La razón: la limonada de don Diego
Lo que vas a aprender
- Calcular cuánto de cada ingrediente lleva una receta más grande o más pequeña para que conserve el sabor.
- Decidir si dos mezclas tienen el mismo sabor comparando lo que lleva cada una «por cada» unidad.
- Escribir una razón como fracción y reconocer razones equivalentes.
- Explicar por qué sumar lo mismo a los dos ingredientes cambia el sabor.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el pueblo, las limonadas de don Diego son famosas. Quien las prueba las reconoce en cualquier parte. Don Diego no le cuenta a nadie su secreto. Solo se sabe lo que echa en cada litro de agua.
Un día, su vecino Carlos quiso imitarla. Hizo una jarra más grande y le quedó con otro sabor. ¿Qué hizo mal?
En esta lección vas a aprender a agrandar una receta sin dañar el sabor. Te va a servir en la cocina, en la tienda y cada vez que dos cantidades tengan que ir juntas.
Explicación
La receta de don Diego
Para un litro de agua, don Diego echa seis limones y tres cucharadas de azúcar.
Si quiere hacer dos litros, ¿qué hace? Echa dos veces la receta: dos veces seis limones y dos veces tres cucharadas. Con tres litros, tres veces cada cosa.
| Agua (litros) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Limones | 6 | 12 | 18 | 24 |
| Cucharadas de azúcar | 3 | 6 | 9 | 12 |
Mira la tabla. Cuando el agua se duplica, los limones se duplican. Cuando el agua se triplica, el azúcar se triplica. Las tres cantidades cambian juntas. Se dice que covarían.
La regla es: lo que le haces a una, se lo haces a las otras. Si multiplicas el agua por un número, multiplicas los limones y el azúcar por el mismo número.
La receta de don Diego para 1, 2 y 3 litros de agua. Azul: limones. Rojo: cucharadas de azúcar. Las dos barras crecen juntas, y la roja siempre es la mitad de la azul.
Ejemplo resuelto
Don Diego tiene 18 limones
Don Diego echa 6 limones y 3 cucharadas de azúcar por cada litro de agua. Hoy tiene 18 limones y los quiere usar todos. ¿Cuánta agua y cuánta azúcar necesita para que su limonada sepa igual?
Ver la solución paso a paso
Cada litro lleva 6 limones. Vemos cuántos grupos de 6 caben en 18:
$$18 \div 6$$
Caben $3$ grupos. Entonces necesita 3 litros de agua.
Cada litro lleva 3 cucharadas. Con 3 litros:
$$3 \times 3$$
Son $9$ cucharadas de azúcar.
Revisamos: en cada uno de los 3 litros van 6 limones.
$$3 \times 6 = 18$$
Respuesta: Necesita 3 litros de agua y 9 cucharadas de azúcar. Es la receta multiplicada por 3.
La razón: «por cada»
Hay una forma corta de decir la receta: por cada 6 limones, 3 cucharadas de azúcar. Esa comparación entre dos cantidades que van juntas se llama razón.
La razón se puede escribir como fracción. La razón de cucharadas a limones se escribe $\frac{3}{6}$: 3 cucharadas por cada 6 limones. Arriba las cucharadas, abajo los limones. Ojo: aquí la fracción no es un pedazo de algo. Compara dos cosas distintas.
Ya sabes que $\frac{3}{6}$ es equivalente a $\frac{1}{2}$. Eso quiere decir que por cada 2 limones va 1 cucharada. Las cucharadas son la mitad de los limones. Y también $\frac{6}{12}$ y $\frac{9}{18}$ son equivalentes: son las jarras de 2 y de 3 litros.
Dos mezclas tienen el mismo sabor cuando sus razones son equivalentes.
Ejemplo resuelto
La limonada de Carlos
Carlos preparó limonada con 2 jarras de agua de un litro cada una, 10 limones y 6 cucharadas de azúcar. ¿Sabe igual que la de don Diego?
Ver la solución paso a paso
Con 2 litros, don Diego echaría la receta dos veces. Los limones serían:
$$2 \times 6$$
Son $12$ limones.
Carlos echó menos limones de los que hacían falta.
$$10 < 12$$
Le faltaron:
$$12 - 10$$
Faltaron $2$ limones.
El azúcar de 2 litros sería dos veces 3 cucharadas:
$$2 \times 3$$
Son $6$ cucharadas, justo las que echó Carlos. El azúcar sí está bien.
Respuesta: No sabe igual. El azúcar está bien, pero le faltan 2 limones: sabe menos a limón y se siente más dulce.
