Ampliar y reducir
Lo que vas a aprender
- Ampliar y reducir una figura en la cuadrícula multiplicando o dividiendo todos sus lados por el mismo número.
- Calcular los lados y el perímetro de una figura ampliada o reducida.
- Decidir si una imagen es una ampliación, una reducción o una deformación, y explicar por qué.
- Reconocer en el entorno cosas que cambian de tamaño y cosas que cambian de forma.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La familia de Francisco pasó las vacaciones en la finca de los abuelos. Tomaron una foto de la casa para recordar el paseo. Francisco quiere poner la foto en su cuarto, pero es muy grande para el marco: necesita una copia más pequeña. Su hermana, en cambio, quiere dibujar la casa dos veces más grande para un cartel.
En la papelería, la fotocopiadora tiene un botón para ampliar y otro para reducir. En el celular, con dos dedos, haces más grande una foto y no se deforma. Pero si la estiras solo a lo ancho, la gente sale ancha. ¿Qué pasó?
En esta lección vas a aprender a ampliar y reducir sin dañar la forma. Y vas a saber reconocer cuándo una imagen está deformada.
Explicación
Ampliar: multiplicar todos los lados
Para dibujar la casa de la finca dos veces más grande, es decir, al doble, cada medida tiene que quedar el doble de larga. Si la pared tenía 4 cuadritos de ancho, ahora tiene dos veces 4. Si el techo subía 2 cuadritos, ahora sube dos veces 2.
La regla es: todas las medidas se multiplican por el mismo número. Al doble, por 2. Al triple, por 3. Así la figura crece, pero sigue siendo la misma casa: la forma no cambia. Es como en la receta de la limonada: lo que le haces a una medida, se lo haces a todas.
A la izquierda, la casa de la foto: la pared tiene 4 cuadritos de ancho y 2 de alto, y el techo sube 2. A la derecha, la casa al doble: la pared tiene 8 de ancho y 4 de alto, y el techo sube 4.
Ejemplo resuelto
La casa de la finca al doble
En la foto, la pared de la casa mide 4 cuadritos de ancho y 2 de alto, y el techo sube 2 cuadritos. ¿Cuánto mide cada cosa en el dibujo al doble? ¿Qué pasa con el perímetro de la pared?
Ver la solución paso a paso
El ancho de la pared se multiplica por 2:
$$2 \times 4$$
Ahora mide $8$ cuadritos de ancho.
El alto de la pared y lo que sube el techo, también por 2:
$$2 \times 2$$
Cada uno mide $4$ cuadritos.
El perímetro de la pared pequeña es la suma de sus cuatro lados:
$$4 + 2 + 4 + 2$$
Mide $12$ cuadritos.
El de la pared grande:
$$8 + 4 + 8 + 4$$
Mide $24$ cuadritos.
El perímetro también quedó al doble:
$$2 \times 12 = 24$$
Respuesta: La pared queda de 8 cuadritos de ancho y 4 de alto, y el techo sube 4. El perímetro de la pared pasa de 12 a 24 cuadritos: también se duplica.
El error de sumar
Laura quiso ampliar la casa al doble, pero en vez de multiplicar, sumó 2 a cada medida. La pared de 4 por 2 le quedó de 6 por 4, y el techo subió 4. Mira su dibujo en la figura de abajo: la casa quedó más angosta y más alta que la de la foto. ¡Ya no parece la misma casa!
¿Por qué? En la foto, la pared es el doble de ancha que de alta: 4 es el doble de 2. En el dibujo de Laura, 6 ya no es el doble de 4. La relación entre las medidas cambió, y por eso cambió la forma.
Sumar lo mismo a todas las medidas deforma la figura. Para conservar la forma hay que multiplicar todas las medidas por el mismo número.
A la izquierda, la casa de Laura, que sumó 2 a cada medida: pared de 6 por 4 y techo de 4. Quedó angosta y alta. A la derecha, la casa bien ampliada al doble: pared de 8 por 4 y techo de 4.
Ejemplo resuelto
¿Por qué se dañó la casa de Laura?
La pared de la foto mide 4 de ancho y 2 de alto. Laura sumó 2 a cada medida. ¿Conserva la forma? ¿Cómo debía quedar?
Ver la solución paso a paso
Laura sumó 2 al ancho:
$$4 + 2$$
Le quedó de $6$ cuadritos de ancho.
Y sumó 2 al alto:
$$2 + 2$$
Le quedó de $4$ cuadritos de alto.
En la foto, el ancho es el doble del alto:
$$4 = 2 \times 2$$
En el dibujo de Laura, el ancho ya no es el doble del alto: le faltan cuadritos de ancho.
$$6 < 2 \times 4$$
Multiplicando por 2, el ancho correcto es:
$$2 \times 4$$
Debía medir $8$ cuadritos de ancho, el doble de los 4 de alto.
