Proporcionalidad inversa
Lo que vas a aprender
- Completar tablas de dos cantidades inversamente proporcionales con resultados naturales.
- Usar que el producto de las dos cantidades se mantiene para hallar un valor que falta.
- Distinguir situaciones de proporcionalidad directa, inversa y de ninguna de las dos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La junta de acción comunal va a pintar el salón del barrio. Si llegan más vecinos a ayudar, terminan antes. En el recreo, si hay más niños para repartir una bolsa de manzanas, a cada uno le tocan menos.
En la lección anterior viste cantidades que crecen a la par: el doble con el doble. Aquí vas a ver cantidades que hacen lo contrario: cuando una crece, la otra se achica de una forma muy especial.
Explicación
Más niños, menos para cada uno
La profesora trae 24 manzanas y las reparte por partes iguales. Mira cuánto recibe cada niño según cuántos niños haya:
| Niños | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Manzanas para cada uno | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 |
Cuando los niños pasan de 2 a 4, se duplican. Y las manzanas de cada uno pasan de 12 a 6: se reducen a la mitad. Cuando los niños pasan de 2 a 6, se triplican, y cada uno recibe la tercera parte, o un tercio: de 12 a 4.
Cuando dos cantidades cambian así, se dice que son inversamente proporcionales.
Fíjate en algo más. Multiplica los dos números de cada columna: 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6. Siempre da 24, que son todas las manzanas. El producto se mantiene. Eso sirve para hallar cualquier valor de la tabla.
Las 24 manzanas repartidas entre 2 niños: 12 para cada uno.
Las mismas 24 manzanas entre 4 niños: 6 para cada uno. El doble de niños, la mitad para cada uno.
Ejemplo resuelto
Las manzanas del recreo
La profesora reparte 24 manzanas por partes iguales. ¿Cuántas recibe cada uno si son 2 niños? ¿Y si son 4? ¿Y si son 3?
Ver la solución paso a paso
Con 2 niños:
$$24 \div 2$$
Cada uno recibe $12$ manzanas.
Con 4 niños, el doble de niños:
$$24 \div 4$$
Cada uno recibe $6$: la mitad de 12.
Con 3 niños:
$$24 \div 3$$
Cada uno recibe $8$ manzanas.
Revisamos: niños por manzanas de cada uno da siempre el total.
$$2 \times 12 = 4 \times 6$$
Respuesta: Con 2 niños, 12 manzanas para cada uno; con 4 niños, 6; con 3 niños, 8.
Las 24 manzanas en filas, una fila por niño. Arrastra la esquina: con 2 niños van 12 en cada fila; con 4 niños, 6. Más niños, menos manzanas para cada uno.
El error del doble
Dos pintores pintan el salón comunal en 6 días. Si llegan 4 pintores, ¿cuántos días tardan? Mucha gente responde «12 días», porque ve que los pintores se duplicaron y duplica también los días.
¡Pero con más manos el trabajo se acaba antes! Si los pintores se duplican, los días se reducen a la mitad. Cuando una cantidad sube y la otra baja, no se puede duplicar las dos.
Para que esto funcione, todos tienen que trabajar al mismo ritmo y no estorbarse.
Hay una forma de pensarlo. Dos pintores durante 6 días es como un solo pintor durante 12 días: 2 × 6 = 12. Ese trabajo total no cambia, lo haga quien lo haga.
Ejemplo resuelto
Los pintores del salón comunal
Dos pintores pintan el salón comunal en 6 días, trabajando al mismo ritmo. ¿Cuántos días tardan 4 pintores? ¿Y 3 pintores?
Ver la solución paso a paso
El trabajo total, contado en días de un solo pintor:
$$2 \times 6$$
Son $12$ días de trabajo de un pintor.
Con 4 pintores, ese trabajo se reparte entre 4:
$$12 \div 4$$
Tardan $3$ días: la mitad de 6, porque los pintores se duplicaron.
Con 3 pintores:
$$12 \div 3$$
Tardan $4$ días.
Revisamos: el producto se mantiene.
$$3 \times 4 = 2 \times 6$$
Respuesta: Cuatro pintores tardan 3 días y tres pintores tardan 4 días. Más pintores, menos días.
¿Directa, inversa o ninguna?
Que una cantidad suba y la otra baje no basta para que sean inversamente proporcionales. Otra vez hay que hacer la prueba de duplicar:
- Si una se duplica y la otra también se duplica, son directamente proporcionales.
- Si una se duplica y la otra se reduce a la mitad, son inversamente proporcionales.
