Sumar y restar fracciones
Lo que vas a aprender
- Sumar y restar fracciones de igual denominador con tiras, figuras y números.
- Explicar por qué al sumar fracciones de igual denominador el denominador no cambia.
- Reconocer cuándo una suma de fracciones pasa de una unidad.
- Hallar lo que le falta a una fracción para completar la unidad.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el cumpleaños de Valentina partieron la torta en diez porciones iguales. Unos primos se comieron unas porciones y los vecinos otras. ¿Qué parte de la torta se comieron entre todos? ¿Qué parte quedó para la abuela?
Para responder hay que sumar y restar fracciones. En esta lección vas a sumar y restar fracciones que tienen las partes del mismo tamaño. Vas a ver un error muy común y vas a aprender a pillarlo antes de caer en él.
Explicación
Primero, recordar qué dice una fracción
Una chocolatina viene partida en ocho cuadritos iguales. Cada cuadrito es un octavo de la chocolatina. Si te comes tres cuadritos, te comiste tres octavos: $\frac{3}{8}$.
El número de abajo, el denominador, dice en cuántas partes iguales se partió la chocolatina. También le pone el nombre a cada parte: octavos. El número de arriba, el numerador, dice cuántas de esas partes tomaste.
Sumar partes del mismo tamaño
Piensa en mangos. Dos mangos y tres mangos son cinco mangos. Se cuentan los mangos, pero el nombre, «mangos», no se suma ni cambia.
Con las fracciones pasa igual. Dos octavos y tres octavos son cinco octavos, no cinco dieciseisavos. Se cuentan los cuadritos. El nombre de los cuadritos, octavos, no cambia, porque los cuadritos siguen siendo del mismo tamaño.
Entonces, para sumar fracciones con igual denominador:
- Sumas los numeradores.
- Dejas el mismo denominador.
El error de sumar los de abajo
Hay un error muy común. Alguien ve $\frac{1}{5} + \frac{2}{5}$ y suma todo: arriba $1 + 2$ y abajo $5 + 5$. Le da $\frac{3}{10}$. Eso está mal.
Piénsalo con la chocolatina. Cuando juntas cuadritos, la chocolatina no se parte en más pedazos. Los quintos siguen siendo quintos. No se vuelven décimos, que son pedazos más pequeños.
Hay una prueba fácil para pillar el error. Si sumas, el resultado tiene que ser más grande que cada sumando. Pero tres décimos es menos que dos quintos. ¡Una suma no puede quedar más pequeña que lo que sumaste! Mira la figura de abajo.
Restar
Restar es quitar partes del mismo tamaño. Si de siete décimos de torta se comen cuatro décimos, quedan tres décimos. Se restan los numeradores y el denominador se queda igual. Tampoco aquí se restan los de abajo.
Cuando la suma pasa de una unidad
Una chocolatina entera, partida en seis cuadritos, son seis sextos: $\frac{6}{6}$. Eso es una unidad. Si juntas cinco sextos de una chocolatina y cuatro sextos de otra, tienes nueve sextos. Con seis de ellos armas una chocolatina completa, y te sobran tres sextos. La fracción $\frac{9}{6}$ es mayor que la unidad, porque el numerador es más grande que el denominador.
Lo que falta para la unidad
Una jarra de jugo tiene ocho vasos iguales y ya se sirvieron tres. ¿Qué parte queda? La jarra llena son ocho octavos. Le quitas tres octavos y quedan cinco octavos. Para saber lo que falta, escribes la unidad con el mismo denominador y restas.
La chocolatina tiene 8 cuadritos iguales. Ana se comió 2 (azul) y Luis 3 (rojo). Entre los dos se comieron 5 de los 8 cuadritos.
Ejemplo resuelto
La chocolatina de Ana y Luis
Ana se comió 2/8 de una chocolatina y Luis se comió 3/8. ¿Qué fracción de la chocolatina se comieron entre los dos?
Ver la solución paso a paso
Juntamos lo que comió cada uno:
$$\frac{2}{8} + \frac{3}{8}$$
Los dos comieron octavos, cuadritos del mismo tamaño. Sumamos los cuadritos y el nombre se queda igual: octavos.
$$\frac{2 + 3}{8}$$
Son cinco cuadritos de ocho.
$$\frac{5}{8}$$
Respuesta: Entre los dos se comieron 5/8 de la chocolatina. Quedan 3 cuadritos.
Ana se comió 2/8 y Luis 3/8 de la misma chocolatina. Junta lo que comieron: son 5 cuadritos de 8, 5/8. Los pedazos siguen siendo octavos.
