¿Azar o certeza?
Lo que vas a aprender
- Distinguir una situación aleatoria de una determinística en la vida diaria.
- Usar con sentido las palabras azar, posibilidad, aleatorio y determinístico.
- Anticipar y contar todos los resultados posibles de una situación aleatoria.
- Explicar por qué «casi seguro» no es lo mismo que «seguro».
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Empieza la final del campeonato. El árbitro llama a los dos capitanes y lanza una moneda al aire para decidir quién escoge cancha. Nadie sabe qué va a caer. En cambio, todos saben que después de octubre viene noviembre.
Hay cosas que se saben antes de que pasen y cosas que dependen del azar. En esta lección vas a aprender a distinguirlas, a usar las palabras justas para hablar de ellas y a contar todos los resultados que pueden salir.
Explicación
Dos clases de situaciones
Piensa en estas dos preguntas:
- ¿Qué mes viene después de octubre?
- ¿Qué cara de la moneda va a caer?
La primera tiene una sola respuesta, y la sabes desde ya: noviembre. No importa cuántas veces lo preguntes, siempre será noviembre. Una situación así se llama determinística: su resultado se sabe con exactitud antes de que pase.
La segunda puede terminar de dos maneras: cara o sello. Antes de lanzar, nadie puede saber cuál va a caer, ni el árbitro ni el mejor jugador. Una situación así se llama aleatoria, y decimos que depende del azar.
Para saber si hay azar, hazte dos preguntas:
- ¿Puede terminar de más de una manera?
- ¿Es imposible saber, antes de que pase, cuál de esas maneras va a ocurrir?
Si las dos respuestas son «sí», la situación es aleatoria. Si se puede saber el resultado con exactitud, es determinística.
No saber no es lo mismo que azar
Hay una trampa. A veces tú no sabes algo, pero eso no quiere decir que sea azar. Por ejemplo, el menú de las onces de mañana. Tú no lo sabes todavía, pero no lo decide el azar: lo escogen en la cocina siguiendo la minuta, y basta mirar la cartelera para saberlo. Alguien ya lo sabe con exactitud. Por eso no es aleatorio.
Los cuatro casos del campeonato
Miremos cuatro situaciones del colegio:
- La cancha de la final, con una moneda: aleatoria. Puede caer cara o sello.
- El nombre del mes que viene: determinística. Se sabe siempre.
- El menú de las onces: no depende del azar. Lo decide una persona, y está escrito.
- Armar dos equipos de fútbol: ¡depende de cómo se armen! Si los dos capitanes escogen a sus jugadores, deciden personas, no el azar. Si se cuentan «uno, dos» en la fila, cada uno sabe su equipo desde que sabe su puesto: es determinística. Pero si cada uno saca un papelito de una bolsa, sin mirar, es aleatoria.
Fíjate en que una misma tarea puede tener azar o no, según la forma de hacerla.
Ejemplo resuelto
Los equipos del recreo
En la fila hay 12 estudiantes y se cuentan «uno, dos, uno, dos…» para armar dos equipos. ¿Cuántos quedan en cada equipo? Sofía es la séptima de la fila: ¿en qué equipo queda?
Ver la solución paso a paso
Los 12 estudiantes se reparten en dos equipos por igual:
$$12 \div 2$$
Quedan $6$ en cada equipo.
Para Sofía, contamos: 1 uno, 2 dos, 3 uno, 4 dos… Hasta el 6 se completan 3 parejas «uno, dos», y el 7 empieza otra:
$$7 = \left(3 \times 2\right) + 1$$
El 7 dice «uno»: Sofía queda en el equipo uno. Los puestos impares (1, 3, 5, 7…) quedan en el equipo uno y los pares (2, 4, 6…), en el dos.
Respuesta: Seis en cada equipo, y Sofía en el equipo uno. Con este método se sabe el equipo de cada uno antes de empezar: es determinístico. Si sacaran papelitos de una bolsa, sería aleatorio.
Anticipar todos los resultados
En una situación aleatoria no sabemos qué va a salir. Pero sí podemos decir todo lo que puede salir. Cada una de esas maneras es un resultado posible.
- Una moneda tiene dos resultados posibles: cara y sello.
- Un dado tiene seis: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
- Una ruleta de cuatro colores (rojo, azul, verde y amarillo) tiene cuatro.
Para no olvidar ninguno, haz una lista en orden. Si la lista tiene un solo resultado, no hay azar: la situación es determinística, como el mes que viene.
Los seis resultados posibles al lanzar un dado. Antes de lanzarlo se sabe que caerá una de estas caras, pero no cuál.
