Múltiplos, divisores, primos y compuestos
Lo que vas a aprender
- Hallar los múltiplos de un número y todos los divisores de un número hasta 100.
- Usar bien las palabras múltiplo y divisor cuando una multiplicación da un resultado.
- Decidir sin dividir si un número es divisible por 2, por 5 o por 10.
- Clasificar un número como primo o compuesto con arreglos de fichas, y explicar por qué el 1 no es ninguno de los dos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En educación física, el profesor quiere armar equipos iguales sin que nadie quede por fuera. En la tienda, doña Rosa empaca bombones en bolsas iguales sin que sobre ninguno. En el salón, la profesora acomoda los pupitres en filas iguales.
Los tres tienen la misma pregunta: ¿este número se reparte en grupos iguales? Para contestarla rápido sirven los múltiplos, los divisores y los números primos. En esta lección vas a armar rectángulos con fichas y vas a descubrir que hay números que no se dejan repartir de ninguna manera.
Explicación
Múltiplos: los resultados de una tabla
Los múltiplos de un número son los resultados de su tabla de multiplicar. Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30… La lista nunca se acaba, porque siempre puedes multiplicar por un número más.
Divisores: repartir sin que sobre
Un divisor de un número lo reparte en partes iguales sin que sobre nada. El 6 es divisor de 30, porque 30 ÷ 6 da 5 y el residuo es 0. El 4 no es divisor de 30, porque al repartir sobran 2.
Los divisores se buscan por parejas. Cada multiplicación que da el número trae dos divisores a la vez. Como 30 = 5 × 6, el 5 y el 6 son divisores de 30. La lista de los divisores de un número es corta y sí se acaba. Para no escribir tanto, la lista de los divisores de 30 se escribe D(30).
Una multiplicación, dos frases
Mira la multiplicación 3 × 4 = 12. De ella salen dos frases, y las dos son verdad:
- 12 es múltiplo de 3 (y también de 4).
- 3 es divisor de 12 (y también el 4).
Mucha gente se enreda y dice «12 es divisor de 3». Eso está mal: 12 no reparte a 3 en partes iguales. Una pista: el número grande es el múltiplo. Los números pequeños, los que se multiplicaron, son los divisores. (Con 1 × 7 = 7, el 7 es múltiplo y divisor de sí mismo.)
Pistas para el 2, el 5 y el 10
Hay números que se reconocen por su última cifra, sin dividir:
- Por 2: si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Esos números son los pares. Los demás son impares.
- Por 5: si termina en 0 o en 5.
- Por 10: si termina en 0.
Estas pistas se llaman criterios de divisibilidad. Funcionan porque cada decena ya se reparte exacto en grupos de 2, de 5 y de 10. Solo queda mirar las unidades.
Primos y compuestos con fichas
Toma 12 fichas y arma rectángulos con filas iguales. Puedes hacer 1 fila de 12, 2 filas de 6 o 3 filas de 4. El 12 se arma en un rectángulo de verdad: 2 filas o más, con 2 fichas o más en cada fila. Por eso es un número compuesto.
Ahora toma 7 fichas. En una sola fila, salen. Con 2 filas, sobra una. Con 3 filas, también sobra. ¿Y 7 filas de 1 ficha? Es la misma fila puesta de pie, no un rectángulo nuevo. El 7 solo forma una fila. Un número así es primo: tiene exactamente dos divisores, el 1 y él mismo.
Los primos menores que 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.
Con 12 fichas se arman tres rectángulos distintos: 1 fila de 12, 2 filas de 6 y 3 filas de 4. Con 7 fichas solo sale una fila: en 2 filas de 3 sobra una ficha (la hueca).
Ejemplo resuelto
Los pupitres en filas
En un salón hay 24 pupitres. La profesora quiere ponerlos en filas iguales, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos pupitres puede haber en cada fila?
