Trasladar, rotar y reflejar
Lo que vas a aprender
- Trasladar una figura en la cuadrícula tantas casillas a la derecha o a la izquierda y hacia arriba o hacia abajo.
- Rotar una figura un cuarto, media o tres cuartos de vuelta alrededor de un punto dado.
- Reflejar una figura respecto a un eje y reconocer los ejes de simetría de figuras y objetos.
- Comprobar que los tres movimientos conservan la forma y el tamaño de la figura.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el patio del colegio pintaron una cenefa de baldosas: la misma figura se repite, corrida, una y otra vez. En la plaza del pueblo hay una veleta que gira con el viento. Y cuando te miras en el espejo del baño, tu imagen levanta la mano izquierda cuando tú levantas la derecha.
Esas tres cosas son movimientos: deslizar, girar y voltear. En esta lección vas a mover figuras en la cuadrícula con mucho cuidado. Vas a saber dónde queda cada vértice después de moverlo. Y vas a comprobar algo muy importante: la figura se mueve, pero no cambia ni de forma ni de tamaño.
Explicación
Cómo contar en la cuadrícula
En las figuras de esta lección, los números de abajo nombran las rayas que suben, de izquierda a derecha. Los números de la izquierda nombran las rayas acostadas, de abajo hacia arriba. Así puedes decir sobre qué rayas está cada vértice y contar las casillas que se mueve.
Trasladar: deslizar sin girar
Trasladar es deslizar la figura en línea recta, como empujas un cuaderno sobre el pupitre sin darle vuelta. Para trasladar decimos cuántas casillas va a la derecha o a la izquierda, y cuántas hacia arriba o hacia abajo.
El secreto es mover cada vértice lo mismo. Mueves el vértice A, después el B, después el C, y unes los puntos nuevos. A la figura nueva se le llama imagen, y sus vértices se nombran A', B' y C'.
El triángulo ABC trasladado 5 casillas a la derecha y 2 hacia arriba. La línea punteada muestra el camino de B hasta B': 5 casillas a la derecha y 2 hacia arriba. La imagen A'B'C' tiene la misma forma y el mismo tamaño.
Ejemplo resuelto
El triángulo se desliza
El vértice B del triángulo está sobre la raya 4 de abajo y la raya 1 de la izquierda. El triángulo se traslada 5 casillas a la derecha y 2 hacia arriba. ¿Dónde queda B'? ¿Cambia el largo del lado AB, que va de la raya 1 a la raya 4?
Ver la solución paso a paso
Ir a la derecha suma casillas a la raya de abajo:
$$4 + 5$$
B' queda sobre la raya $9$ de abajo.
Subir suma casillas a la raya de la izquierda:
$$1 + 2$$
B' queda sobre la raya $3$ de la izquierda.
El lado AB va de la raya 1 a la raya 4:
$$4 - 1$$
Mide $3$ casillas.
El lado A'B' va de la raya 6 a la raya 9, y mide lo mismo:
$$9 - 6 = 4 - 1$$
Respuesta: B' queda sobre la raya 9 de abajo y la raya 3 de la izquierda. El lado sigue midiendo 3 casillas: trasladar no cambia el tamaño.
Rotar: girar alrededor de un punto
Rotar es girar la figura alrededor de un punto que no se mueve, el centro de giro. Piensa en la manecilla del reloj: gira, pero su clavo del centro se queda quieto.
Para rotar hay que decir tres cosas: el centro, cuánto se gira y hacia qué lado. Los giros que usamos son los que viste con el reloj en «Armar y desarmar figuras planas»: un cuarto de vuelta (90°), media vuelta (180°) y tres cuartos de vuelta (270°).
Un truco para girar un cuarto de vuelta como las manecillas del reloj: lo que iba hacia arriba pasa a ir hacia la derecha, y lo que iba hacia la derecha pasa a ir hacia abajo. Con media vuelta, lo de arriba queda abajo y lo de la derecha queda a la izquierda. Tres cuartos de vuelta como las manecillas son tres cuartos seguidos: lo que iba hacia arriba pasa a ir hacia la izquierda. Es lo mismo que un cuarto de vuelta al revés, en contra de las manecillas.
Al girar, la figura cambia de dirección, pero no de tamaño ni de forma. Un palito de 3 casillas sigue midiendo 3 casillas, apunte para donde apunte.
El bastón OPQ gira un cuarto de vuelta, como las manecillas del reloj, alrededor de O. El tramo OP subía 3 casillas y ahora va 3 casillas a la derecha; el tramo PQ iba 2 casillas a la derecha y ahora baja 2.
Ejemplo resuelto
El bastón gira un cuarto de vuelta
El centro O está sobre la raya 4 de abajo y la raya 3 de la izquierda. El tramo OP sube 3 casillas y el tramo PQ va 2 casillas a la derecha. El bastón gira un cuarto de vuelta, como las manecillas del reloj, alrededor de O. ¿Dónde quedan P' y Q'?
Ver la solución paso a paso
Lo que subía ahora va a la derecha. P' queda 3 casillas a la derecha de O:
$$4 + 3$$
P' queda sobre la raya $7$ de abajo, a la misma altura que O, en la raya 3 de la izquierda.
