Tablas y gráficas de dependencia
Lo que vas a aprender
- Organizar en una tabla los datos de una cantidad que depende de otra.
- Decir qué cantidad depende de cuál y ubicarlas en la tabla y en los ejes de la gráfica.
- Representar los datos en una gráfica de puntos o de línea, y decidir si tiene sentido unir los puntos.
- Calcular diferencias entre filas, encontrar un patrón y escribir conclusiones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Los científicos no se quedan con «creo que». Miden, anotan y miran qué pasa. Tú puedes hacer lo mismo con una pelota que rebota, con una mata de frijol que crece en un vaso o con el saldo del celular que baja mientras hablas.
En los tres casos hay una cantidad que cambia cuando cambia otra. En esta lección vas a aprender a anotar esos cambios en una tabla, a dibujarlos en una gráfica y a sacar conclusiones de lo que ves.
Explicación
Una cantidad que depende de otra
Ana suelta una pelota pequeña sobre el piso de cemento del patio, desde distintas alturas, y mide hasta dónde sube en el primer rebote. Ella elige la altura desde donde suelta la pelota. La altura del rebote resulta del experimento.
Por eso se dice que la altura del rebote depende de la altura de caída. Al revés no tiene sentido: la pelota no sabe hasta dónde va a rebotar antes de que la suelten.
Hay una costumbre para ordenar los datos. La cantidad que eliges va en la primera fila de la tabla y en el eje de abajo de la gráfica. La que depende de ella va en la segunda fila y en el eje de la izquierda, el que sube.
Estos son los datos de Ana, inventados y redondeados:
| Altura de caída (cm) | 40 | 80 | 120 | 160 |
|---|---|---|---|---|
| Altura del rebote (cm) | 20 | 40 | 60 | 80 |
Cómo hacerlo en el salón. Se hace con el docente, junto a una pared con un metro de costura pegado con cinta. Las alturas altas las suelta el docente, de pie: nadie se sube a sillas ni a mesas. Se usa una pelota de caucho pequeña, nunca piedras ni objetos que se rompan. Con una pelota de verdad los números no salen tan exactos: por eso conviene soltarla tres veces desde cada altura y anotar el rebote que más se repite.
Los datos de la pelota de Ana, en centímetros. Cada punto es una columna de la tabla: la etiqueta (40; 20) quiere decir que se soltó desde 40 cm y rebotó hasta 20 cm. Primero va el número del eje de abajo y después el del eje de la izquierda. Se pueden unir con una línea, porque la pelota también se puede soltar desde 100 cm o desde 50 cm.
Ejemplo resuelto
El patrón de la pelota
Ana soltó la pelota desde 40, 80, 120 y 160 cm, y rebotó hasta 20, 40, 60 y 80 cm. ¿Qué patrón hay? ¿Hasta dónde rebotará si la suelta desde 200 cm?
Ver la solución paso a paso
Miramos la primera columna. La mitad de 40 es:
$$40 \div 2$$
Da $20$, que es justo el rebote.
Probamos con otra columna: la mitad de 120 también es el rebote.
$$120 \div 2 = 60$$
Y la última: la mitad de 160.
$$160 \div 2 = 80$$
Ahora las diferencias entre filas seguidas. La altura de caída sube:
$$80 - 40$$
Sube $40$ cm cada vez.
Y el rebote sube:
$$40 - 20$$
Sube $20$ cm cada vez: la mitad.
Con el patrón, el rebote desde 200 cm sería:
$$200 \div 2$$
Serían unos $100$ cm.
Respuesta: La pelota rebota hasta la mitad de la altura desde donde se suelta. Desde 200 cm rebotaría hasta unos 100 cm.
¿Unir o no unir los puntos?
Juan sembró un frijol en un vaso con algodón y midió la mata cada lunes. Entre un lunes y otro, la mata no se quedó quieta: siguió creciendo poco a poco. Por eso tiene sentido unir sus puntos con una línea. La línea dice, más o menos, cuánto medía un jueves.
En la rifa del salón, cada boleta cuesta 2000 pesos. Aquí no se unen los puntos. No existe media boleta, ni dos boletas y media. Entre un punto y el siguiente no hay nada que comprar.
Antes de unir los puntos, pregúntate: ¿tiene sentido un valor intermedio? Si la respuesta es sí, une los puntos. Si es no, déjalos solos.
La mata de frijol de Juan, medida cada lunes durante 5 semanas. Los puntos se unen porque la mata crece también entre un lunes y otro.
Lo que se paga en la rifa según las boletas que se compran, a 2000 pesos cada una. Los puntos van solos: no se venden pedazos de boleta.
