Elegir las operaciones de un problema
Lo que vas a aprender
- Leer y escribir el millón como mil veces mil.
- Decidir qué operaciones resuelven un problema y en qué orden, sin guiarse solo por palabras como «más» o «quedan».
- Reconocer en un problema el dato que sobra o el dato que falta.
- Comprobar un resultado con la operación inversa.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Doña Rosa tiene una tienda en el barrio. Todos los días hace cuentas: cuánto le llegó, cuánto vendió, cuánto le queda. En la finca de tu tío pasa lo mismo con las naranjas, y en el colegio, con los pupitres y los buses.
Hacer una cuenta es fácil cuando ya sabes cuál hacer. Lo difícil es elegir: ¿sumo, resto, multiplico o divido? ¿Qué hago primero? En esta lección vas a aprender a leer un problema como un detective. Vas a buscar qué te preguntan, qué datos sirven y cuáles sobran. Y al final vas a comprobar que tu respuesta tiene sentido.
Explicación
Un número nuevo: el millón
Ya sabes contar hasta 999 999. ¿Qué número sigue? Si le sumas 1, llegas a un millón, que se escribe 1 000 000. Fíjate en los grupos de tres cifras: el millón tiene seis ceros.
Un millón es mil veces mil. Imagina mil bolsas, y en cada bolsa mil granos de maíz. Juntos son un millón de granos. En esta lección usamos números hasta el millón.
Qué hace cada operación
Antes de calcular, piensa qué pasa en el problema:
- Sumar es juntar o agregar. Llegan más cosas a las que ya había.
- Restar es quitar. También sirve para comparar: cuánto más tiene uno que otro, o cuánto falta para llegar a una meta.
- Multiplicar es repetir grupos iguales: 8 bolsas de 12 panes cada una.
- Dividir es repartir en partes iguales, o averiguar cuántos grupos iguales caben.
Cuidado con las palabras trampa
Muchos niños buscan una palabra en el problema y deciden por ella. Si dice «más», suman. Si dice «quedan», restan. Eso falla muchas veces.
Mira este caso: «Camila tiene 120 láminas más que Samuel». Aquí aparece «más», pero si te preguntan cuántas tiene Samuel, hay que restar, porque Samuel tiene menos. Y en «después de vender, le quedan 115», si te preguntan cuántas había antes, hay que sumar. La palabra no decide. Lo que decide es la situación. Si te ayuda, haz un dibujo con barras: una barra larga para el que tiene más y una corta para el otro.
Cuatro preguntas antes de calcular
- ¿Qué me preguntan? Escríbelo con tus palabras.
- ¿Qué datos tengo? A veces sobra un dato que no sirve para la pregunta. A veces falta uno, y entonces el problema no se puede resolver.
- ¿Qué operaciones necesito y en qué orden? En los problemas de varios pasos, el resultado de una cuenta es un dato para la siguiente.
- ¿Mi respuesta tiene sentido? Compruébala.
Comprobar con la operación inversa
Cada operación tiene otra que la deshace. La resta deshace la suma: si 350 − 120 da 230, entonces 230 + 120 tiene que dar 350. La división deshace la multiplicación: si repartes y luego multiplicas lo de cada parte por el número de partes, vuelves al total. Si al deshacer no llegas al número del principio, hay un error.
Ejemplo resuelto
Mil veces mil
Para la huerta escolar, el colegio quiere reunir 1 000 000 de pesos con una rifa. Cada boleta cuesta 1000 pesos. ¿Cuántas boletas tiene que vender?
Ver la solución paso a paso
Primero, el número nuevo. Si a 999 999 le sumas 1, llegas al millón:
$$999\,999 + 1 = 1\,000\,000$$
Cada boleta aporta 1000 pesos. Queremos saber cuántas veces cabe 1000 en un millón. Eso es una división:
$$1\,000\,000 \div 1000$$
El millón termina en seis ceros. Cuando un número termina en tres ceros o más, dividir entre 1000 es quitarle tres ceros:
$$1000$$
Comprobamos con la operación inversa. Mil boletas de mil pesos dan:
$$1000 \times 1000 = 1\,000\,000$$
Respuesta: Tiene que vender 1000 boletas. Un millón es mil veces mil.
Ejemplo resuelto
Dice «más», pero se resta
Camila tiene 350 láminas del álbum. Tiene 120 láminas más que su hermano Samuel. ¿Cuántas láminas tiene Samuel?
