapas) y los estudiantes solo observan y anotan.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos, el candado y el crucigrama en parejas: cada vez que uno diga cuál es mayor, el otro pide el criterio que usó.
- Cierre · 5 min — Cada pareja escribe una pareja de fracciones para cada criterio (igual denominador, igual numerador, con un medio, con 1) y dice cuál es mayor.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué con el mismo numerador gana la fracción de denominador menor?
- ¿Cómo saben, sin dibujar, si una fracción pasa de la mitad?
- Si cuatro esferas equilibran un cubo, ¿qué parte del cubo pesa cada esfera?
Errores típicos
- Creer que 1/8 es mayor que 1/4 porque 8 es mayor que 4. Reparta una tira entre 4 y otra igual entre 8 estudiantes, y compare los pedazos.
- Comparar mirando solo el numerador (3/8 > 2/3 porque 3 > 2). Pida dibujar las dos en tiras del mismo largo o compararlas con un medio antes de decidir.
- Comparar mirando solo el denominador en cualquier caso (5/6 < 1/3 porque 6 > 3). Recuerde que el criterio del denominador sirve solo si los numeradores son iguales. Pregunte cuántas partes se toman en cada fracción.
- Comparar fracciones de unidades de distinto tamaño. Muestre media hoja grande y media hoja pequeña: las dos son mitades, pero no son la misma cantidad.
Tarea sugerida
Con ayuda de un adulto y tijeras de punta roma, recortar tiras de papel del mismo largo en medios, tercios, cuartos y octavos, y usarlas para comparar cinco parejas de fracciones. Escribir para cada pareja cuál es mayor y qué criterio sirvió.