Ejemplo resuelto
La mata de frijol
Juan midió su mata de frijol cada lunes. Midió 2, 5, 9, 12 y 14 cm. ¿Cuánto creció cada semana? ¿En qué semana creció más? ¿Cuánto creció en total?
Ver la solución paso a paso
De la semana 1 a la 2 creció:
$$5 - 2$$
Creció $3$ cm.
De la semana 2 a la 3:
$$9 - 5$$
Creció $4$ cm.
De la semana 3 a la 4:
$$12 - 9$$
Creció $3$ cm.
De la semana 4 a la 5:
$$14 - 12$$
Creció $2$ cm.
En total, de la primera medida a la última:
$$14 - 2$$
Creció $12$ cm.
Revisamos: las cuatro semanas suman lo mismo.
$$3 + 4 + 3 + 2 = 12$$
Respuesta: Creció 3, 4, 3 y 2 cm cada semana. Creció más de la semana 2 a la 3, cuando la línea sube más empinada. En total creció 12 cm.
Cuando una cantidad baja
No todas las gráficas suben. Pedro hace una recarga al celular y le queda un saldo. Cada minuto de llamada le descuenta lo mismo. Mientras más minutos habla, menos saldo le queda. El saldo depende de los minutos que habla: los minutos van en el eje de abajo y el saldo en el de la izquierda. Esta vez los puntos bajan.
Ejemplo resuelto
El saldo de Pedro
Pedro tiene 6000 pesos de saldo y cada minuto de llamada cuesta 200 pesos. ¿Cuánto saldo le queda después de 10 minutos? ¿Cuántos minutos puede hablar en total?
Ver la solución paso a paso
En 10 minutos gasta:
$$10 \times 200$$
Gasta $2000$ pesos.
Le queda:
$$6000 - 2000$$
Le quedan $4000$ pesos.
Para saber cuántos minutos alcanza todo el saldo, vemos cuántas veces cabe 200 en 6000:
$$6000 \div 200$$
Alcanza para $30$ minutos.
Respuesta: Después de 10 minutos le quedan 4000 pesos. En total puede hablar 30 minutos.
Escribir conclusiones
La tabla y la gráfica no terminan el trabajo. Falta decir con palabras lo que se descubrió. Una buena conclusión dice qué pasa con una cantidad cuando la otra cambia, y da un dato que lo muestre. Por ejemplo:
- «Mientras más alto se suelta la pelota, más alto rebota. Rebota hasta la mitad.»
- «La mata creció todas las semanas, pero no siempre lo mismo. Creció más entre el lunes de la semana 2 y el de la semana 3: 4 cm.»
- «Cada minuto de llamada, el saldo baja lo mismo.»
Revisa siempre que tu conclusión esté de acuerdo con los números de la tabla.
Práctica
La pelota de Ana rebota hasta la mitad de la altura desde donde se suelta. ¿Hasta qué altura rebota, en cm, si se suelta desde 180 cm?
Con el patrón de la tabla, el rebote es la mitad: 180 ÷ 2 = 90 cm.
La misma pelota rebotó hasta 35 cm. ¿Desde qué altura, en cm, la soltaron?
El rebote es la mitad de la altura de caída. Entonces la altura de caída es el doble del rebote: 2 × 35 = 70 cm.
En la tabla de la pelota, la altura de caída sube 40 cm de una columna a la siguiente. ¿Cuánto sube la altura del rebote?
El rebote es la mitad de la caída, así que también sube la mitad: 20 cm. En la tabla: 20, 40, 60, 80.
Mira la gráfica de la mata de frijol. ¿Cuántos centímetros creció entre la semana 3 y la semana 5?
En la semana 3 medía 9 cm y en la semana 5, 14 cm. Creció 14 − 9 = 5 cm.
Si la mata de Juan crece 2 cm cada semana después de la semana 5, cuando medía 14 cm, ¿cuántos centímetros medirá en la semana 7?
De la semana 5 a la 7 pasan 2 semanas. Crece 2 × 2 = 4 cm, y llega a 14 + 4 = 18 cm.
Pedro tiene 6000 pesos de saldo y cada minuto de llamada cuesta 200 pesos. ¿Cuánto saldo le queda después de 15 minutos?
En 15 minutos gasta 15 × 200 = 3000 pesos. Le quedan 6000 − 3000 = 3000 pesos.
Pedro empieza con 6000 pesos y cada minuto cuesta 200. De 5 a 10 minutos de llamada, los minutos se duplican. Sofía dice que el saldo se reduce a la mitad: $6000 - \left(10 \times 200\right) = \left(6000 - \left(5 \times 200\right)\right) \div 2$. ¿Tiene razón?
