Expresiones y ecuaciones con un número escondido
Lo que vas a aprender
- Escribir con números, signos y paréntesis frases como «el doble de un número aumentado en 5».
- Calcular el valor de una expresión con paréntesis, resolviendo primero lo que está dentro.
- Encontrar el número escondido en una igualdad por tanteo y deshaciendo las operaciones en orden inverso.
- Comprobar la solución reemplazando la casilla por el número encontrado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Juliana le dice a su primo: «Pensé un número. Lo dupliqué y le sumé 3. Me dio 9. ¿Qué número pensé?». Su primo se queda pensando. ¿Cómo se adivina un número que está escondido?
En esta lección vas a aprender dos cosas. La primera, a escribir con números y signos lo que una frase dice con palabras. La segunda, a encontrar un número escondido: probando con cuidado o deshaciendo las operaciones, como quien desarma un juguete para ver cómo se armó.
Explicación
De las palabras a los signos
Recuerda que ÷ es el signo de dividir. Algunas palabras tienen su cuenta:
- El doble de un número es el número por 2. El triple, el número por 3.
- La mitad de un número es el número dividido entre 2. La tercera parte, el número dividido entre 3.
- Aumentado en 5 quiere decir «más 5». Disminuido en 5, «menos 5».
Si todavía no sabemos el número, lo escribimos con una casilla: □. Así, «el doble de un número» es 2 × □, y «la mitad de un número» es □ ÷ 2.
Los paréntesis mandan
Los paréntesis dicen qué se hace primero. Mira esta frase: «la multiplicación entre la suma de 24 más 45 y la resta de 24 menos 12». Primero hay una suma y una resta, y sus resultados se multiplican. Por eso cada una va entre paréntesis: (24 + 45) × (24 − 12).
Para calcular una expresión con paréntesis, primero resuelves lo que está dentro de cada paréntesis. Después haces la operación de afuera. Un error común es ir de izquierda a derecha sin mirar los paréntesis. Así se calcula otra cosa.
Una igualdad con un número escondido
En «□ + 15 = 42» hay un número escondido en la casilla. Una igualdad así se llama ecuación. Resolverla es encontrar el número que la hace verdadera. Ese número es la solución. Hay dos maneras de buscarlo.
Primera manera: tantear con una tabla
Tantear es probar números. Pones un número en la casilla, haces la cuenta y miras si llegas al resultado. Si te pasas, pruebas uno más pequeño. Si no llegas, uno más grande. Una tabla ayuda a no perderse. La gráfica muestra el tanteo para «el doble de un número más 3 es igual a 9».
Segunda manera: deshacer las operaciones
Cada operación tiene otra que la deshace. La resta deshace la suma, y la suma deshace la resta. La división deshace la multiplicación, y la multiplicación deshace la división.
¡Cuidado con esta trampa! En «□ + 7 = 15», al número escondido le sumaron 7. Para volver al número, hay que quitarle el 7: 15 − 7. Si sumas 15 + 7, te da 22, y 22 + 7 no es 15. Cuando la casilla va primero (□ + 7, □ − 7, □ × 7, □ ÷ 7), usa la operación contraria a la que le hicieron al número escondido.
Ojo cuando la casilla va después de un «−» o de un «÷». En 18 − □ = 5, el número escondido es lo que se le quitó al 18. Si a 18 le quitas algo y quedan 5, lo que quitaste es 18 − 5 = 13: aquí se resta, no se suma. Y en 24 ÷ □ = 6, el número escondido es entre cuánto se repartió el 24: 24 ÷ 6 = 4. Si dudas, tantea y comprueba.
Deshacer en orden inverso
Piensa en cómo te pones los zapatos. Primero las medias y después los zapatos. Para quitártelos, lo haces al revés: primero los zapatos y después las medias.
Con los números pasa igual. En «el doble de un número más 3 es 9», primero se duplicó y después se sumó 3. Para deshacer, empiezas por lo último: quitas el 3. Luego deshaces el doble: divides entre 2.
Siempre comprueba
Cuando encuentres el número, ponlo en la casilla y haz la cuenta. Si llegas al resultado de la igualdad, está bien. Si no, revisa.
Ejemplo resuelto
La frase del DBA en números
Escribe con números y signos «la multiplicación entre la suma de 24 más 45 y la resta de 24 menos 12». Después calcúlala.
Ver la solución paso a paso
La suma y la resta van entre paréntesis, porque sus resultados son los que se multiplican:
$$\left(24 + 45\right) \times \left(24 - 12\right)$$
Primero resolvemos cada paréntesis: 24 + 45 = 69 y 24 − 12 = 12.
$$69 \times 12$$
Para multiplicar de memoria, partimos el 12 en 10 y 2:
$$\left(69 \times 10\right) + \left(69 \times 2\right)$$
Las dos cuentas son fáciles:
$$690 + 138$$
Sumamos.
$$828$$
Si alguien va de izquierda a derecha sin mirar los paréntesis, hace 24 + 45, luego por 24 y luego menos 12. Calcula otra expresión, con otro resultado:
$$\left(\left(24 + 45\right) \times 24\right) - 12 = 1644$$
Respuesta: $828$
Ejemplo resuelto
Deshacer con la operación contraria
Encuentra el número escondido en □ + 15 = 42 y en 6 × □ = 54.
