Longitud y área
Lo que vas a aprender
- Elegir entre una unidad no estandarizada y una estandarizada según la precisión que pide la situación.
- Pasar una longitud de una unidad a otra (mm, cm, m, km) decidiendo si se multiplica o se divide.
- Calcular el área de rectángulos y de figuras hechas de rectángulos en cm² y m².
- Distinguir cuándo una situación pide el perímetro y cuándo el área.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Don Arturo va a cambiar el piso de la tienda. Necesita saber cuántas baldosas comprar y cuántos metros de guardaescoba van alrededor. Su hija mide la pared con cuartas y le dice «son como veinte cuartas». ¿Le sirve eso para ir a la ferretería?
En esta lección vas a decidir con qué unidad conviene medir cada cosa. Vas a pasar una medida de una unidad a otra sin equivocarte. Y vas a calcular áreas en cm² y en m², sin confundirlas con el perímetro.
Explicación
La cuarta o el metro
Abre la mano y estira los dedos. De la punta del pulgar a la punta del meñique hay una cuarta. Sirve para estimar rápido: «esta mesa mide unas seis cuartas». Pero tu cuarta es más corta que la de tu profesora. Si las dos miden la misma mesa, les dan números distintos.
Por eso existen las unidades estandarizadas: el metro, el centímetro, el milímetro y el kilómetro. Miden lo mismo en Pasto, en Leticia y en cualquier parte. Usa la cuarta o el paso cuando una idea aproximada basta. Usa la regla o la cinta métrica cuando hay que comprar, cortar o construir algo.
Cuatro unidades de longitud
- El milímetro (mm) es la rayita más pequeña de la regla. En 1 cm caben 10 mm. Sirve para cosas muy pequeñas: el grosor de una moneda o el largo de una hormiga.
- El centímetro (cm) sirve para un lápiz, un cuaderno o tu mano. En 1 m caben 100 cm.
- El metro (m) sirve para el salón, la cancha o una cuerda.
- El kilómetro (km) son 1000 m. Sirve para la distancia de tu casa a otro pueblo o el recorrido de la ruta del bus.
La unidad más conveniente es la que da un número fácil de leer. Nadie dice «la finca queda a 300 000 cm». Se dice «queda a 3 km».
¿Multiplico o divido?
Aquí está el error más común. Piensa en monedas. Si cambias un billete por monedas, te dan muchas monedas. Si cambias muchas monedas por billetes, te dan pocos billetes.
Con las medidas pasa lo mismo:
- De una unidad grande a una pequeña (de metros a centímetros), el número crece: se multiplica. 3 m son 300 cm.
- De una unidad pequeña a una grande (de centímetros a metros), el número se achica: se divide. 350 cm son 3 m y 50 cm.
Hay niños que pasan 350 cm a metros y escriben 35 000 m. ¡Eso son 35 km, más que el camino de la escuela al pueblo vecino! Antes de escribir el resultado, pregúntate: ¿la unidad nueva es más grande? Entonces el número tiene que salir más pequeño.
El área en cm² y en m²
El área dice cuánta superficie tiene una figura. En 3.º la medías contando cuadritos. Ahora los cuadritos tienen nombre. Un cuadrito de 1 cm de lado tiene un área de 1 cm² (se lee «un centímetro cuadrado»). Un cuadrado de 1 m de lado tiene un área de 1 m².
Para un rectángulo no hace falta contar uno por uno. Multiplicas el largo por el ancho: son las filas por las columnas de cuadritos. Los dos lados tienen que estar en la misma unidad.
¡Cuidado! 1 m² no son 100 cm²
Como 1 m son 100 cm, muchos creen que 1 m² son 100 cm². No es así. Un cuadrado de 1 m de lado mide 100 cm de largo y 100 cm de ancho. Tiene 100 filas de 100 cuadritos cada una. Eso da 10 000 cm². Lo verás en el ejemplo de las baldosas.
Área o perímetro
El perímetro es el borde: lo que mide la cinta que le da la vuelta a la figura. Se suma lo que miden todos los lados y se dice en cm o en m. El área es lo de adentro: los cuadritos que la cubren. Se dice en cm² o en m².