Con 5 minutos le quedan 5000 pesos y con 10 minutos, 4000. La mitad de 5000 sería 2500. El saldo baja lo mismo cada minuto: se resta, no se parte por la mitad.
En el experimento de la pelota, ¿qué cantidad depende de cuál?
Ana elige desde dónde suelta la pelota, y el rebote resulta de esa elección. Por eso la altura de caída va en el eje de abajo y el rebote en el eje de la izquierda.
¿En cuál de estas gráficas tiene sentido unir los puntos con una línea?
La mata crece también entre un lunes y otro, así que los valores intermedios tienen sentido. No hay media boleta, ni medio hermano, ni medio cuaderno.
Luis unió con una línea los puntos de la rifa, a 2000 pesos la boleta. Dice que en la línea se ve que dos boletas y media cuestan 5000 pesos. ¿Qué le respondes?
Una línea entre puntos solo tiene sentido si existen los valores intermedios. En la rifa se compran boletas enteras, así que los puntos van solos.
Reto
Completa lo que dicen las tablas.
Usa los patrones: la pelota rebota hasta la mitad y cada minuto cuesta 200 pesos.
Reto
Abre el candado del experimento.
Cada pregunta da una cifra. Mira las tablas y las gráficas.
Reto
Las palabras del experimento.
Lee cada pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Una cantidad depende de otra cuando cambia si la otra cambia; la que se elige va en la primera fila y en el eje de abajo.
Cada columna de la tabla es un punto de la gráfica.
Los puntos se unen con una línea solo si los valores intermedios tienen sentido, como en la mata que crece; en la rifa van solos.
Las diferencias entre filas seguidas ayudan a encontrar el patrón y a predecir valores nuevos.
Una conclusión dice qué pasa con una cantidad cuando la otra cambia, con un dato de la tabla.
Vocabulario
- Depender
Una cantidad depende de otra cuando cambia si la otra cambia. La altura del rebote depende de la altura desde donde se suelta la pelota.
- Gráfica de puntos
Un dibujo con un punto por cada pareja de la tabla: se busca el primer valor en el eje de abajo y se sube hasta el segundo.
- Gráfica de línea
Una gráfica de puntos en la que los puntos se unen con una línea, porque entre un dato y otro también hay valores con sentido.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Deje caer una pelota de caucho pequeña desde dos alturas distintas y pregunte desde cuál rebotará más alto. Pregunte qué depende de qué.
- Explicación · 15 min — Con un metro de costura pegado a la pared, el docente suelta la pelota desde 40, 80, 120 y 160 cm, tres veces cada vez, y el grupo anota el rebote que más se repite. Nadie se sube a sillas ni a mesas. Se arma la tabla, se dibuja la gráfica y se compara con la de la mata y la de la rifa.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos, el candado y el crucigrama en parejas: uno lee un dato de la gráfica y el otro lo busca en la tabla.
- Cierre · 5 min — Cada pareja escribe una conclusión del experimento de la pelota con los datos del salón y la lee al grupo.
Preguntas para el salón
- ¿Quién decide desde dónde se suelta la pelota? ¿Y quién decide hasta dónde rebota?
- ¿Por qué los puntos de la mata se pueden unir y los de la rifa no?
- Si los datos del salón no salen exactamente la mitad, ¿el patrón está mal? ¿Por qué pueden salir distintos?
- ¿Qué escribirían para contarle a otro curso lo que descubrieron?
Errores típicos
- Unir siempre los puntos con una línea, aunque los valores intermedios no tengan sentido. Pregunte qué querría decir un punto en medio de la línea: ¿dos boletas y media? Si no tiene sentido, los puntos van solos.
- Poner la cantidad que depende en el eje de abajo, o confundir qué depende de qué. Pida decir la frase completa «el rebote depende de la caída». La que va después de «depende de» es la que se elige y va abajo.
- Leer en la gráfica la altura del rebote como la de caída al ubicar un punto. Pida recorrer con el dedo: primero hacia la derecha por el eje de abajo, después hacia arriba hasta el punto.
- Escribir conclusiones sin datos («la pelota rebota»). Pida que cada conclusión diga qué cambia, cómo cambia y un número de la tabla.
Tarea sugerida
Con un adulto, sembrar un frijol en un vaso con algodón húmedo, en la ventana, y medir la mata con una regla cada dos días durante dos semanas. Anotar los datos en una tabla, hacer la gráfica y escribir una conclusión. No se prueban ni se comen las semillas.