Operaciones inventadas
Lo que vas a aprender
- Calcular el resultado de una operación inventada aplicando su regla en el orden correcto.
- Completar la tabla de una operación inventada.
- Decidir con un contraejemplo si una operación inventada no es conmutativa o no es asociativa.
- Comparar las propiedades de una operación inventada con las de la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el recreo, los niños inventan juegos con reglas. «El que pisa la raya, pierde.» «El que llega primero, escoge.» Con los números también se pueden inventar reglas. A una regla que toma dos números y da otro se le llama operación.
La suma, la resta, la multiplicación y la división son operaciones que ya conoces. En esta lección vas a usar operaciones inventadas, con signos nuevos como ★ y ◆. Vas a calcular con ellas y a investigar como un científico: ¿importa el orden?, ¿importa cómo se agrupa?, ¿hay un número que no cambia nada? Así vas a entender mejor las operaciones de siempre.
Explicación
Una regla nueva: la estrella ★
Inventamos esta operación:
a ★ b = (2 × a) + b
Se lee así: «el doble del primer número, más el segundo número». La letra a es el primer número, el que está a la izquierda del signo. La letra b es el segundo, el que está a la derecha.
Para calcular 3 ★ 5, pones el 3 en el lugar de la a y el 5 en el lugar de la b. Queda el doble de 3, más 5. El orden importa mucho: el que se duplica es siempre el primero. Si duplicas el 5 por error, estás calculando 5 ★ 3, que es otra cosa.
La tabla de una operación
Los resultados de una operación se pueden ordenar en una tabla, como la tabla de multiplicar. El primer número se busca en la columna de la izquierda. El segundo, en la fila de arriba. Esta es una parte de la tabla de ★:
| ★ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 7 | 8 | 9 |
Fíjate: 1 ★ 2 da 4, pero 2 ★ 1 da 5. La tabla de la suma o de la multiplicación es igual a los dos lados de la diagonal. La de ★, no.
¿Importa el orden? La propiedad conmutativa
Una operación es conmutativa si cambiar el orden de los números no cambia el resultado. La suma y la multiplicación lo son. La resta y la división, no.
Para decir que una operación no es conmutativa, basta un caso que falle. Ese caso se llama contraejemplo. Para ★, un contraejemplo es 3 ★ 5 frente a 5 ★ 3.
Pero para decir que sí es conmutativa, un caso no basta. Hay que probar muchos casos, con números grandes y pequeños, y buscar una razón.
¿Importa cómo se agrupa? La propiedad asociativa
Con tres números, los paréntesis dicen qué se hace primero. Una operación es asociativa si agrupar de otra manera no cambia el resultado. La suma y la multiplicación lo son; la resta y la división, no. Para revisarlo en una operación inventada, calcula los dos lados por separado, siempre empezando por el paréntesis.
Un número que no cambia nada
En la suma, el 0 no cambia nada: 7 más 0 es 7. En la multiplicación, el 1 no cambia nada. A ese número se le llama elemento neutro. Algunas operaciones inventadas tienen uno y otras no. Para saberlo, prueba si algún número deja igual a todos los demás.
La máquina de duplicar
Una regla también puede tomar un solo número. Imagina una máquina: entra un número, la máquina lo duplica y le suma 3, y sale el resultado. La gráfica muestra lo que sale para las entradas del 1 al 5. Cada vez que la entrada crece en uno, la salida crece en dos, porque se duplica.
Ejemplo resuelto
El orden importa en ★
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b, calcula 3 ★ 5 y 5 ★ 3. ¿Dan lo mismo?
Ver la solución paso a paso
En 3 ★ 5, el primer número es 3: lo duplicamos y le sumamos el 5.
$$\left(2 \times 3\right) + 5$$
El doble de 3 es 6:
$$6 + 5$$
Entonces 3 ★ 5 vale:
$$11$$
En 5 ★ 3, el primer número es 5: ahora se duplica el 5.
$$\left(2 \times 5\right) + 3$$
El doble de 5 es 10:
$$10 + 3$$
Entonces 5 ★ 3 vale:
$$13$$
Los resultados son distintos:
$$\left(2 \times 3\right) + 5 \ne \left(2 \times 5\right) + 3$$
Respuesta: 3 ★ 5 = 11 y 5 ★ 3 = 13. Es un contraejemplo: ★ no es conmutativa.
Ejemplo resuelto
La máquina que duplica y suma 3
Una máquina duplica el número que entra y le suma 3. ¿Qué sale si entra 7? ¿Y si entra 12?