Para saber qué te piden, imagina el trabajo. ¿Vas a poner algo alrededor, como una cerca, un guardaescoba o una cinta? Es perímetro. ¿Vas a cubrir algo, como un piso con baldosas o una pared con pintura? Es área.
Figuras hechas de rectángulos
Muchos pisos no son un rectángulo: tienen forma de L o de escalera. Se parten con una línea en rectángulos. Se calcula el área de cada parte y se suman. Para el perímetro, en cambio, se recorre el borde de afuera y se suman sus lados. La línea que partió la figura no cuenta, porque queda adentro.
Ejemplo resuelto
La cinta de la cometa
Juliana tiene 350 cm de cinta para la cola de su cometa. ¿Cuántos metros son?
Ver la solución paso a paso
Pasamos de una unidad pequeña (cm) a una grande (m). El número tiene que achicarse: dividimos entre 100. Cada metro son 100 cm, así que miramos cuántas veces caben 100 cm en 350 cm. Caben 3 veces, y sobran 50 cm:
$$\left(3 \times 100\right) + 50 = 350$$
Son 3 m y 50 cm. Los 50 cm son la mitad de 100 cm: medio metro, que en decimal se escribe 0,5 m.
$$\frac{50}{100} = 0{,}5$$
Juntamos los 3 metros enteros y el medio metro:
$$3 + 0{,}5$$
Son $3{,}5$ m.
Si alguien multiplicara, le saldría un número enorme, mucho mayor que 350. Esa cinta no cabría en el patio:
$$350 \times 100 > 350$$
Respuesta: Son 3,5 m, o sea 3 m y 50 cm. De cm a m se divide entre 100.
La cinta de Juliana en la recta de los centímetros. Cada 100 cm se completa un metro. La cinta llega a 350 cm: tres metros enteros y la mitad de otro.
Ejemplo resuelto
La ruta del bus escolar
La ruta del bus recorre 4 km y 250 m desde la vereda hasta la escuela. ¿Cuántos metros son?
Ver la solución paso a paso
Pasamos de una unidad grande (km) a una pequeña (m). El número tiene que crecer: multiplicamos. Cada kilómetro son 1000 m:
$$4 \times 1000$$
Los 4 km son $4000$ m.
Les sumamos los 250 m que sobran:
$$4000 + 250$$
En total:
$$4250$$
Respuesta: La ruta recorre 4250 m. Para el bus conviene decir «4 km y 250 m»; los metros sirven para sumar con otras distancias.
Ejemplo resuelto
¿Cuántos cm² hay en 1 m²?
Para el piso de la tienda, don Arturo compra baldosas cuadradas de 50 cm de lado. ¿Cuántas cubren un cuadrado de 1 m de lado?
Ver la solución paso a paso
Primero pasamos el lado del metro cuadrado a centímetros. Es de grande a pequeña: multiplicamos.
$$1 \times 100$$
El lado mide $100$ cm.
El área del metro cuadrado es largo por ancho, los dos en cm:
$$100 \times 100$$
Son $10\,000$ cm², no 100 cm².
El área de una baldosa:
$$50 \times 50$$
Cada baldosa cubre $2500$ cm².
¿Cuántas baldosas caben en 1 m²? Repartimos el área grande entre la de una baldosa:
$$10\,000 \div 2500$$
Caben:
$$4$$
Lo comprobamos de otra forma: en 100 cm caben 2 baldosas de 50 cm por cada lado. Son 2 filas de 2 baldosas.
$$2 \times 2 = 4$$
Respuesta: Cubren el metro cuadrado 4 baldosas. Y 1 m² = 10 000 cm², porque son 100 filas de 100 cuadritos.
Un metro cuadrado partido en cuadros de 10 cm de lado: 10 filas de 10. Cada cuadro tiene 100 cm², así que entre todos suman 10 000 cm². Las líneas gruesas lo parten en las 4 baldosas de 50 cm.