Ejemplo resuelto
Las balotas de la rifa
Para la rifa del bazar, en una bolsa hay balotas numeradas del 11 al 25, una de cada número. Se saca una sin mirar. ¿Cuántos resultados posibles hay?
Ver la solución paso a paso
Si contamos del 1 al 25 hay 25 números, pero los del 1 al 10 no están en la bolsa. Los quitamos:
$$25 - 10$$
Quedan $15$ números.
Lo comprobamos de otra forma: del 11 al 25 hay que contar el 11 también.
$$25 - 11 + 1 = 15$$
Respuesta: Hay 15 resultados posibles: del 11 al 25. Restar solo 25 − 11 da 14 y deja un número por fuera.
Seguro, casi seguro y poco posible
En tercero ordenaste lo que puede pasar en una escala: imposible, poco posible, muy posible y seguro. Hay dos errores que se cuelan aquí.
Primer error: creer que «casi seguro» es «seguro». Imagina una bolsa con nueve balotas rojas y una azul. Si sacas una sin mirar, lo más posible es que salga roja. Es casi seguro. Pero no es seguro: la azul está ahí, y puede salir. Seguro es solo lo que pasa siempre, sin ninguna excepción, como que salga una balota de la bolsa.
Segundo error: creer que lo poco posible nunca pasa. Sacar la balota azul es poco posible, pero no imposible. Si lo intentas muchas veces, es muy posible que alguna vez salga, aunque nadie puede saber cuándo. Imposible es lo que no puede pasar nunca, como sacar una balota verde de esa bolsa, donde no hay verdes.
Una práctica en el salón
Con tu profesor o profesora, en parejas, lancen una moneda diez veces y anoten cada resultado. Antes de cada lanzamiento, digan qué creen que va a caer. ¿Acertaron siempre? Seguro que no: es azar. Lancen la moneda sobre la mesa o sobre un cuaderno, sin tirarla lejos, y devuélvanla al terminar.
Ejemplo resuelto
Casi seguro, pero no seguro
En una bolsa hay 9 balotas rojas y 1 azul. ¿Cuántas balotas hay? ¿Cuántos colores pueden salir? ¿Es seguro que salga roja?
Ver la solución paso a paso
Contamos todas las balotas:
$$9 + 1$$
Hay $10$ balotas en la bolsa.
Pero los colores que pueden salir son solo rojo y azul: dos resultados posibles.
Hay muchas más rojas que azules, así que la roja es casi segura. Pero hay una azul, así que la roja no es segura.
$$9 > 1$$
Respuesta: Hay 10 balotas y dos colores posibles. Que salga roja es casi seguro, pero no seguro: la azul es poco posible, y aun así puede salir.
En la bolsa hay 9 balotas rojas y 1 azul. Saca muchas veces: casi siempre sale roja, pero de vez en cuando sale la azul. Casi seguro no es seguro.
Práctica
La ruleta del bazar tiene 5 colores: rojo, azul, verde, amarillo y blanco. Se gira una vez. ¿Cuántos resultados posibles hay?
Puede caer en cualquiera de los cinco colores: hay cinco resultados posibles. Se sabe lo que puede salir, pero no cuál saldrá.
En otra rifa, las balotas van numeradas del 21 al 40, una de cada número. ¿Cuántos resultados posibles hay al sacar una?
Del 1 al 40 hay 40 números; sin los 20 primeros (del 1 al 20) quedan 20. Ojo: 40 − 21 da 19 y se olvida del 21.
¿Cuántos resultados posibles tiene la pregunta «¿qué mes viene después de marzo?»?
Solo puede ser abril. Tiene un único resultado, y se sabe antes: es una situación determinística, sin azar.
Para armar tres equipos, la fila se cuenta «uno, dos, tres, uno, dos, tres…». Tomás es el 14 de la fila. ¿En qué equipo queda? Escribe el número del equipo.
De tres en tres, 12 completa cuatro vueltas (12 ÷ 3 = 4) y sobran 2: el 13 dice «uno» y el 14 dice «dos». Tomás sabe su equipo antes de contar: no hay azar.
Para escoger el día de la salida pedagógica, se escriben los días de la semana en papelitos, sin el sábado ni el domingo, y se saca uno sin mirar. ¿Cuántos resultados posibles hay?
La semana tiene siete días; sin el sábado y el domingo quedan cinco: lunes, martes, miércoles, jueves y viernes. Hacer la lista ayuda a no olvidar ninguno.
¿Cuál de estas situaciones es aleatoria?
El papelito puede ser de cualquier compañero y nadie sabe cuál saldrá: hay azar. Después del martes siempre viene el miércoles, el menú ya lo decidió alguien y el conteo da siempre lo mismo.
