La potenciación: cuadrados y cubos
Lo que vas a aprender
- Escribir una multiplicación de factores iguales como potencia, y leerla nombrando la base y el exponente.
- Calcular el valor de una potencia sin confundirla con la base por el exponente.
- Hallar el área de un cuadrado y el volumen de un cubo como potencias, y el lado o la arista con la tabla de cuadrados y de cubos.
- Escribir números como 1000 o 1 000 000 como potencias de 10.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Luis manda un chiste a 3 amigos. Al día siguiente, cada uno lo manda a 3 amigos más, y así cada día. ¿Cuántas personas lo reciben al cuarto día? La respuesta crece tan rápido que sorprende.
Para contar baldosas en un piso cuadrado, cubitos en una caja o mensajes en una cadena hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. En esta lección vas a aprender a escribir esas multiplicaciones de forma corta, con una potencia.
Explicación
Una multiplicación escrita en corto
Mira esta multiplicación: 2 × 2 × 2. El 2 se repite tres veces como factor. Se puede escribir así: 2³.
- El número grande, el 2, es la base: el factor que se repite.
- El número pequeño de arriba, el 3, es el exponente: cuántas veces se repite.
- El resultado, 8, es el valor de la potencia.
Se lee «dos al cubo» o «dos elevado a la tres». Con exponente 2 se dice «al cuadrado»: 5² es «cinco al cuadrado». Con exponente 4 se dice «a la cuarta»: 3⁴ es «tres a la cuarta».
Cuidado: 2³ no es 2 × 3
El error más común es multiplicar la base por el exponente. Eso da 2 × 3 = 6, y está mal. El exponente no es un factor. Solo cuenta cuántas veces se escribe la base. Por eso 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Otro error es cambiar de puesto la base y el exponente. 3² es 3 × 3 = 9, pero 2³ es 2 × 2 × 2 = 8. No dan lo mismo.
El cuadrado: el área de un cuadrado
Dibuja en la cuadrícula un cuadrado de 4 cuadritos por lado. Tiene 4 filas de 4 cuadritos: 4 × 4 = 16. Por eso a 4² se le llama «cuatro al cuadrado»: es el área de un cuadrado de lado 4.
Los números 1, 4, 9, 16, 25… son los números cuadrados. Con ellos se arma la tabla de cuadrados. La tabla sirve también al revés: si un cuadrado tiene 49 cuadritos, buscas qué número por sí mismo da 49. Es el 7, porque 7 × 7 = 49.
Los cuadrados de lado 1, 2, 3 y 4 tienen 1, 4, 9 y 16 cuadritos. Cada uno es su lado al cuadrado.
Ejemplo resuelto
Dos al cubo no es seis
Calcula $2^{3}$ y compáralo con la multiplicación 2 × 3.
Ver la solución paso a paso
La base es 2 y el exponente es 3. El exponente dice cuántas veces se escribe el 2 como factor:
$$2^{3}$$
Escribimos la multiplicación repetida:
$$2 \times 2 \times 2$$
Multiplicamos de a dos: 2 × 2 = 4, y 4 × 2 = 8.
$$8$$
La multiplicación 2 × 3 da 6. Son cuentas distintas:
$$2^{3} \ne 2 \times 3$$
Respuesta: 2³ = 8, y no 6. El 6 sale de multiplicar la base por el exponente, que es otra cuenta.
Ejemplo resuelto
Los pisos de la huerta
En la huerta escolar hay dos casetas con piso cuadrado. La primera tiene 6 baldosas por lado. La segunda tiene 81 baldosas en total. ¿Cuántas baldosas tiene la primera? ¿Cuántas tiene por lado la segunda?
Ver la solución paso a paso
La primera caseta tiene 6 filas de 6 baldosas. Es una multiplicación de dos factores iguales:
$$6 \times 6$$
Dos factores iguales se escriben con exponente 2. Se lee «seis al cuadrado»:
$$6^{2}$$
Calculamos.
$$36$$
Ahora vamos al revés. En la segunda caseta buscamos en la tabla de cuadrados el número que, multiplicado por sí mismo, da 81:
$$8^{2} = 64 \quad\text{y}\quad 9^{2} = 81 \quad\text{y}\quad 10^{2} = 100$$
El 9 es el que sirve. Lo comprobamos:
$$9 \times 9 = 81$$
Respuesta: La primera caseta tiene 36 baldosas, porque 6² = 36. La segunda tiene 9 baldosas por lado, porque 9² = 81.
