Propiedades para calcular y estimar
Lo que vas a aprender
- Usar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para calcular de memoria.
- Mostrar con un ejemplo que la resta y la división no son conmutativas ni asociativas.
- Redondear a la decena, la centena o el mil para estimar un resultado y juzgar si es razonable.
- Comprobar una división con la igualdad dividendo = (divisor × cociente) + residuo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el recreo no siempre hay lápiz ni calculadora. Si compras tres empanadas y un jugo, quieres saber rápido cuánto te deben devolver. Y si alguien te dice un resultado, quieres saber si tiene sentido.
En esta lección vas a aprender trucos que siempre funcionan para calcular de memoria. Esos trucos tienen nombre: son las propiedades de las operaciones. También vas a aprender a estimar, es decir, a calcular más o menos con números redondos. Y vas a ver cuáles trucos no sirven, para que no te hagan caer.
Explicación
Cambiar el orden: la propiedad conmutativa
En la suma y en la multiplicación puedes cambiar el orden de los números y el resultado no cambia. Tres bolsas de cinco mangos son tantos mangos como cinco bolsas de tres. Esto sirve para empezar por la cuenta más fácil.
Ojo: en la resta y en la división no funciona. A 12 le puedes quitar 5, pero a 5 no le puedes quitar 12. Y no es lo mismo repartir 12 panes entre 3 niños que repartir 3 panes entre 12 niños.
Agrupar de otra manera: la propiedad asociativa
Cuando sumas o multiplicas tres números, puedes juntar primero los dos que te convengan. Los paréntesis dicen qué se hace primero. Busca parejas amigas: dos números que sumen 100, o un 25 con un 4, que multiplicados dan 100.
Tampoco funciona en la resta ni en la división. Mira: si a 20 le quitas 8 y después 2, te quedan 10. Pero si primero calculas 8 menos 2 y eso se lo quitas a 20, te quedan 14. Cambiar los paréntesis cambió el resultado.
Partir un número: la propiedad distributiva
Para multiplicar por un número difícil, pártelo en partes fáciles. Por ejemplo, 15 es 10 más 5. Entonces 12 × 15 es lo mismo que (12 × 10) + (12 × 5). Mira la figura: un rectángulo de baldosas de 12 filas y 15 columnas se puede contar en dos pedazos.
Cuidado: hay que multiplicar cada parte. Si haces 8 × 10 y al final solo sumas el 5, se te olvidó multiplicar el 5. También puedes partir con una resta: 19 es 20 menos 1.
Estimar: redondear antes de calcular
Redondear es cambiar un número por uno redondo que esté cerca. Para redondear a la centena, mira la cifra de las decenas. Si es 5 o más, subes a la centena siguiente. Si es menos de 5, te quedas en la centena de abajo. Así, 4680 se redondea a 4700, porque está más cerca de 4700 que de 4600. Para la decena miras las unidades, y para el mil miras las centenas.
Antes de hacer una cuenta larga, estima. Si tu resultado exacto queda muy lejos de la estimación, revisa: seguro hay un error. Por ejemplo, 48 × 21 es más o menos 50 × 20, que es 1000. Si a alguien le da 10 080, se equivocó.
Comprobar una división
En toda división se cumple esta igualdad:
dividendo = (divisor × cociente) + residuo
Además, el residuo siempre es menor que el divisor. Si fuera igual o mayor, el divisor cabría una vez más.
Un piso de 12 filas y 15 columnas de baldosas. La línea punteada lo parte en 10 columnas y 5 columnas: 12 × 15 = (12 × 10) + (12 × 5).
Ejemplo resuelto
Contar baldosas por partes
El piso de la figura tiene 12 filas de baldosas y 15 columnas. ¿Cuántas baldosas tiene?
Ver la solución paso a paso
Hay que calcular el producto:
$$12 \times 15$$
Partimos el 15 en 10 y 5:
$$12 \times \left(10 + 5\right)$$
Por la propiedad distributiva, multiplicamos el 12 por cada parte. Son los dos pedazos de la figura:
$$\left(12 \times 10\right) + \left(12 \times 5\right)$$
Las dos multiplicaciones salen de memoria:
$$120 + 60$$
Sumamos.
$$180$$
Respuesta: $180$
Es el piso de 12 filas y 15 columnas. La línea corta después de 10 columnas: quedan 12 × 10 y 12 × 5. Cuenta cada parte y súmalas: dan el piso entero.