Ver la solución paso a paso
Buscamos parejas de números que, multiplicados, den 24. Empezamos por el 1 y el 2:
$$24 = 1 \times 24 \quad\text{y}\quad 24 = 2 \times 12$$
Seguimos con el 3 y el 4. Los dos dividen exacto a 24:
$$24 = 3 \times 8 \quad\text{y}\quad 24 = 4 \times 6$$
El 5 no sirve: con filas de 5 salen 4 filas y sobran 4 pupitres.
$$24 = \left(5 \times 4\right) + 4$$
Después del 5 viene el 6, que ya salió en la pareja 4 × 6. Desde ahí las parejas se repiten al revés. Ya tenemos todos los divisores:
$$D\left(24\right) = \left\{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6;\ 8;\ 12;\ 24\right\}$$
Respuesta: Puede haber 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 o 24 pupitres en cada fila. Son los ocho divisores de 24.
Son los 24 pupitres. Arrastra la esquina y busca todos los rectángulos que se arman con ellos, sin que sobre ninguno. Cada lado que encuentres es un divisor de 24.
Ejemplo resuelto
Las bandejas de empanadas
En la cafetería, las empanadas vienen en bandejas de 6. ¿Se pueden comprar exactamente 30 empanadas en bandejas completas? ¿Y 45?
Ver la solución paso a paso
Las empanadas de 1, 2, 3… bandejas son los múltiplos de 6. Son los resultados de la tabla del 6:
$$\left\{6 \times 1;\ 6 \times 2;\ 6 \times 3;\ 6 \times 4;\ 6 \times 5;\ 6 \times 6\right\} = \left\{6;\ 12;\ 18;\ 24;\ 30;\ 36\right\}$$
El 30 está en la lista. Son 5 bandejas:
$$30 = 6 \times 5$$
Por eso decimos que 30 es múltiplo de 6 y que 6 es divisor de 30. Al revés no: 30 no es divisor de 6.
El 45 no está en la lista. Si repartimos 45 empanadas en bandejas de 6, se llenan 7 y sobran 3:
$$45 = \left(6 \times 7\right) + 3$$
Respuesta: Sí se pueden comprar 30 empanadas: son 5 bandejas. No se pueden comprar 45, porque sobrarían 3: 45 no es múltiplo de 6.
Ejemplo resuelto
¿Quién arma el rectángulo?
Mariana tiene 21 fichas y Tomás tiene 23. Cada uno quiere armar un rectángulo de 2 filas o más, con 2 fichas o más en cada fila. ¿Quién lo logra?
Ver la solución paso a paso
Mariana prueba con 2 filas y le sobra una ficha. Prueba con 3 filas y le salen 7 fichas en cada fila, sin sobrantes:
$$21 = \left(2 \times 10\right) + 1 \quad\text{y}\quad 21 = 3 \times 7$$
Mariana arma 3 filas de 7. El 21 es impar y aun así es compuesto. No todo impar es primo.
$$21 \text{ es compuesto}$$
Tomás prueba con 2, 3, 4 y 5 filas. Siempre le sobran fichas:
$$23 = \left(2 \times 11\right) + 1 \quad\text{y}\quad 23 = \left(3 \times 7\right) + 2 \quad\text{y}\quad 23 = \left(4 \times 5\right) + 3 \quad\text{y}\quad 23 = \left(5 \times 4\right) + 3$$
Con 6 filas o más, cada fila tendría 3 fichas o menos. Esos rectángulos serían los de 2 o 3 filas, acostados, y ya vimos que no salen. Y 23 filas de 1 ficha es la misma fila puesta de pie. El 23 solo forma una fila:
$$23 \text{ es primo}$$
Respuesta: Mariana lo logra, porque 21 = 3 × 7 es compuesto. Tomás no, porque 23 es primo: solo se arma en una fila.
Ejemplo resuelto
Bolsas de 2, de 5 y de 10
En la tienda de don Julio hay 90 bananos y 75 mandarinas. ¿Se pueden empacar en bolsas de 2, de 5 o de 10 sin que sobre ninguno?
