Armar y desarmar figuras planas
Lo que vas a aprender
- Armar y desarmar figuras con las piezas del tangram y en la cuadrícula.
- Clasificar triángulos y cuadriláteros por sus lados y por sus esquinas, comparándolas con la esquina de una hoja.
- Reconocer lados paralelos y perpendiculares, y nombrar los giros de cuarto, media y tres cuartos de vuelta.
- Calcular el área en cuadritos de una figura compuesta partiéndola en rectángulos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Doña Marta quiere enchapar el piso de la cocina de su casa. La cocina no es un rectángulo: tiene forma de L. ¿Cuántas baldosas compra? Para saberlo hay que desarmar la L en pedazos más fáciles.
En el recreo, Juan y Valentina juegan con un tangram. Con las mismas siete piezas arman un gato, un barco y una casa. Las piezas no cambian. Lo que cambia es cómo se acomodan.
En esta lección vas a armar y desarmar figuras. Vas a mirar sus lados y sus esquinas con mucho cuidado. Y vas a descubrir que una figura no cambia de nombre porque la pongas de otra manera sobre la mesa.
Explicación
El tangram: siete piezas, un cuadrado
El tangram sale de un cuadrado cortado en siete piezas. Hay dos triángulos grandes, un triángulo mediano, dos triángulos pequeños, un cuadrado y un paralelogramo.
Las piezas encajan entre sí. El triángulo mediano se cubre con dos triángulos pequeños. El cuadrado también. Y el paralelogramo, igual. Un triángulo grande se cubre con dos medianos.
Por eso podemos medir cada pieza en triángulos pequeños. Es como usar el triángulo pequeño de regla para medir superficies.
El tangram armado en un cuadrado. A y B son los triángulos grandes; C, el mediano; F y G, los pequeños; D es el cuadrado y E, el paralelogramo.
Ejemplo resuelto
¿Cuántos triángulos pequeños tiene el tangram?
El triángulo mediano, el cuadrado y el paralelogramo se cubren cada uno con 2 triángulos pequeños. Cada triángulo grande se cubre con 2 medianos. ¿Cuántos triángulos pequeños cubren todo el tangram?
Ver la solución paso a paso
Un triángulo grande son 2 medianos, y cada mediano son 2 pequeños:
$$2 \times 2$$
Cada triángulo grande vale $4$ triángulos pequeños.
Sumamos las siete piezas: los dos grandes, el mediano, el cuadrado, el paralelogramo y los dos pequeños.
$$4 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1$$
En total son $16$ triángulos pequeños.
Respuesta: Todo el tangram se cubre con 16 triángulos pequeños. Armes la figura que armes con las siete piezas, siempre cubre 16.
Esa última idea es muy importante. Si con las siete piezas armas un gato, el gato cubre lo mismo que el cuadrado. Cambia la forma, pero no cambia lo que cubre. Nada se pierde y nada se agrega: solo se mueven las piezas.
Lados y esquinas
Para describir una figura miramos dos cosas: sus lados y sus esquinas. A las esquinas también las llamamos vértices.
Toma una hoja de cuaderno. Su esquina es una esquina recta. Ponla sobre la esquina de una figura. Puede pasar una de tres cosas:
- Encaja justo: la esquina es recta.
- Queda más cerrada que la de la hoja, como la punta de un lápiz.
- Queda más abierta que la de la hoja, como un abanico abierto.
Los triángulos tienen tres lados. Por sus lados, pueden tener los tres iguales, dos iguales o los tres distintos. Por sus esquinas, un triángulo puede tener una esquina recta, una esquina más abierta que la de la hoja, o las tres más cerradas.
Los cuadriláteros tienen cuatro lados. El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y las cuatro esquinas rectas. El rectángulo tiene las cuatro esquinas rectas y los lados de enfrente iguales. El rombo tiene los cuatro lados iguales; sus esquinas pueden ser rectas o no. Si además sus cuatro esquinas son rectas, es un cuadrado. El trapecio tiene solo dos lados que van en la misma dirección.