Lo que iba a la derecha ahora baja. Q' queda 2 casillas debajo de P':
$$3 - 2$$
Q' queda sobre la raya $1$ de la izquierda, y sobre la raya 7 de abajo.
Revisamos los tamaños: OP' va de la raya 4 a la raya 7, igual que OP subía 3 casillas.
$$7 - 4 = 3$$
Respuesta: P' queda sobre la raya 7 de abajo y la 3 de la izquierda; Q', sobre la raya 7 de abajo y la 1 de la izquierda. Los tramos siguen midiendo 3 y 2 casillas.
Reflejar: como en un espejo
Reflejar es voltear la figura sobre una recta, el eje. Cada punto queda al otro lado del eje, a la misma distancia. Si un vértice está a 3 casillas del eje, su imagen queda a 3 casillas del otro lado.
Puedes comprobarlo con papel: dibuja la figura con marcador, dobla la hoja por el eje y presiona. La figura se calca del otro lado.
Ojo con esto: reflejar no es lo mismo que girar. Recorta una L de cartulina y gírala sobre la mesa como quieras: un cuarto, media vuelta, tres cuartos. Nunca te queda como la L del espejo, con el pie mirando al otro lado. Para lograrlo tienes que levantarla y voltearla, ponerla bocabajo. Eso es la reflexión. Por eso tu mano derecha, en el espejo, parece una mano izquierda.
Tampoco es una traslación: al trasladar, la L sigue mirando hacia el mismo lado; al reflejarla, queda mirando al revés.
La L de la izquierda reflejada en el eje punteado, que está sobre la raya 5. El vértice A está a 3 casillas del eje y A' queda a 3 casillas del otro lado. El pie de la L ahora mira hacia la izquierda.
Ejemplo resuelto
La L en el espejo
El eje está sobre la raya 5 de abajo y el vértice A está sobre la raya 2. ¿Sobre qué raya queda A'? ¿Cuántas casillas hay de A hasta A'?
Ver la solución paso a paso
Primero, la distancia de A al eje:
$$5 - 2$$
A está a $3$ casillas del eje.
A' queda a la misma distancia, del otro lado:
$$5 + 3$$
A' queda sobre la raya $8$.
De A hasta A' son las casillas de un lado del eje más las del otro:
$$3 + 3$$
Son $6$ casillas.
Respuesta: A' queda sobre la raya 8. Entre A y A' hay 6 casillas: 3 a cada lado del eje.
Ejes de simetría
Algunas figuras se pueden doblar por una línea y sus dos mitades quedan justo una encima de la otra. Esa línea es un eje de simetría de la figura.
Recorta un cuadrado de papel. Puedes doblarlo por la mitad de arriba abajo, de lado a lado y por las dos diagonales: tiene cuatro ejes de simetría. Ahora recorta un rectángulo que no sea cuadrado. Dóblalo por una diagonal: ¡las puntas no coinciden! El rectángulo solo tiene dos ejes, los que lo parten por la mitad.
En el entorno hay muchos ejes de simetría: el de una mariposa, el de una hoja de guayabo, el de una ventana de dos hojas iguales. Una figura que no se puede doblar así, como la letra F, no tiene ningún eje.
Recuerda lo más importante de la lección: trasladar, rotar y reflejar no cambian la forma ni el tamaño. Solo cambian el lugar o la dirección hacia donde mira la figura.
Práctica
Un vértice está sobre la raya 2 de abajo. La figura se traslada 6 casillas a la derecha. ¿Sobre qué raya de abajo queda el vértice?
Ir a la derecha suma: 2 + 6 = 8.
Un vértice está sobre la raya 9 de abajo. La figura se traslada 7 casillas a la izquierda. ¿Sobre qué raya queda?
Ir a la izquierda resta: 9 − 7 = 2.
Al trasladar una figura, su vértice A pasa de la raya 2 a la raya 7 de abajo, sin subir ni bajar. ¿Cuántas casillas a la derecha se movió la figura?
Se cuentan las casillas entre las dos rayas: 7 − 2 = 5. Todos los demás vértices también se mueven 5 casillas a la derecha.
El eje de simetría está sobre la raya 6 y el vértice A, sobre la raya 1, a la izquierda del eje. ¿Sobre qué raya queda A'?
A está a 6 − 1 = 5 casillas del eje. A' queda a 5 casillas del otro lado: 6 + 5 = 11.
Un punto está a 4 casillas del eje de simetría. ¿Cuántas casillas hay entre el punto y su reflejo?
El reflejo queda a 4 casillas del otro lado del eje. Entre los dos hay 4 + 4 = 8 casillas.
Un rectángulo mide 4 casillas de largo y 2 de alto. Se rota un cuarto de vuelta. ¿Cuántas casillas mide ahora de alto?
Al girar, el largo se para y queda de alto: 4 casillas. El rectángulo no crece ni se encoge; ahora mide 2 de largo y 4 de alto.
Un punto está 3 casillas a la derecha del centro de giro. Se rota media vuelta. ¿Cuántas casillas hay entre el punto y su imagen?