Ejemplo resuelto
El piso en forma de L
El piso de la tienda tiene forma de L. Se parte en un rectángulo A de 8 m por 3 m y un rectángulo B de 3 m por 2 m, como en la figura. ¿Cuál es su área? ¿Y cuántos metros de guardaescoba van alrededor?
Ver la solución paso a paso
Para cubrir el piso se pide el área. Área del rectángulo A, largo por ancho:
$$8 \times 3$$
A tiene $24$ m².
Área del rectángulo B:
$$3 \times 2$$
B tiene $6$ m².
Sumamos las dos partes:
$$24 + 6$$
El piso tiene $30$ m².
El guardaescoba va alrededor: es el perímetro. Primero buscamos los dos lados de 5 m: el alto del piso son los 3 m de A más los 2 m de B, y arriba, al lado de B, quedan los 8 m de A menos los 3 m de B.
$$3 + 2 = 5 \quad\text{y}\quad 8 - 3 = 5$$
Recorremos el borde de afuera, lado por lado. La línea punteada no cuenta.
$$8 + 3 + 5 + 2 + 3 + 5$$
El borde mide $26$ m.
Respuesta: El piso tiene 30 m² de área y 26 m de borde. El área va en m² y el perímetro en m: no se pueden comparar ni sumar.
El piso de la tienda en forma de L. La línea punteada lo parte en el rectángulo A, de 8 m por 3 m, y el rectángulo B, de 3 m por 2 m.
Práctica
Una tabla mide 450 cm de largo. ¿Cuántos metros mide?
De cm a m la unidad crece, así que el número se achica: se divide entre 100. En 450 cm caben 4 metros (400 cm) y sobran 50 cm, que son medio metro: 0,5 m. Son 4 m y 50 cm, o sea 4,5 m. 45 000 sale de multiplicar, y es un error: sería una tabla de 45 000 m.
La finca del abuelo queda a 6 km del pueblo. ¿Cuántos metros son?
De km a m la unidad se achica, así que el número crece: se multiplica por 1000. 6 × 1000 = 6000 m.
Un tornillo mide 120 mm. ¿Cuántos centímetros mide?
En 1 cm caben 10 mm. De mm a cm se divide entre 10: 120 ÷ 10 = 12 cm.
Mateo mide 1 m y 38 cm. ¿Cuántos centímetros mide?
El metro son 100 cm. Le sumamos los 38 cm: 100 + 38 = 138 cm.
Una hoja de cuaderno mide 28 cm de largo y 21 cm de ancho. ¿Cuántos cm² tiene su área?
El área del rectángulo es largo por ancho: 28 × 21 = 588 cm².
La huerta de la escuela es un rectángulo de 9 m por 6 m. ¿Cuántos metros de malla se necesitan para cercarla?
La malla va alrededor: es el perímetro. 9 + 6 + 9 + 6 = 30 m. Si multiplicas 9 × 6 = 54, calculas el área (54 m²), que sirve para saber cuánta tierra hay que abonar, no para la cerca.
Andrés dice que un cuadrado de 1 m de lado, que mide 100 cm por cada lado, tiene 100 cm² de área. ¿Tiene razón?
100 × 100 = 10 000. Son 100 filas de 100 cuadritos de 1 cm². Por eso 1 m² = 10 000 cm², no 100 cm².
El salón tiene forma de L: un rectángulo de 7 m por 5 m pegado a otro de 4 m por 2 m. ¿Cuántos m² tiene su piso?
Se calcula cada parte y se suman: 7 × 5 = 35 m² y 4 × 2 = 8 m². En total, 35 + 8 = 43 m².
¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado cubren 1 m² de piso?
El metro cuadrado mide 100 cm por 100 cm: 10 000 cm². Cada baldosa tiene 20 × 20 = 400 cm². 10 000 ÷ 400 = 25. También: en 100 cm caben 5 baldosas por lado, y 5 filas de 5 son 25.
¿Con qué unidad conviene decir la distancia entre Tunja y Bogotá?
Entre dos ciudades hay muchísimos metros. En km el número es corto y fácil de leer. En mm o cm saldría un número gigante, y las cuartas cambian de una persona a otra.
