Cuerpos y desarrollos planos
Lo que vas a aprender
- Contar las caras, las aristas y los vértices de cubos, prismas y pirámides, también los que no se ven en un dibujo.
- Reconocer entre varios desarrollos planos los que arman un cubo, mirando dónde quedan sus caras.
- Dibujar una escultura de cubos vista de frente y desde arriba.
- Calcular el volumen de una construcción contando cubitos de 1 cm³.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda de don Julio llegan cajas de galletas, latas de atún y cucuruchos de helado. Cada empaque es un cuerpo geométrico. Antes de ser caja, la caja de galletas fue una lámina de cartón plana, con unas líneas para doblar.
¿Cómo sabe la fábrica dónde poner cada doblez? ¿Cuántos filos tiene una caja? ¿Y por qué cuando miras una caja no ves todas sus caras?
En esta lección vas a contar las partes de los cuerpos sin que se te escape ninguna. Vas a descubrir qué plantillas arman un cubo y cuáles no. Y vas a construir esculturas con cubitos para medir cuánto lugar ocupan.
Explicación
Caras, aristas y vértices
Toma un dado. Cada lado plano del dado es una cara. Donde se juntan dos caras hay un filo: es una arista. Y donde se juntan varias aristas hay una punta: es un vértice.
Los cuerpos que solo tienen caras planas tienen nombres especiales:
- El prisma tiene dos caras iguales, una abajo y otra arriba, que se llaman bases. Las demás caras son rectángulos que van de una base a la otra. La caja de galletas es un prisma. El cubo también: es un prisma con todas sus caras cuadradas.
- La pirámide tiene una sola base. Las demás caras son triángulos que se juntan en una punta de arriba.
Hay cuerpos que ruedan, porque tienen una superficie curva. El cilindro, como una lata de atún, tiene dos caras planas en forma de círculo y una superficie curva. El cono, como un gorro de cumpleaños con el fondo tapado, tiene una cara plana en forma de círculo, una superficie curva y una punta. Un cucurucho de helado es un cono sin esa tapa: está abierto arriba. La esfera, como un balón, es toda curva.
Lo que no se ve también cuenta
Cuando dibujamos una caja en el papel, no se ven todas sus caras. Unas quedan atrás, otras abajo. En el dibujo de abajo, las líneas punteadas son las aristas escondidas. Si solo cuentas lo que ves, te quedas corto.
Un cubo dibujado en el papel. Las líneas punteadas son las tres aristas que quedan detrás. Sin ellas se ven nueve aristas y siete vértices; el cubo completo tiene doce aristas y ocho vértices.
Ejemplo resuelto
Contar todo el cubo, también lo de atrás
En el dibujo de un cubo se ven 3 caras, 9 aristas y 7 vértices. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene el cubo completo?
Ver la solución paso a paso
Las caras: se ven la de adelante, la de arriba y la de la derecha. Faltan las 3 de atrás, de abajo y de la izquierda.
$$3 + 3$$
El cubo tiene $6$ caras.
Las aristas: 4 rodean la cara de arriba, 4 rodean la de abajo y 4 suben de una a la otra. A las 9 que se ven les faltan las 3 punteadas.
$$4 + 4 + 4$$
Son $12$ aristas.
Revisamos con el dibujo: las que se ven más las escondidas.
$$9 + 3 = 12$$
Los vértices: 4 arriba y 4 abajo. Al dibujo le falta uno, el de atrás y abajo.
$$4 + 4$$
Son $8$ vértices.
Revisamos: los que se ven más el escondido.
$$7 + 1 = 8$$
Respuesta: El cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. En el dibujo faltaban 3 caras, 3 aristas y 1 vértice.
Contar así, por grupos, sirve para cualquier prisma o pirámide. En un prisma, mira la base de abajo, la de arriba y lo que va de una a la otra. En una pirámide, mira la base y lo que sube hasta la punta.
Ejemplo resuelto
La carpa y la pirámide del parque
En el paseo, la carpa tiene forma de prisma con bases de 3 lados. En el parque hay una pirámide con base de 4 lados. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene cada una?
Ver la solución paso a paso
Carpa, caras: 3 rectángulos de lado y las 2 bases.
$$3 + 2$$
La carpa tiene $5$ caras.
Carpa, aristas: 3 en la base de adelante, 3 en la de atrás y 3 que van de una a la otra.
$$3 + 3 + 3$$
Son $9$ aristas.
Carpa, vértices: 3 adelante y 3 atrás.
$$3 + 3$$
Son $6$ vértices.
Pirámide, caras: 4 triángulos y la base.
$$4 + 1$$
La pirámide tiene $5$ caras.
Pirámide, aristas: 4 en la base y 4 que suben a la punta.
$$4 + 4$$
Son $8$ aristas.
Pirámide, vértices: 4 en la base y la punta.
$$4 + 1$$
Son $5$ vértices.
Respuesta: La carpa tiene 5 caras, 9 aristas y 6 vértices. La pirámide tiene 5 caras, 8 aristas y 5 vértices.