Ver la solución paso a paso
Si entra 7, primero se duplica y después se suma 3:
$$\left(2 \times 7\right) + 3$$
Sale:
$$17$$
Si entra 12, hacemos lo mismo, en el mismo orden:
$$\left(2 \times 12\right) + 3$$
Sale:
$$27$$
Respuesta: Si entra 7 sale 17, y si entra 12 sale 27. Si sumas 3 antes de duplicar, te sale otra cosa: con el 7 darías 20.
Echa un número a la máquina «duplica y suma 3» y síguelo paso por paso. Prueba con 7 y con 12, y mira en la tabla lo que sale.
Ejemplo resuelto
¿Es ◆ conmutativa?
Otra regla: a ◆ b = (a × b) − 1. Prueba si el orden importa con 3 y 5, y con 4 y 9.
Ver la solución paso a paso
Primero 3 ◆ 5: se multiplican los dos números y se resta 1.
$$\left(3 \times 5\right) - 1$$
Da:
$$14$$
Ahora al revés, 5 ◆ 3:
$$\left(5 \times 3\right) - 1$$
También da:
$$14$$
Probamos otra pareja, 4 ◆ 9:
$$\left(4 \times 9\right) - 1$$
Da:
$$35$$
Y al revés, 9 ◆ 4:
$$\left(9 \times 4\right) - 1$$
Otra vez lo mismo:
$$35$$
Hay una razón: ◆ empieza multiplicando, y en la multiplicación el orden no importa. 4 × 9 y 9 × 4 son iguales, y después a los dos se les resta 1.
Respuesta: En los dos casos da igual (14 y 35). Con la razón de la multiplicación, podemos decir que ◆ sí es conmutativa.
Ejemplo resuelto
¿Es ◆ asociativa?
Con la regla a ◆ b = (a × b) − 1, compara (1 ◆ 2) ◆ 3 con 1 ◆ (2 ◆ 3).
Ver la solución paso a paso
Lado izquierdo. Primero el paréntesis, 1 ◆ 2:
$$\left(1 \times 2\right) - 1$$
Da:
$$1$$
Ahora ese resultado con el 3, es decir, 1 ◆ 3:
$$\left(1 \times 3\right) - 1$$
El lado izquierdo vale:
$$2$$
Lado derecho. Primero el paréntesis, 2 ◆ 3:
$$\left(2 \times 3\right) - 1$$
Da:
$$5$$
Ahora el 1 con ese resultado, es decir, 1 ◆ 5:
$$\left(1 \times 5\right) - 1$$
El lado derecho vale:
$$4$$
Respuesta: El lado izquierdo da 2 y el derecho da 4. Es un contraejemplo: ◆ es conmutativa, pero no es asociativa.
Lo que sale de la máquina «duplica y suma 3» para las entradas del 1 al 5. Cada salida es (2 × entrada) + 3.
Práctica
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b, ¿cuánto es 4 ★ 7?
El primer número es 4: su doble es 8, y 8 + 7 = 15. Si duplicas el 7 por error, te da 18, que es 7 ★ 4.
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b, ¿cuánto es 6 ★ 1?
El doble del primero, 6, es 12, y 12 + 1 = 13. La opción 8 sale de duplicar el 1 en vez del 6: es el orden equivocado.
Con la regla a ◆ b = (a × b) − 1, ¿cuánto es 7 ◆ 8?
Primero se multiplica: 7 × 8 = 56. Después se resta 1: 56 − 1 = 55.
En la tabla de la operación a ◆ b = (a × b) − 1, ¿qué número va en la fila del 4 y la columna del 6? Es 4 ◆ 6.
4 ◆ 6 = (4 × 6) − 1 = 24 − 1 = 23.
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b, ¿es verdad que 2 ★ 9 = 9 ★ 2?
2 ★ 9 = 4 + 9 = 13, pero 9 ★ 2 = 18 + 2 = 20. Es otro contraejemplo: ★ no es conmutativa, igual que la resta y la división.
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b, ¿es verdad que (1 ★ 2) ★ 3 = 1 ★ (2 ★ 3)?
Izquierda: 1 ★ 2 = 4, y 4 ★ 3 = 8 + 3 = 11. Derecha: 2 ★ 3 = 7, y 1 ★ 7 = 2 + 7 = 9. Como 11 no es 9, ★ tampoco es asociativa.
Con la regla a ◆ b = (a × b) − 1, ¿es verdad que el 1 no cambia nada, es decir, que 6 ◆ 1 = 6?
6 ◆ 1 = (6 × 1) − 1 = 5, no 6. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, pero no de ◆, porque ◆ resta 1 después de multiplicar.