Con media vuelta, lo que estaba a la derecha queda a la izquierda, a 3 casillas del centro. Entre el punto y su imagen hay 3 + 3 = 6 casillas.
Mira la figura de la L y su reflejo. ¿Qué movimiento lleva la L de la izquierda a la de la derecha?
Si fuera una traslación, el pie de la L seguiría mirando a la derecha. En la imagen mira a la izquierda: la L se volteó sobre el eje.
Felipe recortó una L de cartulina con el pie hacia la derecha. Quiere que le quede como la L del espejo, con el pie hacia la izquierda, sin levantarla del pupitre. ¿Lo logra girándola?
Con media vuelta el pie mira a la izquierda, pero la L queda de cabeza, con el pie arriba. Ningún giro ni ninguna traslación dan la L del espejo: hay que voltearla, que es reflejarla.
Daniela dobla un rectángulo de papel, que no es cuadrado, por una de sus diagonales. ¿Qué pasa?
Las dos mitades son triángulos iguales, pero al doblar por la diagonal las puntas no caen una encima de la otra. El rectángulo tiene solo dos ejes: los que lo parten por la mitad a lo largo y a lo ancho.
Reto
Abre el candado de los movimientos.
Cada pregunta da una cifra. Cuenta casillas; recuerda que mover no cambia el tamaño.
Reto
Al mover una figura, ¿qué cambia?
Piensa en una figura de cartulina que deslizas, giras o volteas sobre la mesa.
Reto
Une cada movimiento con lo que hace.
Imagina que haces cada movimiento con una figura de cartulina.
Cierre
En resumen
Trasladar es deslizar la figura sin girarla; cada vértice se mueve las mismas casillas hacia el mismo lado.
Rotar es girar la figura alrededor de un centro un cuarto, media o tres cuartos de vuelta; cambia hacia dónde mira, no su tamaño.
Reflejar es voltear la figura sobre un eje; cada punto queda al otro lado, a la misma distancia.
Una figura reflejada no se obtiene girando sobre la mesa; hay que voltearla.
Los tres movimientos conservan la forma y el tamaño de la figura.
Vocabulario
- Traslación
Mover una figura deslizándola en línea recta, sin girarla ni voltearla. Todos sus puntos se mueven lo mismo y hacia el mismo lado.
- Rotación
Girar una figura alrededor de un punto fijo, que se llama centro de giro, como gira la manecilla del reloj alrededor de su clavo.
- Reflexión
Voltear una figura sobre una recta, como se ve en un espejo. A esa recta se le llama eje.
- Eje de simetría
La línea que parte una figura en dos mitades que quedan una encima de la otra al doblar por ella.
- Imagen
La figura que resulta después de mover otra. Sus vértices se nombran con la misma letra y una rayita: A', B'.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a un niño que se pare frente al grupo y levante la mano derecha; el grupo hace de espejo. Pregunte qué mano levantaron. Introduzca los tres movimientos con una figura de cartulina sobre el escritorio.
- Explicación · 15 min — Cada niño recorta una L de cartulina con tijeras de punta roma. En el tablero cuadriculado se traslada el triángulo, se gira el bastón con un lápiz clavado en O (un dedo sirve de clavo) y se refleja la L doblando una hoja. Que intenten obtener la L reflejada solo girándola sobre el pupitre.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. El candado, las cestas y el dominó en parejas: uno hace un movimiento con la cartulina y el otro lo nombra.
- Cierre · 5 min — Cada pareja busca en el salón un objeto con un eje de simetría y otro sin ninguno, y los muestra.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no puedes obtener la L del espejo girando la L sobre la mesa?
- Si giras un palito de 3 casillas un cuarto de vuelta, ¿cuánto mide ahora?
- ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? ¿Y un rectángulo?
- Al trasladar el triángulo, ¿qué vértice se mueve más?
Errores típicos
- Confundir la reflexión con la traslación o con el giro: creer que la L reflejada se obtiene girando la L. Que cada niño intente obtener la imagen girando su L de cartulina sin levantarla. Al no lograrlo, que la voltee: eso es reflejar.
- Creer que al rotar un cuarto de vuelta la figura cambia de tamaño o de forma (el rectángulo «se hace más alto»). Medir con una tira de papel cada lado antes y después de girar la cartulina. Las medidas no cambian; solo hacia dónde apuntan.
- Mover solo un vértice al trasladar, o mover cada vértice una cantidad distinta. Pida mover un vértice a la vez y contar en voz alta las casillas de cada uno, con la misma cuenta para todos.
- Al reflejar, poner la imagen a una distancia distinta del eje, o medir desde el borde de la cuadrícula. Contar siempre desde el eje: tantas casillas de un lado, tantas del otro. Comprobar doblando la hoja por el eje.
- Creer que las diagonales de un rectángulo son ejes de simetría. Doblar un rectángulo de papel por la diagonal y ver que las puntas no coinciden.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en la casa tres objetos con un eje de simetría y dibujarlos con su eje. Dibujar en una hoja cuadriculada una figura sencilla y su imagen trasladada 4 casillas a la derecha.