Ejemplo resuelto
Buscar la pareja amiga
Para la huerta escolar, cada uno de los 4 cursos de primaria trae 7 paquetes de 25 semillas. ¿Cuántas semillas son en total?
Ver la solución paso a paso
Son grupos iguales dentro de grupos iguales. La cuenta es:
$$4 \times 7 \times 25$$
Por las propiedades conmutativa y asociativa, juntamos primero el 4 con el 25, que es una pareja amiga:
$$7 \times \left(4 \times 25\right)$$
Cuatro veces 25 es 100:
$$7 \times 100$$
Multiplicar por 100 es agregar dos ceros.
$$700$$
Respuesta: Son 700 semillas. Agrupar bien evitó una cuenta larga.
Ejemplo resuelto
Estimar y después calcular
Doña Rosa compra 19 cajas con 312 lápices cada una. Primero estima cuántos lápices son, y después calcula el número exacto.
Ver la solución paso a paso
Redondeamos 19 a la decena, que es 20, y 312 a la centena, que es 300. La estimación es:
$$20 \times 300$$
Son más o menos:
$$6000$$
Ahora la cuenta exacta. El 19 es 20 menos 1:
$$19 = 20 - 1$$
Así que podemos usar la distributiva con una resta:
$$312 \times \left(20 - 1\right)$$
Multiplicamos el 312 por cada parte:
$$\left(312 \times 20\right) - \left(312 \times 1\right)$$
Las dos cuentas son fáciles:
$$6240 - 312$$
Restamos.
$$5928$$
El resultado exacto queda cerca de la estimación, así que tiene sentido:
$$5928 < 6000$$
Respuesta: Son 5928 lápices; la estimación decía unos 6000.
Ejemplo resuelto
Cubetas y huevos que sobran
En la finca empacan 350 huevos en cubetas de 30. ¿Cuántas cubetas se llenan y cuántos huevos sobran?
Ver la solución paso a paso
Estimamos el cociente: 30 × 11 todavía cabe en 350, pero 30 × 12 se pasa.
$$30 \times 11 \le 350 \quad\text{y}\quad 350 < 30 \times 12$$
Se llenan 11 cubetas. Para saber cuántos huevos sobran, quitamos los que ya están en cubetas:
$$350 - \left(30 \times 11\right)$$
El residuo es:
$$20$$
Comprobamos con la igualdad de la división, y vemos que el residuo es menor que el divisor:
$$350 = \left(30 \times 11\right) + 20 \quad\text{y}\quad 20 < 30$$
Respuesta: Se llenan 11 cubetas y sobran 20 huevos.
4680 está entre 4600 y 4700. Queda después de la mitad (4650), más cerca de 4700: redondeado a la centena, es 4700.
Práctica
¿Cuál cuenta es igual a $8 \times \left(10 + 5\right)$?
El 8 multiplica a las dos partes: 8 × 10 = 80 y 8 × 5 = 40, y 80 + 40 = 120, igual que 8 × 15. La opción con «+ 5» olvida multiplicar el 5 y da 85.
Calcula de memoria $50 \times 13 \times 2$. Busca primero la pareja amiga.
Juntamos 50 × 2 = 100, y luego 13 × 100 = 1300. Se puede porque la multiplicación es conmutativa y asociativa.
¿Verdadero o falso? $\left(30 - 10\right) - 5 = 30 - \left(10 - 5\right)$
A la izquierda queda 20 − 5 = 15. A la derecha queda 30 − 5 = 25. La resta no es asociativa: si cambias los paréntesis, cambia el resultado.
¿Verdadero o falso? $\left(48 \div 4\right) \div 2 = 48 \div \left(4 \div 2\right)$
A la izquierda queda 12 ÷ 2 = 6. A la derecha queda 48 ÷ 2 = 24. La división tampoco es asociativa.
¿Verdadero o falso? $36 + 59 + 64 = \left(36 + 64\right) + 59$
En la suma se puede cambiar el orden y agrupar como convenga. 36 + 64 = 100, y 100 + 59 = 159 por los dos lados.
Redondea 4680 a la centena más cercana. Mira la recta numérica.
La cifra de las decenas es 8, que es 5 o más: se sube a la centena siguiente. 4680 queda más cerca de 4700 que de 4600.
Redondea cada número a la centena y estima la suma 398 + 512. ¿Cuál es la estimación?