Gira el cubo y cuenta también lo de atrás: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Toca «Desplegar» para ver cómo se abre en una plantilla de 6 cuadrados.
Desarmar un cubo: el desarrollo plano
Si desarmas una caja con cuidado y la estiras sobre la mesa, queda una figura plana. Esa figura es el desarrollo plano de la caja, o su plantilla. Si la vuelves a doblar por las aristas, arma otra vez la caja.
El desarrollo de un cubo tiene seis cuadrados, uno por cada cara. Pero no cualquier grupo de seis cuadrados arma un cubo. Para saberlo, imagina que doblas la plantilla:
- Si dos cuadrados quieren tapar el mismo lado, se montan uno encima del otro.
- Si algún lado del cubo queda sin tapa, la plantilla no sirve.
- Cuatro cuadrados en fila dan la vuelta completa al cubo, como un cinturón. Los otros dos tienen que quedar uno a cada lado del cinturón: uno será la tapa y otro el fondo.
- Un bloque de cuadrados de dos filas por dos columnas nunca sirve, ni una fila de cinco.
Cuatro plantillas de seis cuadrados. A y C arman un cubo. B no: por más que la dobles, dos lados del cubo quedan sin tapa y dos cuadrados quedan estorbando. D tampoco: sus dos cuadrados de arriba quieren ser la misma tapa.
Mira la plantilla A, la de la cruz. La columna de cuatro es el cinturón. Los dos cuadrados de los lados quedan uno a cada lado del cinturón: al doblar, uno tapa la izquierda y otro la derecha. Por eso arma el cubo.
En la D, los dos cuadrados de arriba están juntos y del mismo lado del cinturón. Al doblar, los dos quieren ser la tapa, y el fondo queda abierto.
Esculturas con cubitos
Con cubos de madera del mismo tamaño puedes armar esculturas. También puedes usar medios cubos: un cubo cortado en dos por la diagonal, que es un prisma con bases de tres lados. Dos medios cubos juntos forman un cubo entero.
Para dibujar una escultura en el papel, la miramos desde distintos lugares. Desde arriba, dibujamos el piso que ocupa y escribimos en cada cuadro cuántos cubitos hay apilados. De frente, dibujamos la columna más alta que se ve en cada lugar.
Si cada cubito mide 1 cm de largo, de ancho y de alto, ocupa un centímetro cúbico, 1 cm³. El volumen de la escultura, el lugar que ocupa, es la cantidad de cubitos.
La escultura de Tomás. Desde arriba ocupa seis cuadros: en la fila de atrás hay columnas de 3, 2 y 1 cubitos, y en la de adelante, de 2, 1 y 1. De frente se ve, en cada columna, la más alta: 3, 2 y 1, como una escalera.
Ejemplo resuelto
El volumen de la escultura de Tomás
Desde arriba, la escultura de Tomás tiene columnas de 3, 2 y 1 cubitos atrás, y de 2, 1 y 1 cubitos adelante. Cada cubito ocupa 1 cm³. Después, Tomás le pega encima 2 medios cubos. ¿Cuál es el volumen antes y después?
Ver la solución paso a paso
Sumamos los cubitos de cada columna, fila por fila:
$$3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1$$
Son $10$ cubitos. Como cada uno ocupa 1 cm³, el volumen es de 10 cm³.
Dos medios cubos forman un cubo entero:
$$2 \div 2$$
Ocupan lo mismo que $1$ cubito.
El volumen nuevo es el de antes más ese cubito:
$$10 + 1$$
Ahora ocupa $11$ cm³.
Respuesta: Antes ocupaba 10 cm³. Con los dos medios cubos, ocupa 11 cm³.
Práctica
Un lápiz sin tajar tiene forma de prisma con bases de 6 lados. ¿Cuántas aristas tiene?
Hay 6 aristas en la base de abajo, 6 en la de arriba y 6 que van de una base a la otra: 6 + 6 + 6 = 18.
Una pirámide tiene base de 6 lados. ¿Cuántos vértices tiene?
La base tiene 6 vértices y arriba está la punta: 6 + 1 = 7.
Una caja de chocolatinas tiene forma de prisma con bases de 5 lados. ¿Cuántas caras tiene?
Tiene 5 caras de lado, una por cada lado de la base, y las 2 bases: 5 + 2 = 7. Quien responde 5 olvidó las bases.
En el dibujo de una caja de zapatos se ven 3 caras. ¿Cuántas caras de la caja no se ven?
Una caja tiene 6 caras, como el cubo. Si se ven 3, quedan 6 − 3 = 3 escondidas: la de atrás, la de abajo y la de un lado.
Sofía cuenta las aristas de un dado: 4 arriba, 4 abajo y 4 que suben. Su hermano dice que un cubo tiene 8 aristas, o sea, $4 + 4 + 4 = 8$. ¿Tiene razón el hermano?
4 + 4 + 4 = 12. El cubo tiene 12 aristas. El hermano confundió las aristas con los vértices, que sí son 8.