Ver la solución paso a paso
La palabra «más» invita a sumar. Pero piensa: ¿quién tiene más láminas? Camila. Entonces Samuel tiene menos que ella, y la respuesta tiene que ser menor que 350.
Camila tiene 120 láminas de más. Se las quitamos para llegar a las de Samuel:
$$350 - 120$$
Hacemos la resta.
$$230$$
Comprobamos: si a Samuel le damos 120 láminas, tiene que quedar igual que Camila.
$$230 + 120 = 350$$
Respuesta: $230$
Ejemplo resuelto
Dice «quedan», pero se suma
En la cafetería del colegio vendieron 285 empanadas en el descanso. Al final quedan 115. ¿Cuántas empanadas había al empezar?
Ver la solución paso a paso
«Quedan» suena a restar. Pero nos preguntan lo que había antes de vender. Al empezar estaban las que se vendieron y también las que sobraron. Hay que juntarlas:
$$285 + 115$$
Sumamos.
$$400$$
Comprobamos al revés: si de las que había quitamos las vendidas, deben quedar 115.
$$400 - 285 = 115$$
Respuesta: $400$
Ejemplo resuelto
Tres pasos y un dato que sobra
En la finca de don Aurelio trabajan 12 personas. El lunes recogen 2450 naranjas y el martes, 1830. Empacan todas en cajas de 40 naranjas y venden cada caja a 9000 pesos. ¿Cuánto dinero reciben?
Ver la solución paso a paso
¿Qué nos preguntan? El dinero de la venta. ¿Qué dato sobra? Las 12 personas: no cambian cuántas naranjas hay ni cuánto vale una caja.
Paso 1. Juntamos las naranjas de los dos días:
$$2450 + 1830$$
Sumamos.
$$4280$$
Paso 2. Averiguamos cuántas cajas de 40 se llenan. Hacer grupos iguales es dividir:
$$4280 \div 40$$
Dividimos.
$$107$$
Comprobamos la división con la multiplicación:
$$107 \times 40 = 4280$$
Paso 3. Cada caja vale 9000 pesos. Son grupos iguales de dinero, así que multiplicamos:
$$107 \times 9000$$
Multiplicamos.
$$963\,000$$
Respuesta: Reciben 963 000 pesos. El orden importa: sin saber cuántas naranjas hay, no se sabe cuántas cajas salen.
Huevos que se recogieron en la finca La Esperanza de lunes a viernes (datos inventados). Úsala en las tres primeras preguntas.
Práctica
Mira la gráfica de la finca La Esperanza. ¿Cuántos huevos se recogieron en total de lunes a viernes?
«En total» pide juntar los cinco días: 126 + 138 + 114 + 150 + 132 = 660 huevos. Un truco: 126 + 114 = 240 y 138 + 132 = 270, que son más fáciles de sumar.
En la misma gráfica, ¿cuántos huevos más se recogieron el jueves que el miércoles?
Aunque dice «más», es una comparación: se resta. 150 − 114 = 36. Si sumas, obtienes 264, que no responde la pregunta.
Todos los huevos de la semana de la gráfica se empacan en cubetas de 30. ¿Cuántas cubetas se llenan?
Son dos pasos. Primero el total: 660 huevos. Después se reparte en grupos de 30: 660 ÷ 30 = 22. Se comprueba con 22 × 30 = 660.
Mateo gastó 3500 pesos en la tienda y le quedan 6500. ¿Cuánto dinero tenía al salir de la casa?
Al salir tenía lo que gastó más lo que le queda: 3500 + 6500 = 10 000 pesos. La opción 3000 sale de restar porque dice «quedan»; pero entonces tendría menos de lo que le quedó, y eso no tiene sentido.
En un colegio hay 18 salones y cada salón tiene 32 pupitres. ¿Qué cuenta da el número total de pupitres?
Son 18 grupos iguales de 32 pupitres: se multiplica. 18 × 32 = 576. Sumar 18 + 32 = 50 sería contar salones y pupitres juntos, que no tiene sentido.
¿Cuántos billetes de 10 000 pesos se necesitan para juntar un millón de pesos?
Hay que ver cuántas veces cabe 10 000 en 1 000 000: 1 000 000 ÷ 10 000 = 100. Se comprueba al revés: 100 × 10 000 = 1 000 000.
¿Verdadero o falso? Mil veces mil es un millón: $1000 \times 1000 = 1\,000\,000$
Es verdad. Al multiplicar 1000 por 1000 se juntan los ceros: tres más tres son seis ceros, y queda 1 000 000.