Respuesta: No conserva la forma: la pared de Laura mide 6 por 4 y la casa queda angosta. Al doble, la pared debía medir 8 por 4.
Reducir: dividir todos los lados
Reducir es lo contrario de ampliar: la figura se hace más pequeña, pero sin cambiar de forma. Ahora todas las medidas se dividen por el mismo número. A la mitad, cada medida se divide entre 2.
Francisco tiene la foto de 6 cm de ancho y 4 cm de alto. En la papelería le muestran tres copias pequeñas. ¿Cuál es una reducción de su foto? Para saberlo, revisa si todas las medidas se dividieron por el mismo número.
La foto de Francisco, de 6 por 4, y tres copias: a, de 3 por 2; b, de 3 por 4; c, de 4 por 2. Solo una es una reducción.
Ejemplo resuelto
La foto de Francisco
La foto mide 6 cm de ancho y 4 cm de alto. La copia a mide 3 por 2, la b mide 3 por 4 y la c mide 4 por 2. ¿Cuál es una reducción?
Ver la solución paso a paso
Copia a: el ancho pasó de 6 a 3. Se dividió entre:
$$6 \div 3$$
Entre $2$. Y el alto pasó de 4 a 2: también se dividió entre 2.
Las dos medidas se dividieron por el mismo número. La razón entre ancho y alto es la misma:
$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$
Copia b: el ancho se dividió entre 2, pero el alto se quedó en 4. Quedó angosta: la razón cambió.
$$\frac{3}{4} < \frac{6}{4}$$
Copia c: a cada medida le restaron 2. Restar, como sumar, deforma: quedó más alargada.
$$\frac{4}{2} > \frac{6}{4}$$
Respuesta: La copia a es la reducción: sus dos medidas son la mitad de las de la foto. La b y la c están deformadas.
¿Qué cambia y qué no cambia?
Al ampliar o reducir bien una figura:
- Cambian los largos de los lados y el perímetro: todos crecen o se encogen por el mismo número.
- No cambia la forma: las esquinas rectas siguen rectas, y lo que era el doble de largo sigue siendo el doble de largo.
Ojo: ampliar al doble no significa que todo quede al doble. Los lados y el perímetro sí se duplican. Pero si cuentas los cuadritos de adentro de la pared pequeña y de la grande, verás que la grande tiene mucho más que el doble. Por qué pasa eso lo vas a estudiar en 5.º.
Cosas del entorno que cambian
Un mapa es una reducción: el pueblo cabe en una hoja y conserva su forma. Una fotocopia ampliada es una ampliación: las letras crecen, pero siguen siendo las mismas.
Otras cosas cambian de forma, no solo de tamaño. Tu sombra en el patio es corta al mediodía y muy larga y flaca al atardecer: se estira más en un sentido que en otro. Los espejos curvos de la feria te ponen cabezón o te alargan las piernas. Y una foto que estiras solo a lo ancho en el celular deja a todos gordos. Ninguna de esas es una ampliación: son deformaciones.
Práctica
Un rectángulo mide 5 cuadritos de largo y 3 de alto. Se amplía al triple. ¿Cuántos cuadritos mide de largo?
Al triple, cada lado se multiplica por 3: 3 × 5 = 15 cuadritos de largo. El alto queda de 3 × 3 = 9.
Un rectángulo de 5 cuadritos de largo y 3 de alto se amplía al doble. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ampliado, en cuadritos?
Ampliado al doble mide 10 de largo y 6 de alto. Su perímetro es 10 + 6 + 10 + 6 = 32 cuadritos, el doble de los 16 del rectángulo pequeño.
Ana quiso ampliar al doble un rectángulo de 3 cuadritos de largo y 2 de alto, y le quedó de 5 por 4. ¿Cuánto debía medir de largo?
Al doble, el largo se multiplica por 2: 2 × 3 = 6. Ana sumó 2 en vez de multiplicar, y por eso le quedó de 5.
Un rectángulo de 12 cm de largo y 8 cm de alto se reduce a la mitad. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo reducido, en cm?
A la mitad mide 12 ÷ 2 = 6 cm de largo y 8 ÷ 2 = 4 cm de alto. Su perímetro es 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm.
Un dibujo mide 14 cm de largo. La fotocopiadora lo reduce a la mitad. ¿Cuántos centímetros de largo mide la copia?
Reducir a la mitad es dividir entre 2: 14 ÷ 2 = 7 cm.
Al ampliar una figura, un lado pasó de 4 cuadritos a 12. ¿Por qué número se multiplicaron todos los lados?
12 ÷ 4 = 3: se amplió al triple. El 8 sale de restar, 12 − 4, pero ampliar no es sumar: los demás lados también se multiplican por 3.
Una pared de 4 por 2 se agranda sumando 2 a cada medida y queda de 6 por 4. ¿Es cierto que la razón entre el ancho y el alto no cambió, o sea, $\frac{4}{2} = \frac{6}{4}$?
