Proporcionalidad directa
Lo que vas a aprender
- Completar tablas de dos cantidades directamente proporcionales duplicando, triplicando o partiendo por la mitad.
- Llevar una receta de 20 personas a 30 personas y expresar algunos ingredientes en libras.
- Reconocer que dos cantidades que crecen juntas no siempre son proporcionales.
- Proponer instrumentos para medir los ingredientes con más precisión.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda, si una arepa cuesta un precio, dos arepas cuestan el doble. En la cocina, si una receta alcanza para pocas personas y llegan más invitados, hay que agrandarla.
Pero no todo funciona así. Tu hermano mayor te lleva unos años. Cuando tú tengas el doble de tu edad, ¿él también tendrá el doble de la suya?
En esta lección vas a aprender a reconocer cuándo dos cantidades crecen «a la par» y a usar eso para hacer cuentas rápidas en la tienda y en la cocina.
Explicación
El doble con el doble
En la tienda de doña Marta, cada arepa cuesta lo mismo. Mira la tabla:
| Arepas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Precio (pesos) | 1500 | 3000 | 4500 | 6000 | 7500 | 9000 |
Si compras el doble de arepas, pagas el doble. Si compras el triple, pagas el triple. Y si compras la mitad, pagas la mitad. Cuando dos cantidades cambian así, se dice que son directamente proporcionales.
Esto sirve para calcular sin empezar de cero. Si ya sabes cuánto cuestan 3 arepas, el precio de 6 es el doble de ese precio.
El precio de las arepas de doña Marta. Cada arepa más sube el precio en 1500 pesos. La barra de 6 arepas es el doble de alta que la de 3.
Ejemplo resuelto
Las arepas de doña Marta
Una arepa cuesta 1500 pesos. ¿Cuánto cuestan 2 arepas? ¿Y 3? ¿Y 6?
Ver la solución paso a paso
Dos arepas cuestan el doble de una:
$$2 \times 1500$$
Son $3000$ pesos.
Tres arepas cuestan el triple de una:
$$3 \times 1500$$
Son $4500$ pesos.
Seis arepas son el doble de tres. Su precio es el doble de 4500:
$$2 \times 4500$$
Son $9000$ pesos.
Revisamos con el precio de una: seis veces 1500 da lo mismo.
$$6 \times 1500 = 9000$$
Respuesta: Dos arepas cuestan 3000 pesos, tres cuestan 4500 y seis cuestan 9000.
Crecer juntas no basta
Mucha gente piensa así: «si una cantidad aumenta y la otra también, son proporcionales». No es cierto. Hay que mirar cuánto aumentan.
Lucía y su hermano Tomás cumplen años el mismo día. Cada año, los dos suman un año. Sus edades crecen juntas, pero suman lo mismo, no se multiplican por lo mismo. Cuando Lucía duplica su edad, Tomás no duplica la suya.
Para saber si dos cantidades son directamente proporcionales, haz esta prueba: duplica una y mira si la otra se duplica. Si no se duplica, no son proporcionales.
Con la edad y la estatura pasa algo parecido. Un niño crece mientras cumple años, pero no crece lo mismo cada año, y un día deja de crecer. Un señor de 40 años no mide el doble que cuando tenía 20.
Las edades de Lucía (azul) y de Tomás (rojo) en cuatro cumpleaños seguidos. Las dos barras suben 1 cada año. Al principio la roja es el doble de la azul; después ya no.
Ejemplo resuelto
Las edades de Lucía y Tomás
Cuando Lucía tenía 3 años, Tomás tenía 6: el doble. Ahora Lucía tiene 6 años. ¿Cuántos años tiene Tomás? ¿Sigue teniendo el doble de la edad de Lucía?
Ver la solución paso a paso
Primero vemos cuántos años han pasado:
$$6 - 3$$
Pasaron $3$ años, para los dos.
Tomás también cumplió esos años:
$$6 + 3$$
Tomás tiene $9$ años.
Si las edades fueran proporcionales, Tomás tendría el doble de 6:
$$2 \times 6$$
Serían $12$ años.
Pero Tomás tiene menos que eso.
$$9 < 12$$
Respuesta: Tomás tiene 9 años, no 12. La edad de Lucía se duplicó y la de Tomás no: las edades crecen juntas, pero no son proporcionales.
La torta para más personas
Esta es una receta inventada de torta de vainilla para 20 personas:
| Ingrediente | Para 20 personas |
|---|---|
| Harina | 2000 g |
| Azúcar | 1000 g |
| Mantequilla | 500 g |
| Huevos | 8 |
| Leche | 600 mL |
| Esencia de vainilla | 4 cucharaditas |
Las personas y cada ingrediente son directamente proporcionales: el doble de personas pide el doble de cada cosa.