La tienda de doña Rosa compra 24 paquetes de galletas. Cada paquete trae 12 galletas, y ella vende cada galleta a 500 pesos. Si vende todas, ¿cuántos pesos recibe?
Paso 1: cuántas galletas hay, 24 × 12 = 288. Paso 2: cuánto dinero dan, 288 × 500 = 144 000 pesos.
El bus del colegio sale vacío y en él caben 42 niños. En la primera parada suben 27 y en la segunda suben 9. El bus tiene 11 ventanas por lado. ¿Cuántos puestos quedan libres?
Las ventanas sobran: no dicen nada de los puestos. Primero se juntan los que subieron, 27 + 9 = 36, y luego se compara con los puestos: 42 − 36 = 6.
Lee el problema: «Una buseta lleva 25 pasajeros y cobra 2800 pesos por pasaje. Hace 4 viajes al día y en cada viaje recorre 18 kilómetros. Si va llena en cada viaje, ¿cuánto dinero recoge en un día?». ¿Qué dato sobra?
Para el dinero se necesita cuántos pasajeros van en cada viaje, cuánto paga cada uno y cuántos viajes hace: 25 × 2800 × 4. Los kilómetros no cambian el dinero.
Lee el problema: «Doña Rosa vende cada bolsa de leche a 3200 pesos. Hoy vendió todas las bolsas que le llegaron. ¿Cuánto dinero recibió por la leche?». ¿Qué pasa con este problema?
Para el dinero hay que multiplicar el número de bolsas por 3200 pesos, y el problema no dice cuántas bolsas eran. Falta un dato: así no se puede resolver.
Luisa dividió 4536 entre 7 y le dio 648. ¿Qué cuenta debe hacer para comprobarlo? Debe dar 4536.
La multiplicación deshace la división: 648 × 7 = 4536. Como vuelve al número del principio, la división está bien.
Reto
Resuelve el problema por pasos.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado de los problemas.
Cada problema da un dígito. Piensa qué pasa antes de elegir la operación.
Cierre
En resumen
Un millón es mil veces mil y se escribe 1 000 000; es el número que sigue a 999 999.
Antes de calcular se pregunta: qué me piden, qué datos sirven, qué operaciones hacen falta y en qué orden.
La operación se elige por lo que pasa en la situación, no por una palabra como «más» o «quedan».
Un problema puede traer un dato que sobra; si falta un dato, no se puede resolver.
La resta deshace la suma y la división deshace la multiplicación; con eso se comprueba el resultado.
Vocabulario
- Millón
El número que sigue a 999 999. Es mil veces mil y se escribe 1 000 000.
- Dato
Un número o una información que trae el problema.
- Operación inversa
La operación que deshace a otra. La resta deshace la suma, y la división deshace la multiplicación.
- Problema de varios pasos
Un problema que necesita dos o más operaciones, una después de la otra.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lea en voz alta el problema de Camila y pida que levanten la mano quienes sumarían. Discutan por qué Samuel tiene menos.
- Explicación · 15 min — El millón como mil veces mil; qué hace cada operación; las cuatro preguntas; los ejemplos en el tablero con un dibujo de barras para cada uno.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. En cada problema, el compañero dice qué dato sobra o qué operación no sirve.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un problema con la palabra «más» que se resuelva restando.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no basta con buscar la palabra «más» para saber que hay que sumar?
- Inventen un problema con un dato que sobra. ¿Cómo se dieron cuenta de que sobra?
- Si al comprobar con la operación inversa no llegan al número del principio, ¿qué hacen?
Errores típicos
- Elegir la operación por una palabra clave: sumar si dice «más», restar si dice «quedan». Pida que primero digan con sus palabras qué pasa y quién tiene más, y que dibujen dos barras antes de escribir la cuenta.
- Usar todos los números del enunciado, incluido el dato que sobra. Pida subrayar solo los datos que cambian la respuesta y tachar los demás antes de calcular.
- Hacer los pasos en otro orden (multiplicar el precio antes de saber cuántas cajas hay). Pida escribir qué averigua cada paso con una frase: «Paso 1: cuántas naranjas hay».
- Escribir 1 000 000 con un cero de más o de menos. Agrupe las cifras de tres en tres y lea «mil miles» en la tabla de valor posicional.
Tarea sugerida
Inventar dos problemas de la tienda del barrio: uno de dos pasos en el que «quedan» obligue a sumar, y otro con un dato que sobra. Resolverlos y comprobarlos con la operación inversa.