El error de sumar
Sara hace limonada con 2 limones y 3 vasos de agua. Le queda rica. Ahora quiere más, y su primo le da una idea: «Échale 2 limones más y 2 vasos más. Así le sumas lo mismo a todo».
Parece justo, pero no lo es. Sumar lo mismo a las dos cantidades cambia la razón. Para que el sabor no cambie hay que multiplicar, no sumar. Si los limones se duplican, el agua también se duplica.
Piensa en algo exagerado. Empiezas con 1 limón y 3 vasos de agua: tres vasos por cada limón. Si le sumas 10 a cada cosa, pasas a 11 limones y 13 vasos. ¡Ahora no alcanzan ni dos vasos para cada limón! Queda mucho más ácida.
Con la multiplicación no pasa eso. Si multiplicas por 10, tienes 10 limones y 30 vasos: otra vez tres vasos por cada limón.
Ejemplo resuelto
La limonada de Sara
Sara usa 2 limones con 3 vasos de agua. Ahora tiene 4 limones. Su primo le dice que eche 5 vasos de agua, porque a los limones les sumó 2. ¿Está en lo cierto?
Ver la solución paso a paso
Primero miramos cuántas veces creció la cantidad de limones:
$$4 \div 2$$
Los limones se duplicaron: $2$ veces.
Entonces el agua también se duplica:
$$2 \times 3$$
Hacen falta $6$ vasos de agua.
Con 5 vasos queda menos agua de la que hace falta.
$$5 < 6$$
Con 6 vasos, la razón de limones a vasos es equivalente a la de antes:
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$
Respuesta: El primo se equivoca. Con 4 limones van 6 vasos de agua. Con 5 vasos la limonada queda más ácida.
¿Y si las cucharas son distintas?
Una receta dice «tres cucharadas», pero no todas las cucharas son iguales. Si Carlos usa una cuchara sopera, más grande que la de don Diego, sus tres cucharadas llevan más azúcar. Su limonada quedaría más dulce, aunque haga todo lo demás bien.
Por eso, para copiar una receta hay que medir con lo mismo: la misma cuchara, o una cuchara medidora, o una balanza.
Para revisar si dos mezclas saben igual, pregúntate siempre:
- ¿Cuánto lleva cada una por cada litro, o por cada vaso?
- ¿Las dos cantidades crecieron multiplicando por el mismo número?
Práctica
Don Diego va a preparar 4 litros de limonada. Por cada litro de agua echa 6 limones. ¿Cuántos limones necesita?
La receta de un litro se repite 4 veces: 4 × 6 = 24 limones.
Don Diego echó 12 cucharadas de azúcar en una olla. Por cada litro de agua echa 3 cucharadas. ¿Cuántos litros de agua tiene la olla?
Cada litro lleva 3 cucharadas. En 12 cucharadas caben 12 ÷ 3 = 4 grupos de 3: son 4 litros.
Por cada 6 limones, don Diego echa 3 cucharadas de azúcar. Para la fiesta del colegio usa 30 limones. ¿Cuántas cucharadas de azúcar echa?
En 30 limones hay 30 ÷ 6 = 5 grupos de 6. Cada grupo lleva 3 cucharadas: 5 × 3 = 15 cucharadas.
La limonada de Carlos tiene 2 litros de agua y 10 limones. Don Diego echa 6 limones por cada litro. ¿Cuántos limones más tiene que echar Carlos para que sepa como la de don Diego?
Con 2 litros hacen falta 2 × 6 = 12 limones. Carlos tiene 10, así que le faltan 12 − 10 = 2.
Pedro hacía limonada con 2 limones y 3 vasos de agua. Le sumó 2 a cada cosa: ahora usa 4 limones y 5 vasos. Dice que la razón de limones a vasos no cambió, o sea, $\frac{2}{3} = \frac{4}{5}$. ¿Está en lo cierto?
Sumar lo mismo a las dos cantidades cambia la razón. Con 4 limones, el sabor de antes pide el doble de agua: 6 vasos. Con 5 vasos queda más ácida.
Un jugo de mandarina lleva 1 mandarina por cada 2 vasos de agua. Para el paseo hay que llenar 8 vasos con el mismo sabor. ¿Cuántas mandarinas van?
Los vasos pasan de 2 a 8: se multiplican por 4. Las mandarinas también: 1 × 4 = 4. Quien responde 7 sumó 6 a cada cosa, como el primo de Sara, y el jugo quedaría muy fuerte.
Don Diego echa 3 cucharadas por cada 6 limones. La razón de cucharadas a limones es $\frac{3}{6}$. ¿Cuál de estas fracciones es equivalente y dice lo mismo con números más pequeños?