Juan dice: «Si en la bolsa hay 9 balotas rojas y 1 azul, es seguro que saco roja». ¿Tiene razón?
Seguro es lo que pasa siempre, sin excepción. Mientras haya una balota azul en la bolsa, puede salir. Por eso la roja es casi segura, no segura.
Laura nunca ha sacado un 6 en el parqués de la casa en toda la tarde. Dice que el 6 «ya no puede salir». ¿Qué le respondes?
El 6 es una de las seis caras del dado: es posible en cada lanzamiento. Lo que no ha pasado no se vuelve imposible, pero tampoco se vuelve seguro. Es azar.
Para armar dos equipos, el profesor deja que los capitanes escojan, uno por uno, a sus jugadores. ¿Hay azar?
Los capitanes escogen pensando en quién quieren; no es azar, aunque tú no sepas de antemano qué van a escoger. Habría azar si los equipos se sortearan con papelitos.
Reto
¿Hay azar o no hay azar?
Pregúntate: ¿se puede saber con exactitud el resultado antes de que pase?
Reto
Completa el crucigrama del azar.
Lee cada pista y escribe la palabra.
Reto
Abre el candado de los resultados posibles.
Cada pista da una cifra: cuenta todos los resultados posibles.
Cierre
En resumen
Una situación es determinística si su resultado se sabe con exactitud antes de que pase.
Una situación es aleatoria si puede terminar de varias maneras y no se sabe cuál hasta que pasa.
Que tú no sepas algo no lo vuelve azar; y una misma tarea puede tener azar o no, según cómo se haga.
Los resultados posibles se anticipan con una lista ordenada; si hay uno solo, no hay azar.
Casi seguro no es seguro, y lo poco posible también puede pasar.
Vocabulario
- Azar
Lo que hace que no se pueda saber el resultado antes de que pase, como al lanzar una moneda.
- Situación aleatoria
Una situación que puede terminar de varias maneras y no se sabe cuál hasta que pasa. Lanzar un dado es aleatorio.
- Situación determinística
Una situación cuyo resultado se sabe con exactitud antes de que pase. Después de octubre viene noviembre.
- Resultado posible
Cada una de las maneras en que puede terminar una situación aleatoria. La moneda tiene dos: cara y sello.
- Posibilidad
Qué tanto puede pasar algo. Un resultado puede ser imposible, poco posible, muy posible o seguro.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lance una moneda y pida que adivinen; luego pregunte qué mes viene después de este. Pregunte en qué se diferencian las dos preguntas.
- Explicación · 15 min — Las dos preguntas para reconocer el azar; el menú de las onces (no saber no es azar); los cuatro casos del campeonato; contar resultados posibles con moneda, dado y ruleta; la bolsa de nueve rojas y una azul.
- Práctica · 20 min — Diez lanzamientos de moneda por pareja sobre la mesa, con predicción antes de cada uno (5 min). Luego las preguntas y los retos.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una situación con azar y otra sin azar del colegio o de la casa, y la explica al salón.
Preguntas para el salón
- Si no sé lo que hay de almuerzo, ¿eso es azar? ¿Quién sí lo sabe?
- ¿Cómo se puede armar dos equipos con azar? ¿Y sin azar?
- Si en la bolsa hay 99 balotas rojas y 1 azul, ¿puede salir la azul?
Errores típicos
- Creer que «casi seguro» es lo mismo que «seguro». Haga la bolsa con nueve fichas de un color y una de otro y saquen varias veces, devolviendo la ficha, hasta que salga la distinta.
- Creer que lo poco probable no puede pasar nunca. Distinga en el tablero «poco posible» (está en la bolsa) de «imposible» (no está en la bolsa).
- Confundir no saber algo con que sea azar (el menú de las onces). Pregunte si alguien en el colegio ya conoce ese resultado; si alguien lo sabe con exactitud, no es azar.
- Al contar balotas numeradas del 11 al 25, restar 25 − 11 y olvidar el primero. Pida contar con los dedos un caso pequeño (del 3 al 5 son tres números: 3, 4, 5) y comparar con la resta.
- Creer que después de muchos lanzamientos sin un resultado, ese resultado ya no sale o sale seguro. Recuerde que la moneda y el dado no tienen memoria: cada lanzamiento empieza de nuevo.
Tarea sugerida
Con un adulto, buscar en la casa o en el barrio dos situaciones con azar (un juego de mesa, una rifa) y dos sin azar (el horario del bus, el día que viene). Para las que tienen azar, escribir la lista de todos los resultados posibles.