¿Y para 30 personas? Treinta no es el doble de veinte. Pero hay un truco. Primero busca la receta para 10 personas, que es la mitad de 20: divide entre 2. Después, como 30 es el triple de 10, multiplica por 3.
Otra forma: 30 personas son 20 personas más 10. Entonces la receta para 30 es la de 20 más la mitad de la de 20.
En la tienda, el azúcar, la harina y la mantequilla se venden por libras. Una libra son 500 gramos.
Ejemplo resuelto
La torta para 30 personas
La receta para 20 personas lleva 1000 g de azúcar y 8 huevos. ¿Cuánta azúcar y cuántos huevos hacen falta para 30 personas? ¿Cuántas libras de azúcar son?
Ver la solución paso a paso
Primero, la receta para la mitad de las personas:
$$20 \div 2$$
Es la receta para $10$ personas.
Y 30 personas son el triple de 10.
$$3 \times 10 = 30$$
Azúcar para 10 personas, la mitad de 1000 g:
$$1000 \div 2$$
Son $500$ gramos.
Para 30 personas, el triple:
$$3 \times 500$$
Son $1500$ gramos de azúcar.
Cada libra tiene 500 gramos. Contamos cuántas libras caben:
$$1500 \div 500$$
Son $3$ libras.
Huevos para 10 personas, la mitad de 8:
$$8 \div 2$$
Son $4$ huevos.
Para 30 personas, el triple de 4:
$$3 \times 4$$
Son $12$ huevos.
Respuesta: Para 30 personas hacen falta 1500 g de azúcar, que son 3 libras, y 12 huevos.
Medir bien los ingredientes
Agrandar la receta no sirve de nada si se mide mal. «Un vaso de leche» puede ser mucho o poco: hay vasos grandes y pequeños. Para que la torta salga igual, cada ingrediente se mide con un instrumento que tenga marcas:
- La leche, con una jarra medidora que marque los mililitros.
- La harina y el azúcar, con una gramera o una balanza de cocina.
- La esencia de vainilla, que es muy poquita, con una cucharadita medidora.
Con la libra se compra en la tienda. Con la gramera se mide en la casa lo que va en la receta.
Práctica
En la papelería, un cuaderno cuesta 3200 pesos. ¿Cuánto cuestan 4 cuadernos iguales?
Cuatro cuadernos cuestan cuatro veces el precio de uno: 4 × 3200 = 12 800 pesos.
En el mercado, 3 kilos de papa cuestan 4500 pesos. ¿Cuánto cuestan 6 kilos de la misma papa?
Seis kilos son el doble de tres. Entonces el precio es el doble: 2 × 4500 = 9000 pesos.
La receta de la torta para 20 personas lleva 600 mL de leche. ¿Cuántos mililitros de leche hacen falta para 30 personas?
Para 10 personas, la mitad: 600 ÷ 2 = 300 mL. Para 30 personas, el triple: 3 × 300 = 900 mL.
La receta para 20 personas lleva 500 g de mantequilla. Una libra son 500 g. ¿Cuántas libras de mantequilla lleva la receta para 30 personas? Escribe la respuesta como fracción.
Para 10 personas, 250 g; para 30, el triple: 750 g. Eso es una libra (500 g) y media libra (250 g): tres medios de libra.
Cuando Ana tenía 5 años, su hermano Felipe tenía 10. ¿Cuántos años tendrá Felipe cuando Ana tenga 10?
De 5 a 10 años pasan 5 años, y Felipe también los cumple: 10 + 5 = 15. Quien responde 20 creyó que las edades son proporcionales, pero las edades suman lo mismo cada año, no se duplican.
En la frutería, 5 bananos cuestan 2000 pesos. ¿Cuánto cuestan 15 bananos?
Quince bananos son el triple de cinco. El precio también se triplica: 3 × 2000 = 6000 pesos.
En la rifa del salón, 2 boletas cuestan 6000 pesos y 3 boletas cuestan 9000 pesos. ¿Cuánto cuestan 5 boletas?
Una boleta cuesta la mitad de 6000: 3000 pesos. Cinco boletas cuestan 5 × 3000 = 15 000 pesos. El 30 000 sale de multiplicar el precio de dos boletas por 5, como si fueran cinco parejas.
En la tienda, 4 lápices cuestan 2400 pesos. Juan dice que 8 lápices iguales cuestan 4800 pesos. ¿Es verdad?
Ocho lápices son el doble de cuatro, así que cuestan el doble: 2 × 2400 = 4800 pesos.