Desde arriba, una escultura muestra cuatro cuadros con columnas de 2, 3, 1 y 2 cubitos. Cada cubito ocupa 1 cm³. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
Se suman los cubitos de todas las columnas: 2 + 3 + 1 + 2 = 8. Son 8 cm³.
Una escultura tiene 3 cubos de 1 cm³ y 4 medios cubos. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
Cada dos medios cubos forman un cubo: 4 ÷ 2 = 2 cubos. Con los 3 enteros son 3 + 2 = 5 cm³.
Mira las cuatro plantillas de seis cuadrados de la lección. ¿Cuáles arman un cubo?
Tener seis cuadrados no basta. En la A y en la C, el cinturón de cuatro queda con un cuadrado a cada lado: tapa y fondo. En la D los dos cuadrados sueltos quieren ser la tapa, y la B, de dos filas de tres, deja dos lados abiertos.
Lucas quiere armar un cubo con la plantilla B, de dos filas de tres cuadrados. ¿Por qué no le sale?
La plantilla tiene los seis cuadrados que hacen falta, uno por cara. El problema es dónde están: en dos filas de tres, al doblar quedan dos lados abiertos y dos cuadrados sin lugar.
¿Qué cuerpo tiene una sola cara plana, que es un círculo, una superficie curva y una punta?
El cilindro tiene dos caras en forma de círculo y ninguna punta. La pirámide no tiene partes curvas. La esfera es toda curva y no tiene caras planas.
Reto
Completa la ficha de los cuerpos.
Cuenta por grupos: la base de abajo, la de arriba y lo que va entre ellas, o la base y lo que sube a la punta.
Reto
¿Rueda o no rueda?
Piensa si el objeto tiene alguna parte curva.
Reto
Las palabras de los cuerpos.
Lee cada pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Un cuerpo tiene caras, aristas y vértices, y hay que contar también los que no se ven en el dibujo.
En un prisma se cuentan la base de abajo, la de arriba y lo que va entre ellas; en una pirámide, la base y lo que sube a la punta.
El desarrollo plano de un cubo tiene seis cuadrados, pero solo sirve si al doblarlo cada cara tapa un lado distinto.
Una escultura se dibuja desde arriba, con el número de cubitos de cada columna, y de frente.
El volumen de una construcción es la cantidad de cubitos de 1 cm³ que tiene; dos medios cubos hacen un cubo.
Vocabulario
- Cuerpo geométrico
Una figura que ocupa lugar en el espacio, como un dado, una lata o un cucurucho. Tiene largo, ancho y alto.
- Cara
Cada superficie plana que limita un cuerpo, como cada lado del dado.
- Arista
La línea donde se juntan dos caras, como el filo de una caja.
- Vértice
La punta donde se juntan varias aristas, como la esquina de una caja.
- Desarrollo plano
La plantilla que se obtiene al desarmar un cuerpo y estirarlo sobre la mesa. Doblada, vuelve a armar el cuerpo.
- Centímetro cúbico
El lugar que ocupa un cubito de 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 1 cm de alto. Se escribe 1 cm³.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una caja de cartón vacía. Pregunte cuántas caras tiene y anote las respuestas. Luego dibújela en el tablero y pregunte cuántas se ven.
- Explicación · 15 min — Desarme la caja frente al grupo para mostrar su desarrollo plano. Cada pareja recorta en papel cuadriculado las plantillas A y B, con tijeras de punta roma y con el docente, y prueba a doblarlas. Después, la escultura con cubos de madera o de icopor.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos y las cestas en parejas. El crucigrama, para quien termine primero. Una pareja arma una escultura y la otra la dibuja desde arriba con los números.
- Cierre · 5 min — Cada pareja muestra una plantilla de seis cuadrados que inventó y el grupo decide, antes de doblarla, si arma el cubo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en el dibujo de un cubo solo se ven siete vértices, si tiene ocho?
- ¿Qué pasa al doblar una plantilla donde dos cuadrados quieren ser la misma tapa?
- ¿Cuántos medios cubos necesitas para ocupar el mismo lugar que tres cubos?
- ¿Por qué la lata rueda y la caja no?
Errores típicos
- Contar solo las caras, aristas y vértices que se ven en el dibujo (3 caras, 9 aristas y 7 vértices en un cubo). Pida contar sobre una caja de verdad, marcando con tiza cada arista contada. Luego comparar con el dibujo y repasar las punteadas.
- Contar dos veces la misma arista al contar cara por cara. Enseñe a contar por grupos: la base de abajo, la de arriba y las que suben. Cada arista entra en un solo grupo.
- Creer que cualquier figura con seis cuadrados arma un cubo. Recortar y doblar las plantillas B y D. El error se ve solo: quedan lados abiertos y cuadrados que estorban.
- Contar un medio cubo como un cubo entero al calcular el volumen. Juntar dos medios cubos de icopor y compararlos con un cubo entero.
Tarea sugerida
Con un adulto, desarmar una caja vacía de la casa (de crema dental, de galletas) despegando sus pestañas, sin cortarla, y dibujar su desarrollo plano. Contar sus caras, aristas y vértices antes de desarmarla.