Sara va a comprar el vidrio para la ventana de su cuarto. ¿Cómo debe medir el hueco?
El vidrio se corta a la medida: si queda corto, no sirve. Hace falta una unidad estandarizada y precisa, como el cm y el mm. La cuarta y el paso solo sirven para estimar.
Reto
¿Alrededor o encima?
Imagina el trabajo. Si algo va alrededor, es perímetro. Si algo cubre, es área.
Reto
Abre el candado de las medidas.
Cada pista da una cifra. Antes de responder, piensa si multiplicas o divides.
Cierre
En resumen
La cuarta y el paso sirven para estimar; para comprar, cortar o construir se usan unidades estandarizadas.
1 cm = 10 mm, 1 m = 100 cm y 1 km = 1000 m.
De una unidad grande a una pequeña se multiplica; de una pequeña a una grande se divide.
El área de un rectángulo es largo por ancho, en cm² o m², y 1 m² = 10 000 cm².
El perímetro es el borde (en m o cm) y el área es lo de adentro (en m² o cm²).
Vocabulario
- Unidad estandarizada
Una unidad que mide lo mismo en todas partes, como el metro o el centímetro. Tu cuarta y la de tu papá no miden lo mismo; un metro sí.
- Milímetro (mm)
La rayita más pequeña de la regla. En 1 cm caben 10 mm.
- Kilómetro (km)
Una longitud de 1000 metros. Sirve para medir caminos y distancias entre pueblos.
- Centímetro cuadrado (cm²)
El área de un cuadrito de 1 cm de lado.
- Metro cuadrado (m²)
El área de un cuadrado de 1 m de lado. Adentro caben 10 000 cuadritos de 1 cm².
- Perímetro
La longitud del borde de una figura: lo que mide la cinta que le da la vuelta. Se mide en cm o en m.
- Área
Lo que mide la superficie de una figura: cuántos cuadritos la cubren. Se mide en cm² o en m².
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a tres estudiantes medir el tablero con cuartas y anote los tres resultados. Pregunte por qué no coinciden y si con eso se podría comprar un marco.
- Explicación · 15 min — Las cuatro unidades con la regla y la cinta métrica a la vista; la regla de las monedas para multiplicar o dividir; el metro cuadrado armado en el piso con cinta de enmascarar y hojas o cuadros de 10 cm; el piso en L.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Las cestas y el candado en parejas: uno dice si multiplica o divide antes de que el otro calcule.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una situación de perímetro y otra de área en el colegio, y la otra pareja las clasifica.
Preguntas para el salón
- Si pasan de metros a centímetros, ¿el número sale más grande o más pequeño? ¿Por qué?
- ¿Por qué 1 m² no son 100 cm²? Muéstrenlo con el cuadrado del piso.
- ¿Cuándo basta con la cuarta y cuándo hace falta la cinta métrica?
Errores típicos
- Multiplicar cuando hay que dividir al pasar de una unidad pequeña a una grande (350 cm = 35 000 m). Pida decir primero si la unidad nueva es más grande o más pequeña, y si el número debe crecer o achicarse. Luego que revisen si el resultado tiene sentido.
- Creer que 1 m² son 100 cm². Arme en el piso un cuadrado de 1 m de lado y cubra una fila con cuadros de 10 cm: caben 10 por fila y hay 10 filas, cada cuadro de 100 cm².
- Confundir área y perímetro, o escribir el área en m y el perímetro en m². Pregunte siempre «¿va alrededor o cubre?». Pida que escriban la unidad junto a cada resultado.
- Multiplicar lados en unidades distintas (un lado en m y otro en cm). Pida pasar los dos lados a la misma unidad antes de multiplicar.
- Contar en el perímetro de una figura en L la línea que la parte por dentro. Pida repasar con el dedo solo el borde de afuera, lado por lado, antes de sumar.
Tarea sugerida
Medir con cinta métrica el largo y el ancho de una habitación de la casa o del patio (con un adulto). Calcular el área en m² y el perímetro en m, y escribir para qué serviría cada uno.