Dividimos arriba y abajo entre 3: un medio. Quiere decir que por cada 2 limones va 1 cucharada. El 2 es la razón al revés: limones por cada cucharada.
Una jarra tiene 18 limones y 9 cucharadas de azúcar. Su razón de cucharadas a limones es equivalente a la de don Diego, que echa 3 cucharadas por cada 6 limones: $\frac{9}{18} = \frac{3}{6}$.
Las dos fracciones valen un medio: en las dos jarras las cucharadas son la mitad de los limones. Es la jarra de 3 litros de don Diego.
Carlos copia la receta de don Diego al pie de la letra, pero usa una cuchara sopera, más grande que la de don Diego. ¿Cómo queda su limonada?
Contar cucharadas solo sirve si las cucharas son iguales. Con una cuchara más grande entra más azúcar en cada una, y la limonada queda más dulce.
A una jarra de la limonada de don Diego le echan un litro más de agua, y nada más. ¿Qué pasa con el sabor?
La razón cambió: ahora hay menos limón y menos azúcar por cada litro. Para conservar el sabor habría que echar también 6 limones y 3 cucharadas más.
Reto
Completa las instrucciones de don Diego.
Por cada litro de agua: 6 limones y 3 cucharadas de azúcar. Multiplica por los litros.
Reto
Abre el candado de la limonada.
Cada pregunta da una cifra. Piensa «por cada».
Reto
Une cada razón con otra equivalente, que da el mismo sabor.
Multiplica o divide arriba y abajo por el mismo número.
Cierre
En resumen
Dos cantidades covarían cuando cambian juntas, como los limones y el agua de una limonada.
Una razón compara dos cantidades con «por cada», y se puede escribir como fracción.
Para agrandar una receta sin cambiar el sabor, se multiplican todos los ingredientes por el mismo número.
Sumar lo mismo a los dos ingredientes cambia la razón y cambia el sabor.
Dos mezclas saben igual cuando sus razones son equivalentes, medidas con la misma cuchara.
Vocabulario
- Covariar
Cambiar juntas. Los limones y el agua de una limonada covarían: si echas más agua, tienes que echar más limones.
- Razón
La comparación de dos cantidades que van juntas, dicha con «por cada»: 2 limones por cada 3 vasos de agua. Se puede escribir como fracción: 2/3.
- Razones equivalentes
Razones que dan el mismo sabor o la misma mezcla, como 2 limones por cada 3 vasos y 4 limones por cada 6 vasos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lea la historia de don Diego y de Carlos. Pregunte quién cree que la limonada de Carlos sabe igual y por qué. Anote las ideas sin corregir.
- Explicación · 15 min — Arme la receta con fichas en el escritorio: tapas amarillas para los limones, tapas blancas para las cucharadas y vasos de papel vacíos para los litros. Duplique y triplique la receta con las fichas. Después, la razón como fracción y el error de sumar.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos, el candado y el dominó en parejas: uno dice la receta «por cada» y el otro la arma con fichas.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa la receta de un jugo para 1 jarra y escribe cómo quedaría para 4 jarras.
Preguntas para el salón
- Si duplico el agua, ¿qué tengo que hacer con los limones? ¿Y con el azúcar?
- ¿Por qué no sirve sumar 2 limones y 2 vasos para conservar el sabor?
- ¿Qué quiere decir la fracción 3/6 en la receta de don Diego? ¿Es un pedazo de algo?
- Si cada persona usa su propia cuchara, ¿todas las limonadas saben igual?
Errores típicos
- Sumar lo mismo a los dos ingredientes (de 2 limones y 3 vasos pasar a 4 limones y 5 vasos). Arme la mezcla con fichas en grupos «por cada»: 2 limones con 3 vasos es un grupo. Pida hacer dos grupos completos. Se ve que con 4 limones van 6 vasos.
- Cambiar solo un ingrediente al agrandar la receta (echar el doble de agua y los mismos limones). Use la regla «lo que le haces a una, se lo haces a las otras». Pida revisar cada ingrediente de la tabla, uno por uno.
- Leer la razón al revés (2 en vez de 1/2 para la razón de cucharadas a limones). Pida decir en voz alta qué va arriba y qué va abajo: «cucharadas a limones» pone las cucharadas arriba.
- Creer que una razón es un pedazo de un entero, como en la fracción de una torta. Muestre que 3/6 compara cucharadas con limones, que son cosas distintas. No hay un entero partido.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en la casa una receta (un jugo, una colada, un arroz) y escribir cuánto llevaría cada ingrediente si se hiciera el doble y el triple. Sin usar la estufa ni cuchillos: solo se lee la receta y se hacen las cuentas.