398 se redondea a 400 y 512 a 500: la estimación es 900. La suma exacta es 910, muy cerca. 910 es el resultado exacto, no la estimación.
Pilar dice que $48 \times 21 = 10\,080$. Estima redondeando a la decena. ¿Verdadero o falso?
48 × 21 es más o menos 50 × 20 = 1000. Un resultado de 10 080 es diez veces más grande: no es razonable. El resultado exacto es 1008.
Se reparten 158 colores en cajas de 12. ¿Cuántos colores sobran?
El 12 cabe 13 veces, porque 12 × 13 = 156, y sobran 158 − 156 = 2. El residuo 2 es menor que 12.
En una división, el divisor es 7, el cociente es 23 y el residuo es 4. ¿Cuál es el dividendo?
dividendo = (divisor × cociente) + residuo = (7 × 23) + 4 = 161 + 4 = 165.
Andrés calcula 15 × 6 así: «10 × 6 es 60, 5 × 6 es 30, y 60 + 30 es 90». ¿Qué propiedad usó?
Andrés escribió 15 como 10 + 5 y multiplicó el 6 por cada parte. Es la propiedad distributiva, y 90 es correcto.
Un patio cuadrado tiene 21 baldosas por lado. ¿Cuántas baldosas tiene? Calcula de memoria partiendo el 21 en 20 y 1.
El patio es un cuadrado de 21 × 21 baldosas. Con la distributiva: (21 × 20) + (21 × 1) = 420 + 21 = 441.
Reto
Une cada cuenta con otra que vale lo mismo.
Toca una cuenta y luego la que da el mismo resultado. Usa las propiedades para no calcular de más.
Reto
Multiplica por partes.
Elige en cada espacio el número correcto.
Cierre
En resumen
En la suma y en la multiplicación se puede cambiar el orden (conmutativa) y agrupar de otra manera (asociativa).
En la resta y en la división no se cumplen esas propiedades; un ejemplo con números lo muestra.
La distributiva parte un número en partes fáciles; hay que multiplicar cada parte.
Estimar con números redondeados ayuda a saber si un resultado es razonable.
En una división, dividendo = (divisor × cociente) + residuo, y el residuo es menor que el divisor.
Vocabulario
- Propiedad conmutativa
Cambiar el orden de los números no cambia el resultado. Se cumple en la suma y en la multiplicación.
- Propiedad asociativa
Agrupar de otra manera tres números no cambia el resultado. Se cumple en la suma y en la multiplicación.
- Propiedad distributiva
Multiplicar un número por una suma da lo mismo que multiplicarlo por cada sumando y sumar los resultados.
- Estimar
Calcular un resultado aproximado, con números redondos, para saber más o menos cuánto da.
- Residuo
Lo que sobra en una división que no es exacta. Siempre es menor que el divisor.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida calcular 25 × 7 × 4 de memoria y pregunte quién empezó por 25 × 4. Escuche las estrategias.
- Explicación · 15 min — Las propiedades con objetos del salón; la distributiva con el rectángulo de baldosas en papel cuadriculado; la recta para redondear.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, diciendo en voz alta qué propiedad usaron.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante muestra con un ejemplo de números que la resta no es asociativa.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la división no es conmutativa? Den un ejemplo con panes o dulces.
- ¿Para qué sirve estimar si después igual hay que calcular el resultado exacto?
- En una división, ¿por qué el residuo no puede ser igual al divisor?
Errores típicos
- Creer que la resta y la división también son conmutativas o asociativas. Pida probar con números los dos lados de la igualdad, por ejemplo (30 − 10) − 5 y 30 − (10 − 5), y comparar.
- Aplicar la distributiva solo a la primera parte (8 × (10 + 5) = 80 + 5). Use el rectángulo partido: cada pedazo tiene 8 filas, así que los dos se multiplican por 8.
- Redondear mirando la cifra equivocada (4680 a la centena mirando las unidades). Pida subrayar la cifra a la que se redondea y mirar solo la que está a su derecha; ubique el número en la recta.
- Dejar un residuo mayor que el divisor. Pida revisar siempre que el residuo sea menor que el divisor; si no, el cociente puede crecer en uno.
Tarea sugerida
Calcular de memoria 16 × 25 × 4 y 7 × 98, explicando qué propiedad usaron; estimar y luego calcular 21 × 297; comprobar la división 500 ÷ 12 con la igualdad del dividendo.