Ver la solución paso a paso
En la primera, al número le sumaron 15. Para deshacer la suma, restamos 15:
$$42 - 15$$
El número escondido es:
$$27$$
Comprobamos: ponemos 27 en la casilla.
$$27 + 15 = 42$$
En la segunda, al número lo multiplicaron por 6. Para deshacer la multiplicación, dividimos entre 6:
$$54 \div 6$$
El número escondido es:
$$9$$
Comprobamos: ponemos 9 en la casilla.
$$6 \times 9 = 54$$
Respuesta: En □ + 15 = 42 la casilla es 27, y en 6 × □ = 54 es 9.
Ejemplo resuelto
Tantear con una tabla
El doble de un número más 3 es igual a 9. Encuentra el número probando.
Ver la solución paso a paso
Probamos con el 1: el doble de 1, más 3.
$$\left(2 \times 1\right) + 3$$
Da 5. No llegamos a 9: probamos uno más grande.
$$5$$
Probamos con el 2:
$$\left(2 \times 2\right) + 3$$
Da 7. Todavía no llegamos.
$$7$$
Probamos con el 3:
$$\left(2 \times 3\right) + 3$$
¡Da 9! Encontramos el número.
$$9$$
Respuesta: El número es 3, porque el doble de 3 más 3 es 9. Es lo que muestra la gráfica.
Cada caja esconde el mismo número. Quita 3 de cada plato y después parte los platos en dos: ¿cuánto vale una caja?
Ejemplo resuelto
Deshacer en orden inverso
Pienso un número, lo duplico y le sumo 5. Me da 37. ¿Qué número pensé?
Ver la solución paso a paso
Primero se duplicó y después se sumó 5. Deshacemos al revés: empezamos por lo último y quitamos el 5.
$$37 - 5$$
Antes de sumar 5 había:
$$32$$
Ahora deshacemos el doble: dividimos entre 2.
$$32 \div 2$$
El número pensado es:
$$16$$
Comprobamos: duplicamos 16 y le sumamos 5.
$$\left(2 \times 16\right) + 5 = 37$$
Si se deshace en el orden equivocado, dividiendo primero 37 entre 2, la división no es exacta. Es una señal de que ese no es el camino. Pero que una división salga exacta no prueba que el camino sea el bueno: comprueba siempre poniendo el número en la casilla.
Respuesta: El número pensado es 16.
La máquina duplica y suma 5. Salió 37: hazla andar al revés, primero quita 5 y después divide entre 2, para saber qué entró.
Tanteo para «el doble de un número más 3 es igual a 9». Cada barra es (2 × □) + 3 para □ = 1, 2, 3 y 4. La línea punteada es la meta: la barra que la toca es la del 3.
Práctica
¿Qué expresión dice «la multiplicación entre la suma de 24 más 45 y la resta de 24 menos 12»?
La suma y la resta se hacen primero, y sus resultados se multiplican. Por eso las dos van entre paréntesis: (24 + 45) × (24 − 12) = 69 × 12 = 828.
Calcula $\left(36 - 16\right) \times \left(5 + 3\right)$.
Primero cada paréntesis: 36 − 16 = 20 y 5 + 3 = 8. Después la multiplicación: 20 × 8 = 160. Si vas de izquierda a derecha sin mirar los paréntesis, calculas otra cosa.
¿Qué número va en la casilla? □ + 7 = 15
Al número le sumaron 7, así que para deshacerlo se resta 7: 15 − 7 = 8. Comprobación: 8 + 7 = 15. Si sumas 15 + 7 = 22, al comprobar 22 + 7 = 29, que no es 15.
¿Qué número va en la casilla? □ − 18 = 25
Al número le quitaron 18. Para deshacer la resta se suma: 25 + 18 = 43. Comprobación: 43 − 18 = 25. La opción 7 sale de restar porque se ve un «−», pero 7 − 18 no se puede hacer con naturales.
¿Qué número va en la casilla? □ ÷ 4 = 12
Al número lo dividieron entre 4. La multiplicación deshace la división: 12 × 4 = 48. Comprobación: 48 ÷ 4 = 12.
¿Qué número va en la casilla? 18 − □ = 5
Aquí la casilla va después del «−»: a 18 le quitaron un número y quedaron 5. Lo que se quitó es 18 − 5 = 13. Comprobación: 18 − 13 = 5. Si sumas 18 + 5 = 23, al comprobar 18 − 23 no se puede hacer.
La mitad de un número es 35. ¿Cuál es el número?