Ver la solución paso a paso
El 90 termina en 0. Entonces es divisible por 2, por 5 y por 10:
$$90 = 2 \times 45 \quad\text{y}\quad 90 = 5 \times 18 \quad\text{y}\quad 90 = 10 \times 9$$
El 75 termina en 5. Es divisible por 5:
$$75 = 5 \times 15$$
Pero 75 es impar: en bolsas de 2 sobra una mandarina. Y como no termina en 0, en bolsas de 10 sobran 5:
$$75 = \left(2 \times 37\right) + 1 \quad\text{y}\quad 75 = \left(10 \times 7\right) + 5$$
Respuesta: Los 90 bananos caben en bolsas de 2, de 5 o de 10. Las 75 mandarinas, solo en bolsas de 5: salen 15 bolsas.
El 1 y otras trampas
El 1 no es primo ni compuesto. Tiene un solo divisor, él mismo. Un primo necesita exactamente dos divisores distintos. Con una sola ficha no hay nada que repartir.
El 2 es el único primo par. Los demás pares (4, 6, 8…) se arman en 2 filas con 2 fichas o más en cada una, así que son compuestos. Con 2 fichas, 2 filas de 1 es la misma fila puesta de pie: el 2 es primo.
Impar no quiere decir primo. El 9 se arma en 3 filas de 3, el 15 en 3 filas de 5 y el 21 en 3 filas de 7. Los tres son impares y compuestos.
Más grande no quiere decir más divisores. El 12 tiene seis divisores y el 29, que es más grande, solo tiene dos. Para saber cuántos divisores tiene un número, hay que buscarlos, no adivinar por su tamaño.
Práctica
¿Cuáles son todos los divisores de 18?
Por parejas: 1 × 18, 2 × 9 y 3 × 6. El 1 y el 18 también cuentan. El 4 no está, porque 18 ÷ 4 deja residuo 2. La lista 18, 36, 54, 72 tiene múltiplos de 18, no divisores.
¿Qué lista tiene todos los múltiplos de 7 desde el 7 hasta el 35?
Son los resultados de la tabla del 7: 7 × 1, 7 × 2, 7 × 3, 7 × 4 y 7 × 5. La lista 1, 5, 7, 35 tiene los divisores de 35, no sus múltiplos. Y a la última le falta el 7, que es múltiplo de sí mismo.
Marca todos los números primos.
Marca todas las que apliquen.
2, 17 y 31 tienen exactamente dos divisores. El 1 tiene uno solo. 9 = 3 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7 son impares, pero compuestos. Y 14 = 2 × 7 es par y compuesto: el único primo par es el 2.
¿Verdadero o falso? $1 \text{ es primo}$
Es falso. El 1 tiene un solo divisor, él mismo, y un primo necesita exactamente dos. El 1 no es primo ni compuesto.
¿Verdadero o falso? Como 4 × 9 = 36, el 36 es divisor de 4.
Es falso. La multiplicación dice que 36 es múltiplo de 4, y que 4 es divisor de 36. El grande es el múltiplo; el 36 no reparte al 4 en partes iguales.
¿Verdadero o falso? $735 \text{ es divisible por } 2$
Es falso. 735 termina en 5, que es impar. Si lo repartes en grupos de 2, sobra 1. Sí es divisible por 5.
Doña Rosa empaca 85 bombones en bolsas de 5, sin que sobre ninguno. ¿Cuántas bolsas llena?
85 termina en 5, así que es divisible por 5: 85 ÷ 5 = 17 bolsas. Se comprueba con 17 × 5 = 85.
En educación física hay 47 estudiantes y el profesor arma equipos de 6. ¿Cuántos estudiantes quedan sin equipo?
Salen 7 equipos, porque 7 × 6 = 42, y quedan 47 − 42 = 5 estudiantes. Como sobran, 47 no es múltiplo de 6.
¿Cuáles son todos los divisores de 29?
Ninguna fila de 2, 3, 4 o 5 reparte 29 fichas sin sobrantes: el 29 es primo y solo tiene dos divisores. El 12, que es más pequeño, tiene seis: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Más grande no quiere decir más divisores.