Arriba, una tira en quintos: 1/5 (azul) y 2/5 (rojo) cubren 3 de los 5 pedazos. Abajo, la misma tira en décimos: 3/10 (verde) es un pedazo mucho más corto. Por eso 1/5 + 2/5 no puede ser 3/10.
Ejemplo resuelto
Pillar el error de sumar los denominadores
Tomás escribió que 1/5 + 2/5 da 3/10. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Las dos fracciones son quintos. Sumamos los quintos y el nombre no cambia:
$$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$
Ahora probamos la respuesta de Tomás. Si fuera la suma, tendría que ser más grande que 2/5. Pero mira la tira: tres décimos es menos que dos quintos.
$$\frac{3}{10} < \frac{2}{5}$$
Una suma no puede quedar más pequeña que uno de los números que se suman. La respuesta de Tomás no sirve.
Respuesta: Tomás no tiene razón: 1/5 + 2/5 = 3/5. Los quintos siguen siendo quintos; no se suman los denominadores.
Ejemplo resuelto
La torta de Valentina
Quedaban 7/10 de la torta y los primos se comieron 4/10. ¿Qué parte de la torta quedó?
Ver la solución paso a paso
A lo que había le quitamos lo que se comieron:
$$\frac{7}{10} - \frac{4}{10}$$
Son porciones del mismo tamaño, décimos. Restamos las porciones y el denominador se queda igual.
$$\frac{7 - 4}{10}$$
Quedan tres porciones de diez.
$$\frac{3}{10}$$
Respuesta: Quedaron 3/10 de la torta.
Cinco sextos (azul) y cuatro sextos (rojo). Con seis sextos se completa la primera chocolatina y sobran tres sextos en la segunda.
Ejemplo resuelto
Más de una unidad y lo que falta
Juntamos 5/6 de una chocolatina y 4/6 de otra. ¿Cuánto chocolate hay? Y de una jarra de jugo se sirvieron 3/8: ¿qué parte queda?
Ver la solución paso a paso
Sumamos los sextos:
$$\frac{5}{6} + \frac{4}{6}$$
Son nueve sextos. El numerador es más grande que el denominador: pasa de una unidad.
$$\frac{9}{6}$$
Seis sextos forman una chocolatina entera. Sobran tres sextos:
$$\frac{6}{6} + \frac{3}{6}$$
Es decir, una chocolatina y tres sextos de otra.
$$1 + \frac{3}{6}$$
Ahora la jarra. La jarra llena es la unidad, y la escribimos en octavos para poder restar:
$$1 - \frac{3}{8}$$
Ocho octavos menos tres octavos:
$$\frac{8}{8} - \frac{3}{8}$$
Quedan cinco octavos.
$$\frac{5}{8}$$
Respuesta: Hay 9/6 de chocolatina, que es una entera y 3/6 más. En la jarra quedan 5/8 del jugo.
Práctica
Calcula $\frac{3}{9} + \frac{4}{9}$.
Son novenos y novenos. Se suman los numeradores, 3 + 4 = 7, y el denominador se queda en 9: 7/9.
En la finca, Julián pintó 2/7 de la cerca el lunes y 3/7 el martes. ¿Qué parte de la cerca pintó en los dos días?
Son séptimos los dos días. Se suman los pedazos, 2 + 3 = 5, y siguen siendo séptimos: 5/7. La opción 5/14 suma también los denominadores, y eso no se hace.
Pedro dice que $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{8}$. ¿Tiene razón?
1/4 + 2/4 son tres cuartos, 3/4. Pedro sumó los denominadores. Además, 3/8 es menos que 2/4, y una suma no puede quedar más pequeña que uno de sus sumandos.
Calcula $\frac{9}{10} - \frac{6}{10}$.
Se quitan 6 décimos de 9 décimos: quedan 3 décimos, 3/10. El denominador no se resta.
Una jarra de agua se llenó hasta 5/12. ¿Qué parte de la jarra falta por llenar?
La jarra llena son 12/12. Le quitamos lo que ya tiene: 12/12 − 5/12 = 7/12.
En el mercado, doña Marta vendió 4/5 de un bulto de papa en la mañana y 3/5 de otro bulto igual en la tarde. ¿Cuánto vendió en total? Escríbelo como una sola fracción.
4 quintos y 3 quintos son 7 quintos: 7/5. Como 7 es mayor que 5, pasó de un bulto: es un bulto entero (5/5) y 2/5 de otro.
Marca las sumas que dan más de una unidad.