Paralelos y perpendiculares
Dos lados son paralelos cuando van en la misma dirección y nunca se tocan, aunque los alargues mucho. Piensa en los rieles del tren o en las líneas del cuaderno.
Dos lados son perpendiculares cuando se cruzan y forman una esquina recta. Las dos orillas que llegan a la esquina de la hoja son perpendiculares.
Cuatro cuadriláteros en la cuadrícula. A: rectángulo, con cuatro esquinas rectas. B: trapecio, con solo dos lados paralelos (el de arriba y el de abajo). C: un rombo que no es cuadrado: sus cuatro lados son iguales y sus esquinas no son rectas. D: paralelogramo, con los lados de enfrente paralelos.
Un cuadrado de punta sigue siendo un cuadrado
Mateo pone un cuadrado de cartulina de punta, como un diamante. Dice: «Ya no es un cuadrado: ahora es un rombo». ¿Tiene razón?
No. Girar una figura no cambia sus lados ni sus esquinas. Mira la figura de abajo. El cuadrado B está de punta. Para ir de una esquina a la siguiente, cada lado avanza dos casillas de lado y dos de alto. Los cuatro lados hacen el mismo recorrido, así que miden lo mismo. Y si pones la esquina de la hoja en cualquiera de sus vértices, encaja justo.
Cuatro lados iguales y cuatro esquinas rectas: es un cuadrado, esté como esté. El nombre de una figura depende de sus lados y de sus esquinas, no de cómo la pongas sobre la mesa. (Un cuadrado sí es un tipo especial de rombo, porque tiene sus cuatro lados iguales; pero un rombo cualquiera no es un cuadrado.)
El cuadrado A está derecho y el cuadrado B está de punta. Cada lado de B avanza dos casillas de lado y dos de alto: sus cuatro lados son iguales y sus esquinas son rectas.
Desarmar para contar cuadritos
La cocina de doña Marta tiene forma de L. No es un rectángulo, así que no sirve multiplicar el largo por el ancho de una vez. El truco es desarmarla: con una línea la partimos en dos rectángulos. Contamos los cuadritos de cada rectángulo y sumamos.
La cocina en forma de L. La línea punteada la parte en un rectángulo de abajo, de 5 casillas por 2, y uno de arriba, de 2 casillas por 3.
Ejemplo resuelto
La cocina en L de doña Marta
La cocina en forma de L se parte en un rectángulo de 5 casillas por 2 y otro de 2 casillas por 3. Cada casilla es una baldosa. ¿Cuántas baldosas necesita? ¿Cuántos lados tiene la L?
Ver la solución paso a paso
El rectángulo de abajo tiene 2 filas de 5 baldosas:
$$5 \times 2$$
El de arriba tiene 3 filas de 2 baldosas:
$$2 \times 3$$
Sumamos los dos pedazos:
$$\left(5 \times 2\right) + \left(2 \times 3\right)$$
Necesita $16$ baldosas.
Si la partimos al revés, con una línea de arriba abajo, queda una columna de 2 por 5 y un pedazo de 3 por 2. Da lo mismo:
$$\left(2 \times 5\right) + \left(3 \times 2\right) = 16$$
Contamos los lados recorriendo el borde: abajo, derecha, el escalón, la subida, arriba y la izquierda. Son 6 lados, y como cada lado termina en un vértice, también son 6 vértices.
Respuesta: Necesita 16 baldosas. La L tiene 6 lados y 6 vértices.
Los giros: cuartos de vuelta
Párate mirando hacia el tablero. Si giras hasta mirar la pared de tu derecha, diste un cuarto de vuelta. Tu cuerpo dibujó una esquina recta.
Si sigues hasta mirar hacia atrás, diste media vuelta: son dos cuartos. Un cuarto más y llegas a tres cuartos de vuelta. Con el último cuarto vuelves a mirar el tablero: diste una vuelta entera, que son cuatro cuartos.