La mitad es dividir entre 2; para deshacerlo se multiplica por 2: 35 × 2 = 70. Comprobación: la mitad de 70 es 35.
El doble de un número más 7 es igual a 31. ¿Cuál es el número?
Se deshace en orden inverso. Lo último fue sumar 7: 31 − 7 = 24. Antes se duplicó: 24 ÷ 2 = 12. Comprobación: (2 × 12) + 7 = 31.
Para resolver «el triple de un número más 4 es igual a 25», ¿qué cuenta da el número?
Primero se deshace lo último, el «más 4»: 25 − 4 = 21. Después se deshace el triple: 21 ÷ 3 = 7. Comprobación: (3 × 7) + 4 = 25. Dividir primero 25 entre 3 es deshacer en el orden equivocado, y la división ni siquiera es exacta. Aunque saliera exacta, habría que comprobar poniendo el número en la casilla.
Con la regla a ★ b = (2 × a) + b de la lección anterior, ¿qué número va en la casilla? □ ★ 4 = 18
□ ★ 4 quiere decir el doble de la casilla, más 4. Se deshace al revés: 18 − 4 = 14 y 14 ÷ 2 = 7. Comprobación: 7 ★ 4 = 14 + 4 = 18.
¿Verdadero o falso? El 6 es la solución de (3 × □) − 5 = 13. Compruébalo poniendo el 6 en la casilla.
Con el 6 en la casilla: 3 × 6 = 18 y 18 − 5 = 13. Se llega al resultado de la igualdad, así que 6 es la solución.
Juliana dice: «A un número lo duplico y después le sumo 5». ¿Qué expresión escribe lo que hace?
Primero duplica, 2 × □, y a ese resultado le suma 5. En 2 × (□ + 5) se suma primero y se duplica después: es otro orden y da otro resultado.
Reto
De las palabras a los números.
Elige en cada espacio el número correcto.
Reto
Abre el candado de los números escondidos.
Cada casilla esconde un dígito. Deshaz las operaciones y comprueba.
Cierre
En resumen
El doble es por 2, la mitad es entre 2 y la tercera parte es entre 3; «aumentado en» es más y «disminuido en» es menos.
Los paréntesis mandan; primero se resuelve lo que está dentro de cada paréntesis.
Una ecuación es una igualdad con un número escondido; su solución es el número que la hace verdadera.
El número escondido se encuentra tanteando con una tabla o deshaciendo las operaciones con la operación contraria, en orden inverso.
Siempre se comprueba poniendo el número en la casilla.
Vocabulario
- Expresión
Una cuenta escrita con números, signos y paréntesis, como (24 + 45) × (24 − 12).
- Ecuación
Una igualdad con un número escondido. Aquí el número escondido se escribe con una casilla □.
- Solución
El número que, puesto en la casilla, hace que la igualdad sea verdadera.
- Tantear
Probar números uno por uno y ver si cumplen la igualdad, acercándose cada vez más.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la adivinanza de Juliana y deje que la resuelvan como quieran; anote en el tablero los caminos que usaron.
- Explicación · 15 min — Las frases con su expresión y los paréntesis; el tanteo con la tabla y la gráfica; deshacer en orden inverso con el ejemplo de las medias y los zapatos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los huecos y el candado en parejas. En cada casilla, el compañero comprueba la solución reemplazando.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una adivinanza de «pienso un número» con dos operaciones y la cambia con un compañero.
Preguntas para el salón
- En □ + 7 = 15, ¿por qué se resta 7 si en la igualdad aparece un «+»?
- ¿Por qué hay que deshacer las operaciones en orden inverso? Den un ejemplo de la vida diaria.
- ¿Cuándo conviene tantear y cuándo conviene deshacer las operaciones?
Errores típicos
- Hacer la operación que aparece en vez de la contraria (en □ + 7 = 15, sumar 15 + 7). Pida comprobar siempre poniendo el número en la casilla; al ver que 22 + 7 no es 15, descubren el error.
- Deshacer en el orden equivocado (en el doble más 3 es 9, dividir 9 entre 2 antes de quitar el 3). Use la imagen de las medias y los zapatos, y pida escribir las operaciones en orden antes de deshacerlas al revés.
- Calcular de izquierda a derecha sin respetar los paréntesis. Pida encerrar cada paréntesis con color y escribir su resultado debajo antes de la operación de afuera.
- Confundir la mitad con el doble al traducir una frase. Pida decir con objetos del salón qué es la mitad y qué es el doble de 8 lápices.
- Usar siempre la operación contraria, también cuando la casilla va después de un «−» o un «÷» (en 18 − □ = 5, sumar 18 + 5). Pida leer qué es la casilla: en 18 − □ = 5 es lo que se le quitó al 18. Que tanteen con 10, 12 y 13 y comprueben.
Tarea sugerida
Resolver □ + 38 = 100, 7 × □ = 63 y «el triple de un número menos 2 es 25», comprobando cada solución; inventar dos adivinanzas de «pienso un número» para la familia.