Marca todas las que apliquen.
5/6 + 2/6 = 7/6 y 7/10 + 6/10 = 13/10 tienen el numerador más grande que el denominador. 4/9 + 5/9 = 9/9 es justo una unidad, no más. Las otras no llegan.
Una torta se partió en 12 porciones iguales. A Mateo le tocaron 3 porciones y a Sara 4. ¿Qué fracción de la torta les tocó entre los dos?
Cada porción es un doceavo. Mateo tiene 3/12 y Sara 4/12. Juntos: 7/12 de la torta.
El tanque de la escuela estaba lleno hasta 9/10. En la mañana se gastaron 2/10 y en la tarde 3/10. ¿Qué parte del tanque queda con agua?
Primero 9/10 − 2/10 = 7/10. Después 7/10 − 3/10 = 4/10. Quedan 4/10 del tanque, que es lo mismo que 2/5.
¿Por qué 2/8 + 3/8 da 5/8 y no 5/16?
El denominador es el nombre del pedazo. Al juntar octavos con octavos sigues teniendo octavos. Si fueran dieciseisavos, cada pedazo sería la mitad de pequeño, y la chocolatina no se partió de nuevo.
Reto
Une cada cuenta con su resultado.
Suma o resta solo los numeradores. El denominador se queda igual.
Reto
Lleva cada suma a su canasta.
Mira si el numerador del resultado es más chico o más grande que el denominador.
Reto
Abre el candado de las fracciones.
Cada pregunta da una cifra. Dibuja la tira si te ayuda.
Cierre
En resumen
Para sumar fracciones de igual denominador se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
Para restarlas se restan los numeradores; el denominador tampoco cambia.
Los denominadores no se suman ni se restan, porque el tamaño de las partes no cambia.
Si el numerador del resultado es mayor que el denominador, la suma pasa de una unidad.
Para saber lo que falta para la unidad, se escribe la unidad con el mismo denominador y se resta.
Vocabulario
- Numerador
El número de arriba de la fracción. Dice cuántas partes se toman. En 3/8 es el 3.
- Denominador
El número de abajo de la fracción. Dice en cuántas partes iguales se partió la unidad, y le da el nombre a cada parte: octavos, décimos. En 3/8 es el 8.
- Igual denominador
Dos fracciones tienen igual denominador cuando sus partes son del mismo tamaño, como 2/8 y 3/8.
- Unidad
El todo completo: una chocolatina entera, una torta entera. Partida en 8 partes iguales, la unidad son 8/8.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero 1/5 + 2/5 = 3/10 y pregunte quién está de acuerdo. Deje la pregunta abierta hasta el ejemplo de Tomás.
- Explicación · 15 min — Tiras de papel partidas en octavos, quintos y décimos; sumar y restar contando partes; la prueba de que la suma no puede quedar más pequeña que un sumando; pasar de la unidad con dos tiras.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó, las canastas y el candado en parejas, diciendo en voz alta el nombre de las partes (octavos, décimos).
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una suma de fracciones con igual denominador, la dibuja con una tira y se la pasa a un compañero para que la resuelva.
Preguntas para el salón
- Si juntas dos octavos y tres octavos de chocolatina, ¿la chocolatina se parte en más pedazos?
- ¿Cómo sabes, sin hacer la cuenta completa, que 1/5 + 2/5 no puede ser 3/10?
- ¿Cuándo una suma de fracciones da más de una unidad?
Errores típicos
- Sumar numeradores y denominadores (1/5 + 2/5 = 3/10). Pida leer las fracciones con palabras: «un quinto más dos quintos». Los quintos se cuentan como mangos. Compruebe con tiras que 3/10 es menos que 2/5, y que una suma no puede quedar más pequeña que un sumando.
- Restar también los denominadores (7/10 − 4/10 = 3/0). Muestre que el resultado no tendría partes: una fracción con denominador 0 no dice en cuántas partes se partió la unidad. Los décimos quitados siguen siendo décimos.
- Creer que una fracción como 9/6 está mal escrita porque el numerador es mayor. Use dos tiras iguales: con seis sextos se completa una y sobran tres sextos en la otra.
- Para hallar lo que falta, restar del número 1 solo el numerador (1 − 3/8 = 2/8). Pida escribir primero la unidad con el mismo denominador: 8/8. Luego se restan octavos de octavos.
Tarea sugerida
En casa, partir una hoja en 8 franjas iguales. Colorear 3 de un color y 2 de otro, escribir la suma que muestra y lo que falta para completar la hoja.