La manecilla larga del reloj también gira así. De las doce en punto a las doce y cuarto da un cuarto de vuelta. Las esquinas de las figuras se pueden comparar con estos giros: una esquina recta es un cuarto de vuelta.
Ejemplo resuelto
Tres cuartos de vuelta en el reloj
La manecilla de los minutos da una vuelta entera en 60 minutos. ¿Cuántos minutos tarda en dar un cuarto de vuelta? ¿Y tres cuartos de vuelta?
Ver la solución paso a paso
Una vuelta entera son cuatro cuartos. Repartimos los minutos en 4 partes iguales:
$$60 \div 4$$
Un cuarto de vuelta tarda $15$ minutos.
Tres cuartos son tres veces un cuarto:
$$3 \times 15$$
Tres cuartos de vuelta tardan $45$ minutos.
Respuesta: Un cuarto de vuelta son 15 minutos y tres cuartos de vuelta son 45 minutos.
Práctica
Una figura se arma con un rectángulo de 4 casillas por 3 y, encima, un cuadrado de 2 casillas por 2. ¿Cuántas casillas cubre la figura?
Se desarma en dos pedazos: el rectángulo cubre 4 × 3 = 12 casillas y el cuadrado 2 × 2 = 4. En total, 12 + 4 = 16.
Andrés dibujó una escalera de tres escalones en la cuadrícula: abajo una fila de 3 casillas, encima una de 2 y arriba una de 1. ¿Cuántas casillas cubre la escalera?
Se cuenta fila por fila: 3 + 2 + 1 = 6 casillas.
En el tangram, el triángulo mediano se cubre con 2 triángulos pequeños, y el grande se cubre con 2 medianos. ¿Cuántos triángulos pequeños cubren un triángulo grande?
Cada mediano son 2 pequeños, y el grande son 2 medianos: 2 × 2 = 4 pequeños.
El tangram tiene cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo. ¿Cuántos vértices tienen entre todas las piezas?
Cada triángulo tiene 3 vértices: 5 × 3 = 15. El cuadrado y el paralelogramo tienen 4 cada uno: 15 + 4 + 4 = 23.
Una cruz se arma con 5 casillas: una en el centro y una pegada a cada lado. Cada uno de los cuatro brazos tiene 3 lados en el borde de la cruz. ¿Cuántos lados tiene la cruz?
Cada brazo aporta 3 lados al borde: el de la punta y los dos de los costados. Con cuatro brazos son 4 × 3 = 12 lados. La casilla del centro no aporta lados, porque queda tapada por los brazos.
La manecilla de los minutos da una vuelta entera en 60 minutos. ¿Cuántos minutos tarda en dar media vuelta?
Media vuelta son dos cuartos. Cada cuarto tarda 60 ÷ 4 = 15 minutos, así que media vuelta tarda 15 × 2 = 30 minutos.
Mateo toma un cuadrado de cartulina y lo pone de punta, como un diamante. Dice que ya no es un cuadrado, sino un rombo. ¿Qué le respondes?
Girar una figura no cambia sus lados ni sus esquinas. El nombre depende de eso, no de la posición. Ponle la esquina de una hoja: sigue encajando justo en las cuatro esquinas.
En el rectángulo A de la figura de los cuadriláteros, ¿qué pareja de lados es perpendicular?
Perpendiculares son los lados que se encuentran en una esquina recta. El de abajo y el de arriba, o el de la izquierda y el de la derecha, son paralelos: van en la misma dirección y nunca se tocan.
Sofía pone la esquina de una hoja en una de las esquinas de un triángulo. La esquina del triángulo sobresale: es más abierta que la de la hoja. ¿Qué puedes decir de ese triángulo?
Un triángulo puede tener como mucho una esquina recta o una más abierta que la hoja. Las otras dos siempre quedan más cerradas. Un triángulo nunca tiene tres esquinas rectas: no cerraría.
Tienes que decirle a un compañero, sin mostrarle el dibujo, cómo dibujar un rectángulo en la cuadrícula. ¿Qué mensaje le sirve más?