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b, 0 ★ 5 da 5. ¿Es verdad que también 5 ★ 0 = 5, es decir, que el 0 no cambia nada en ★?
5 ★ 0 = (2 × 5) + 0 = 10, no 5. Con el 0 a la izquierda el 5 queda igual, pero con el 0 a la derecha el 5 se duplica. Un número que no cambia nada tiene que dejar igual al otro en los dos lados, así que el 0 no lo es en ★.
La máquina duplica el número que entra y le suma 3. Si entra 5, ¿qué número sale?
Primero se duplica, 2 × 5 = 10, y después se suma 3: sale 13. Es la última barra de la gráfica.
En la gráfica de la máquina, cuando la entrada pasa de 3 a 4, ¿cuánto aumenta la salida?
Con 3 sale 9 y con 4 sale 11: aumenta 2. Siempre aumenta 2, porque la máquina duplica la entrada; el 3 que se suma es el mismo en los dos casos.
Tomás calculó 2 ★ 2 y vio que da lo mismo en los dos órdenes. Dijo: «Entonces ★ es conmutativa». ¿Tiene razón?
Un caso que funciona no prueba nada, y menos con dos números iguales. Un solo contraejemplo, como 3 ★ 5 = 11 y 5 ★ 3 = 13, muestra que ★ no es conmutativa.
Mira la tabla de ★ de la explicación. ¿Qué conclusión es correcta?
En la tabla, la fila del 1 y la columna del 2 dan 4, pero la fila del 2 y la columna del 1 dan 5. Por eso ★ se parece a la resta y a la división: el orden importa.
Reto
Completa la tabla de ★.
La regla es a ★ b = (2 × a) + b. El primer número es el que se duplica.
Reto
Abre el candado de las operaciones inventadas.
Cada pista da un dígito. Aplica la regla en el orden correcto.
Cierre
En resumen
Una operación es una regla que toma números y da un resultado; en una operación inventada hay que aplicar la regla en el orden correcto.
En a ★ b, la a es el primer número y la b el segundo; cambiar el orden puede cambiar el resultado.
Para mostrar que una propiedad no se cumple basta un contraejemplo; para decir que sí se cumple hay que probar muchos casos y buscar una razón.
La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas; la resta y la división no. Una operación inventada puede tener unas propiedades y otras no.
El 0 no cambia nada en la suma y el 1 no cambia nada en la multiplicación; muchas operaciones inventadas no tienen un número así.
Vocabulario
- Operación
Una regla que toma dos números y da un resultado. La suma y la multiplicación son operaciones.
- Operación inventada
Una operación con una regla nueva y un signo nuevo, como ★ o ◆.
- Contraejemplo
Un caso con números que muestra que una propiedad no se cumple siempre.
- Elemento neutro
Un número que, al operarlo con otro, lo deja igual. El 0 en la suma y el 1 en la multiplicación.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero 3 ★ 5 = 11 y 4 ★ 1 = 9 sin decir la regla, y pida que la adivinen.
- Explicación · 15 min — La regla de ★ con el primer y el segundo número señalados con colores; la tabla en el tablero; los ejemplos de ◆ para la conmutativa y la asociativa.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; la tabla y el candado en parejas. Cada pareja busca un contraejemplo y lo explica.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una operación y dice si cree que es conmutativa, con un caso que lo apoye o un contraejemplo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un solo caso que funciona no basta para decir que una operación es conmutativa?
- ¿En qué se parece ★ a la resta? ¿En qué se parece ◆ a la multiplicación?
- ¿Pueden inventar una operación en la que el 0 no cambie nada?
Errores típicos
- Aplicar la regla en el orden equivocado (en 3 ★ 5, duplicar el 5). Pida escribir debajo de cada número si es la a o la b antes de reemplazar, y pintar la a de un color.
- Concluir que una operación es conmutativa con un solo caso, a veces con dos números iguales. Pida probar al menos tres parejas distintas, con números diferentes, y buscar una razón.
- Hacer las operaciones de la regla en otro orden (sumar antes de duplicar en la máquina). Escriba la regla con paréntesis y pida resolver siempre primero lo que está dentro.
- Creer que ◆ tiene al 1 como número neutro porque la regla usa una multiplicación. Pida calcular 6 ◆ 1 y 9 ◆ 1 y comparar con 6 y 9.
Tarea sugerida
Para la regla a ▲ b = a + b + 1, completar la tabla con 1, 2 y 3; decidir si ▲ es conmutativa y si es asociativa, con casos o un contraejemplo; y buscar si hay un número que no cambia nada.