- Si no pasa ninguna de las dos cosas, no son proporcionales.
Haz la prueba con dos o tres parejas de la tabla, no con una sola: una sola pareja puede salir bien por casualidad. En la inversa, el producto de los dos números tiene que ser el mismo en todas las columnas. Y basta una pareja que falle para saber que no son proporcionales.
Mira el caso de Camila en el siguiente ejemplo. Mientras más dulces compra, menos dinero le queda. Una sube y la otra baja. ¿Serán inversamente proporcionales?
Ejemplo resuelto
El dinero de Camila
Camila tiene 10 000 pesos y compra dulces de 1000 pesos cada uno. Si compra 2 dulces, ¿cuánto le queda? Si compra 4 dulces, ¿le queda la mitad?
Ver la solución paso a paso
Con 2 dulces le queda:
$$10\,000 - \left(2 \times 1000\right)$$
Le quedan $8000$ pesos.
Con 4 dulces, el doble, le queda:
$$10\,000 - \left(4 \times 1000\right)$$
Le quedan $6000$ pesos.
Si fueran inversamente proporcionales, le quedaría la mitad de 8000:
$$8000 \div 2$$
Serían $4000$ pesos.
Pero le queda más que eso.
$$6000 > 4000$$
Respuesta: Con 2 dulces le quedan 8000 pesos y con 4 dulces, 6000. No es la mitad: los dulces y el dinero que queda no son inversamente proporcionales.
Completar una tabla inversa
Cuando falta un número en una tabla de proporcionalidad inversa, sigue dos pasos:
- Multiplica los dos números de una columna que esté completa. Ese es el total que no cambia: todas las manzanas, o todo el trabajo.
- Divide ese total entre el número que sí conoces de la columna incompleta.
Antes de escribir la respuesta, revísala con una pregunta: ¿tiene sentido? Si hay más niños, a cada uno le tiene que tocar menos. Si hay más pintores, tienen que tardar menos días. Si tu resultado dice lo contrario, algo salió mal.
Y si el resultado no da un número natural, por ejemplo 24 manzanas entre 5 niños, sobran manzanas: la división tiene residuo y el reparto no es exacto.
Práctica
Tres trabajadores construyen un muro en 8 días. Si son 6 trabajadores al mismo ritmo, ¿en cuántos días lo construyen?
Los trabajadores se duplican (de 3 a 6), así que los días se reducen a la mitad: 8 ÷ 2 = 4 días.
En la finca, 2 llaves abiertas llenan el tanque en 10 minutos. ¿En cuántos minutos lo llenan 4 llaves iguales?
El doble de llaves llena el tanque en la mitad del tiempo: 10 ÷ 2 = 5 minutos. El 20 es el error del doble: con más llaves el tanque no puede tardar más.
Cuando 4 niños se reparten una bolsa de colombinas, cada uno recibe 9. Si la misma bolsa se reparte entre 12 niños, ¿cuántas recibe cada uno?
En la bolsa hay 4 × 9 = 36 colombinas. Entre 12 niños: 36 ÷ 12 = 3. Los niños se triplicaron y cada uno recibe la tercera parte de 9.
Si 6 niños se reparten unos bananos, a cada uno le tocan 4. Si los mismos bananos se reparten entre 8 niños, ¿cuántos le tocan a cada uno?
El producto se mantiene: 6 × 4 = 24 bananos. Entre 8 niños: 24 ÷ 8 = 3.
Un bus va de un pueblo a otro a 30 km por hora y tarda 2 horas. Pablo dice que si va a 60 km por hora tardará 4 horas. ¿Tiene razón?
El camino mide 30 × 2 = 60 km. Al doble de rapidez el bus tarda la mitad: 1 hora. Pablo cometió el error del doble.
Doña Rosa empaca sus huevos. Con cubetas de 30 huevos llena 2 cubetas. ¿Cuántas cajas llena si empaca los mismos huevos en cajas de 6?
Tiene 30 × 2 = 60 huevos. En cajas de 6 caben 60 ÷ 6 = 10 cajas. Cajas más pequeñas, más cajas.
Con 3 mangueras iguales, la piscina del pueblo se llena en 12 horas. ¿Cuántas mangueras hacen falta para llenarla en 4 horas?
El trabajo total es 3 × 12 = 36 horas de una manguera. Para hacerlo en 4 horas: 36 ÷ 4 = 9 mangueras.
A 50 km por hora, un bus tarda 4 horas en llegar a la ciudad. ¿Cuántas horas tarda en el mismo camino a 100 km por hora?