Un buen mensaje dice qué figura es y cuánto mide cada lado. «Cuatro lados» también lo cumplen el rombo y el trapecio; «una puerta acostada» no dice el tamaño.
Reto
Abre el candado de las figuras.
Cada pregunta da una cifra. Cuenta con cuidado lados, vértices y casillas.
Reto
Busca las palabras de las figuras.
Encuentra las seis palabras. Pueden ir de lado o hacia abajo.
Cierre
En resumen
Con las siete piezas del tangram se arman muchas figuras, y todas cubren lo mismo, 16 triángulos pequeños.
Una figura se describe por sus lados y por sus esquinas; la esquina de una hoja dice si una esquina es recta, más abierta o más cerrada.
Los lados paralelos nunca se tocan, y los perpendiculares se cruzan en una esquina recta.
Girar una figura no le cambia el nombre. Un cuadrado de punta sigue siendo un cuadrado.
Para contar los cuadritos de una figura compuesta, se parte en rectángulos y se suman.
Vocabulario
- Tangram
Un rompecabezas chino de siete piezas que salen de un cuadrado: cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo. Con las siete se arman muchas figuras.
- Esquina recta
La esquina que encaja justo con la esquina de una hoja de cuaderno. También se llama ángulo recto.
- Lados paralelos
Dos lados que van en la misma dirección y nunca se tocan, aunque los alargues, como los dos rieles de una carrilera.
- Lados perpendiculares
Dos lados que se cruzan formando una esquina recta, como las dos orillas de una esquina de la hoja.
- Figura compuesta
Una figura hecha pegando otras más sencillas, por ejemplo dos rectángulos que forman una L.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un cuadrado de cartulina derecho y luego de punta. Pregunte si sigue siendo un cuadrado. Anote las respuestas sin corregir; se retoman al final.
- Explicación · 15 min — Cada pareja recibe un tangram ya recortado en cartulina (o lo recorta con tijeras de punta roma, con el docente). Que cubran el triángulo grande con piezas pequeñas y lleguen a los 16 triángulos. Después, la esquina de la hoja para clasificar esquinas, y la L de la cocina en la cuadrícula.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. El candado y la sopa en parejas. Un niño arma una figura con el tangram y se la describe al otro, que la arma sin verla.
- Cierre · 5 min — Vuelva al cuadrado de punta. Cada pareja lo comprueba con la esquina de una hoja y explica por qué sigue siendo un cuadrado.
Preguntas para el salón
- Si armo un gato con las siete piezas del tangram, ¿cubre más, menos o lo mismo que el cuadrado?
- ¿Cómo sabes si una esquina es recta sin usar regla?
- ¿Un cuadrado puesto de punta es un rombo? ¿Y es un cuadrado?
- ¿Por qué la cocina en L se puede partir de dos maneras y da lo mismo?
Errores típicos
- Creer que un cuadrado girado ya no es un cuadrado, sino un rombo. Gire el cuadrado de cartulina frente al grupo y pida comprobar con la esquina de una hoja y con una tira de papel que sus lados siguen iguales y sus esquinas siguen rectas.
- Multiplicar las dos medidas más largas de una figura en L como si fuera un rectángulo. Pida sombrear en la cuadrícula el rectángulo que resultaría y ver que tapa casillas que no son de la figura. Luego partirla con una línea.
- Contar dos veces la casilla donde se juntan los dos rectángulos, o dejarla sin contar. Pida pintar cada rectángulo de un color distinto antes de contar: cada casilla queda de un solo color.
- Llamar «perpendicular» a cualquier par de lados que se cruzan. Use la esquina de la hoja: solo es perpendicular si la esquina encaja justo.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en la casa tres objetos con lados paralelos y tres con lados perpendiculares (una puerta, una mesa, un cuaderno) y dibujarlos. Recortar un tangram de una hoja cuadrada, con tijeras de punta roma y con ayuda del adulto, y armar una figura nueva.