Sofía tiene 13 fichas. Dice: «Las pongo en 2 filas, en 3 filas, en 4… y siempre me sobran. Solo me sale una fila». ¿Qué nos dice eso del 13?
Si no sale ningún rectángulo de 2 filas o más, con 2 fichas o más en cada fila, el número solo se divide exacto entre 1 y entre sí mismo. Eso es ser primo. El 13 sí tiene divisores: el 1 y el 13.
Reto
Une cada número con la lista de todos sus divisores.
D(12) quiere decir «los divisores de 12». Busca las parejas que multiplicadas dan el número.
Reto
Lleva cada número a su canasta.
Imagina las fichas. Si se arma un rectángulo de 2 filas o más, con 2 fichas o más en cada fila, el número es compuesto.
Cierre
En resumen
Los múltiplos de un número son los resultados de su tabla; la lista nunca se acaba.
Los divisores de un número lo reparten sin que sobre nada; se buscan por parejas y la lista se acaba.
Si 3 × 4 = 12, entonces 12 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 12, nunca al revés.
Un número es divisible por 2 si termina en cifra par, por 5 si termina en 0 o 5 y por 10 si termina en 0.
Un primo tiene exactamente dos divisores y sus fichas solo forman una fila; el 1 no es primo ni compuesto, y hay impares compuestos como 9, 15 y 21.
Vocabulario
- Múltiplo
El resultado de multiplicar un número por 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24…
- Divisor
Un número que reparte a otro en partes iguales sin que sobre nada. 6 es divisor de 30 porque 30 ÷ 6 da 5 y no sobra nada.
- Número primo
Un número que tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. Con sus fichas solo se arma una fila (una columna es la misma fila puesta de pie).
- Número compuesto
Un número que tiene más de dos divisores. Con sus fichas se arma un rectángulo de 2 filas o más, con 2 fichas o más en cada fila.
- Criterio de divisibilidad
Una pista para saber si un número es divisible por otro sin hacer la división.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a 24 estudiantes (o 24 tapas) que formen filas iguales de varias maneras. Anote en el tablero cada arreglo como una multiplicación.
- Explicación · 15 min — Múltiplos con la tabla; divisores por parejas; las dos frases de 3 × 4 = 12; criterios del 2, el 5 y el 10; los arreglos de 12 y de 7 fichas.
- Práctica · 20 min — Cada pareja recibe un puñado de fichas, tapas o granos de maíz y clasifica los números del 2 al 30 armando rectángulos. Luego, preguntas individuales y retos.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un número impar que no sea primo y muestra su rectángulo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la lista de múltiplos nunca se acaba y la de divisores sí?
- Si un número termina en 0, ¿por qué es divisible por 2 y por 5 al mismo tiempo?
- ¿Por qué el 1 no cumple la regla de los primos?
- ¿Puede un número grande tener solo dos divisores? Den un ejemplo.
Errores típicos
- Confundir múltiplo con divisor: «12 es divisor de 3». Escriba la multiplicación 3 × 4 = 12 y pida señalar el número grande: ese es el múltiplo. Los factores son los divisores.
- Creer que el 1 es primo. Pida contar los divisores del 1 con fichas: hay uno solo, y un primo necesita exactamente dos.
- Creer que todo número impar es primo (9, 15, 21). Pida armar 9, 15 y 21 fichas en 3 filas iguales. Si sale el rectángulo, el número es compuesto.
- Creer que un número más grande tiene más divisores. Compare en el tablero D(12) y D(29). El tamaño no decide; hay que buscar las parejas.
- Olvidar el 1 o el propio número en la lista de divisores. Pida empezar siempre por la pareja 1 × número, que trae los dos de una vez.
Tarea sugerida
Buscar en la casa un grupo de 36 objetos iguales (granos, botones, tapas) y armar todos los rectángulos posibles. Escribir D(36) y decir si 36 es primo o compuesto. Hacer lo mismo con 37.