La rapidez se duplica, así que el tiempo se reduce a la mitad: 4 ÷ 2 = 2 horas.
¿Cuál de estas situaciones es de proporcionalidad inversa?
Si los vecinos se duplican, los días se reducen a la mitad. Los cuadernos y la limonada son de proporcionalidad directa, y las edades no son proporcionales.
Mateo dice: «Mientras más pasajes de bus pago, menos dinero me queda en el bolsillo. Entonces son inversamente proporcionales». ¿Qué le respondes?
Para que sean inversamente proporcionales, cada vez que los pasajes se duplican el dinero tendría que quedar en la mitad. Al pagar se resta lo mismo cada vez. Prueba con varios números: con 10 000 pesos y pasajes de 1000, con 2 pasajes quedan 8000 y con 4 quedan 6000, no 4000. Con una sola pareja puede salir la mitad por casualidad: hay que mirar varias.
Reto
¿Directa, inversa o ninguna?
Duplica una cantidad en tu cabeza. ¿La otra se duplica, se reduce a la mitad o ninguna de las dos?
Reto
Abre el candado del reparto.
Cada pregunta da una cifra. Recuerda que el producto se mantiene.
Reto
Busca las palabras de la proporcionalidad.
Encuentra las seis palabras. Pueden ir de lado o hacia abajo.
Cierre
En resumen
Dos cantidades son inversamente proporcionales si, cuando una se duplica, la otra se reduce a la mitad, y cuando una se triplica, la otra se reduce a la tercera parte.
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de los dos números de cada columna se mantiene.
Más trabajadores al mismo ritmo tardan menos días; duplicar las dos cantidades es un error.
Que una cantidad suba y la otra baje no basta; hay que hacer la prueba de duplicar con varias parejas.
Vocabulario
- Inversamente proporcionales
Dos cantidades que cambian así: si una se duplica, la otra se reduce a la mitad; si una se triplica, la otra se reduce a la tercera parte.
- Tercera parte
Lo que resulta de partir una cantidad en 3 partes iguales. La tercera parte de 12 es 4.
- Al mismo ritmo
Haciendo la misma cantidad de trabajo en el mismo tiempo. Si dos pintores trabajan al mismo ritmo, cada uno pinta lo mismo en un día.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte: «si dos pintores tardan 6 días, ¿cuánto tardan 4?». Anote las respuestas, incluida la de 12 días, sin corregir: se retoma en la explicación.
- Explicación · 15 min — Reparta 24 fichas o tapas entre 2, 3, 4 y 6 estudiantes, y anote la tabla en el tablero. Multiplique cada columna para ver que da 24. Después, los pintores y el dinero de Camila.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Las cestas, el candado y la sopa en parejas: para cada situación de las cestas, uno duplica una cantidad y el otro dice qué le pasa a la otra.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una situación de proporcionalidad directa y una de inversa, y la comparte con el grupo.
Preguntas para el salón
- Si llegan más vecinos a pintar, ¿terminan antes o después? ¿Cuánto antes?
- ¿Por qué al multiplicar los dos números de cada columna de la tabla de las manzanas siempre da 24?
- Mientras más pasajes pago, menos dinero me queda. ¿Es proporcionalidad inversa? ¿Cómo lo comprueban?
- ¿Qué tiene que pasar para que 4 pintores tarden de verdad la mitad que 2?
Errores típicos
- Duplicar las dos cantidades (con el doble de pintores, el doble de días). Pregunte si con más manos el trabajo se acaba antes o después. Represéntelo con fichas: el mismo trabajo repartido entre más personas toca a menos días.
- Llamar inversa a toda situación en que una cantidad sube y la otra baja. Pida la prueba de duplicar con números, como en el dinero de Camila: si no queda la mitad, no es inversa.
- Restar en vez de dividir (si los niños pasan de 2 a 4, quitar 2 manzanas a cada uno). Reparta fichas de verdad: con 24 fichas entre 4, a cada uno le tocan 6, no 10.
- Olvidar que todos tienen que trabajar al mismo ritmo. Pregunte qué pasa si uno de los pintores es un niño de 4 años. La cuenta solo vale si todos trabajan igual.
Tarea sugerida
Con un adulto, contar cuántas galletas o cuántos panes hay en un paquete cerrado y hacer una tabla de cuánto le tocaría a cada uno si se reparten entre 1, 2, 3, 4 y 6 personas. Escribir qué pasa cuando las personas se duplican.