Sofía tiene 10 años y mide 140 cm. Su primo dice que a los 20 años medirá el doble: 280 cm. ¿Tiene razón?
La edad y la estatura crecen juntas un tiempo, pero no son proporcionales. Una persona crece cada vez menos y un día deja de crecer. Nadie mide 280 cm.
¿En cuál de estas situaciones las dos cantidades son directamente proporcionales?
Si compras el doble de panes, pagas el doble. En las otras situaciones, duplicar una cantidad no duplica la otra.
Para la torta hay que echar 900 mL de leche. ¿Con qué se mide con más precisión?
La jarra medidora tiene marcas en mililitros, así que se puede llegar justo a 900 mL. Los pocillos cambian de tamaño, y contar cucharadas para tanta leche es lento y se pierde la cuenta.
Reto
¿Proporcional o no?
Duplica una de las cantidades en tu cabeza. ¿La otra se duplica también?
Reto
Completa la tabla del arroz.
Si las libras se duplican, el precio se duplica.
Reto
Abre el candado de la tienda.
Cada pregunta da una cifra. Busca el doble, el triple o la mitad.
Cierre
En resumen
Dos cantidades son directamente proporcionales si, cuando una se duplica, se triplica o se parte por la mitad, la otra hace lo mismo.
En una tabla de valores proporcionales se puede calcular un valor nuevo desde otro que ya se conoce, sin empezar de cero.
Que dos cantidades crezcan juntas no basta; las edades de dos hermanos suman lo mismo cada año y no son proporcionales.
Para pasar una receta de 20 a 30 personas, se busca la de 10 (la mitad) y se multiplica por 3.
Los ingredientes se miden con más precisión con instrumentos que tienen marcas, como la jarra medidora y la gramera.
Vocabulario
- Directamente proporcionales
Dos cantidades que cambian así: si una se duplica, la otra se duplica; si una se triplica, la otra se triplica; si una se parte por la mitad, la otra también.
- Tabla de valores
Una tabla con dos filas, una para cada cantidad, donde cada columna muestra dos valores que van juntos.
- Precisión
Qué tan cerca queda una medida de la cantidad que se quiere. Una jarra con marcas en mililitros mide la leche con más precisión que un pocillo cualquiera.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte a dos estudiantes su edad y la de un hermano o primo mayor. Pregunte: «cuando tú tengas el doble de años, ¿él tendrá el doble?». Recoja las respuestas sin corregir.
- Explicación · 15 min — La tabla de las arepas en el tablero, con flechas de «× 2» y «× 3» entre columnas. La prueba de duplicar con las edades de Lucía y Tomás. La receta de la torta de 20 a 30 personas pasando por 10.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Las cestas, los huecos y el candado en parejas: uno propone una pareja de cantidades y el otro hace la prueba de duplicar.
- Cierre · 5 min — Si hay jarra medidora y gramera en el colegio, muéstrelas con agua y con un paquete cerrado de arroz, y pida decir qué ingrediente de la torta mediría cada una. El docente maneja los instrumentos; no se usa la estufa ni el horno.
Preguntas para el salón
- ¿Cómo saben, sin hacer toda la cuenta, cuánto cuestan 6 arepas si ya saben cuánto cuestan 3?
- Sus edades y las de sus hermanos crecen juntas. ¿Por qué no son proporcionales?
- ¿Por qué para pasar de 20 a 30 personas conviene pasar primero por 10?
- ¿Qué pasa con la torta si cada quien mide la leche con un vaso distinto?
Errores típicos
- Creer que si las dos cantidades aumentan, ya son proporcionales. Pida siempre la prueba de duplicar. Con las edades de dos hermanos se ve que la edad del menor se duplica y la del mayor no.
- Sumar en vez de multiplicar al completar la tabla (si 1 libra cuesta 2500 y 2 libras cuestan 5000, creer que 4 libras cuestan 7500, sumando el precio de una libra más en vez de duplicar). Pregunte cuántas veces creció la primera cantidad. Si creció dos veces, la segunda también crece dos veces.
- Al pasar de 20 a 30 personas, sumar 10 a cada ingrediente (8 huevos pasan a 18). Pida primero la receta para 10 personas (la mitad) y después juntar 3 grupos de 10. Con los huevos se ve que salen 12.
- Confundir la libra con el kilo al pasar los gramos. Recuerde que la libra es de 500 g y el kilo de 1000 g. Dos libras hacen un kilo.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en una bolsa o caja de la cocina cuántos gramos trae (arroz, azúcar, panela) y decir cuántas libras son. Después, escribir una tabla con el precio de 1, 2, 3 y 6 unidades de algo que se compre en la tienda del barrio, con un precio inventado.