4/2 vale 2 y 6/4 vale menos de 2. La razón cambió, y por eso la pared perdió su forma: sumar deforma.
Una foto mide 6 por 4 y su copia mide 3 por 2. ¿Es cierto que tienen la misma razón entre ancho y alto, o sea, $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$?
Las dos fracciones son equivalentes: 6/4 se simplifica a 3/2. La copia es una reducción a la mitad.
Un triángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cuadritos. Se amplía al doble. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ampliado, en cuadritos?
Al doble, los lados miden 6, 8 y 10. Su perímetro es 6 + 8 + 10 = 24 cuadritos.
Pedro estiró en el celular la foto de su perro solo a lo ancho. El perro quedó gordo y bajito. ¿Es una ampliación?
En una ampliación todas las medidas se multiplican por el mismo número. Si solo crece el ancho, la forma cambia: el perro queda gordo. Para ampliar sin deformar hay que agrandar a lo ancho y a lo alto por igual.
¿Cuál de estas cosas cambia de forma, y no solo de tamaño?
La fotocopia, el mapa y la foto reducida cambian de tamaño, pero todas sus medidas cambian por el mismo número: conservan la forma. La sombra al atardecer se estira mucho a lo largo y poco a lo ancho: cambia de forma.
Reto
Amplía y reduce la casa de la finca.
Ampliar es multiplicar; reducir es dividir. Todas las medidas por el mismo número.
Reto
¿Conserva la forma o la cambia?
Piensa si todas las medidas crecen o se encogen por el mismo número.
Reto
Busca las palabras de ampliar y reducir.
Encuentra las seis palabras. Pueden ir de lado o hacia abajo.
Cierre
En resumen
Ampliar es hacer una figura más grande multiplicando todas sus medidas por el mismo número.
Reducir es hacerla más pequeña dividiendo todas sus medidas por el mismo número.
Al ampliar o reducir bien, los lados y el perímetro cambian, pero la forma se conserva.
Sumar o restar lo mismo a todas las medidas deforma la figura.
Una imagen estirada solo en un sentido, una sombra larga o un espejo curvo cambian la forma; no son ampliaciones.
Vocabulario
- Ampliar
Hacer una figura más grande sin cambiarle la forma: todos sus lados se multiplican por el mismo número.
- Reducir
Hacer una figura más pequeña sin cambiarle la forma: todos sus lados se dividen por el mismo número.
- Deformar
Cambiarle la forma a una figura, por ejemplo estirándola solo a lo ancho. Una figura deformada no es una ampliación ni una reducción.
- Perímetro
El largo del borde de una figura: la suma de todos sus lados.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una foto impresa (inventada, de una casa o un paisaje) y una copia estirada a lo ancho. Pregunte cuál parece la misma imagen y por qué.
- Explicación · 15 min — En papel cuadriculado, cada niño dibuja la casa de la foto y la amplía al doble contando cuadritos. Luego se muestra el dibujo de Laura, que sumó 2, y se comparan. Termine con las tres copias de la foto de Francisco.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales. Los huecos y las cestas en parejas; la sopa para quien termine primero. Si hay patio y es temprano o tarde, salgan con el docente a ver sus sombras: se miran las sombras en el piso, nunca el sol.
- Cierre · 5 min — Cada pareja explica con sus palabras por qué la casa de Laura no es una ampliación.
Preguntas para el salón
- Si amplío al doble, ¿qué le pasa a cada lado? ¿Y al perímetro?
- ¿Por qué sumar 2 a cada lado daña la forma de la casa?
- ¿Un mapa es una ampliación o una reducción? ¿Por qué conserva la forma del pueblo?
- ¿Por qué tu sombra al atardecer no es una ampliación tuya?
Errores típicos
- Al ampliar al doble, sumar 2 a cada lado en vez de multiplicar por 2. Dibujar las dos versiones en cuadrícula, una al lado de la otra, y comparar con la original. La forma deformada se nota a simple vista. Recordar la limonada: para conservar el sabor se multiplica.
- Multiplicar solo una medida (el ancho) y dejar la otra igual. Pida revisar todas las medidas, una por una, con la regla «lo que le haces a una, se lo haces a todas».
- Creer que al ampliar al doble el área también se duplica. No se desarrolla aquí (es de mat-5 u6-l04). Basta con que cuenten los cuadritos de la pared pequeña y de la grande y vean que la grande tiene más del doble.
- Llamar ampliación a cualquier imagen más grande, aunque esté estirada. Comparar la razón entre ancho y alto de la imagen y de la original: si cambió, la imagen está deformada.
Tarea sugerida
Con un adulto, dibujar en papel cuadriculado un objeto de la casa (una ventana, una mesa) con medidas en cuadritos y dibujarlo otra vez al doble. Buscar en la casa algo que sea una reducción de otra cosa, como un carrito de juguete o un mapa.