Es el piso de la primera caseta, de 6 baldosas por lado. Arrastra la esquina y busca el cuadrado que tiene 81 baldosas: ¿cuántas tiene cada lado?
El cubo: el volumen de un cubo
Ahora arma un cubo con cubitos. Si tiene 3 cubitos de largo, 3 de ancho y 3 de alto, cada capa es un cuadrado de 3 × 3 cubitos, y hay 3 capas. En total son 3 × 3 × 3 cubitos, o sea 3³. Por eso a 3³ se le dice «tres al cubo»: es el volumen de un cubo de arista 3.
También hay una tabla de cubos: 1, 8, 27, 64, 125… Con ella vas al revés: si un cubo tiene 64 cubitos, su arista es 4, porque 4 × 4 × 4 = 64.
Un cubo de 3 cubitos de arista. Cada capa tiene 3 × 3 = 9 cubitos y hay 3 capas: 3³ = 27 cubitos.
Ejemplo resuelto
Cubos de cubitos
Valentina arma un cubo con 4 cubitos de largo, 4 de ancho y 4 de alto. ¿Cuántos cubitos usa? Su primo armó otro cubo con 27 cubitos. ¿Cuántos cubitos tiene cada arista?
Ver la solución paso a paso
Cada capa es un cuadrado de 4 × 4 cubitos, y hay 4 capas:
$$\left(4 \times 4\right) \times 4$$
Son tres factores iguales a 4. Se escribe con exponente 3 y se lee «cuatro al cubo»:
$$4^{3}$$
Calculamos: 4 × 4 = 16, y 16 × 4 = 64.
$$64$$
Para el cubo del primo buscamos en la tabla de cubos el número que da 27:
$$2^{3} = 8 \quad\text{y}\quad 3^{3} = 27 \quad\text{y}\quad 4^{3} = 64$$
Respuesta: Valentina usa 64 cubitos, porque 4³ = 64. El cubo del primo tiene 3 cubitos en cada arista, porque 3³ = 27.
Llena la caja de 3 por 3 por 3, capa por capa. Después mueve el largo, el ancho y el alto hasta 4 para armar el cubo de Valentina y cuenta sus cubitos.
Ejemplo resuelto
La cadena de mensajes
Luis manda un chiste a 3 amigos. Al día siguiente, cada uno lo manda a 3 amigos nuevos, y así cada día. ¿Cuántas personas lo reciben el cuarto día?
Ver la solución paso a paso
El primer día lo reciben 3 personas. Cada día siguiente, cada persona lo pasa a 3, así que se multiplica por 3. El cuarto día hay cuatro factores 3:
$$3 \times 3 \times 3 \times 3$$
Con exponente se escribe:
$$3^{4}$$
Multiplicamos de a dos: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27 y 27 × 3 = 81.
$$81$$
No es 3 × 4 = 12. Ese sería el total de los cuatro días si cada día lo recibieran solo 3 personas nuevas:
$$3^{4} \ne 3 \times 4$$
Respuesta: El cuarto día lo reciben 81 personas. La gráfica muestra cómo crece: 3, 9, 27 y 81.
Personas que reciben el chiste de Luis cada día: 3, 3², 3³ y 3⁴. Cada barra es el triple de la anterior.
Las potencias de 10
Las potencias de 10 son muy fáciles. Mira:
- 10² = 10 × 10 = 100
- 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
- 10⁶ = 1 000 000, un millón
Cada vez que multiplicas por 10, el número gana un cero. Por eso el exponente dice cuántos ceros hay después del 1. Esto ayuda con el valor posicional: 1000 es 10³, y 3000 son 3 veces 10³.
Práctica
¿Cuánto vale $2^{3}$?
2³ = 2 × 2 × 2 = 8. El 6 sale de multiplicar 2 × 3, el 5 de sumar 2 + 3 y el 9 de calcular 3², que tiene la base y el exponente al revés.
Calcula $6^{3}$.
6³ = 6 × 6 × 6. Primero 6 × 6 = 36, y luego 36 × 6 = 216. Si te dio 18, multiplicaste la base por el exponente.
¿Qué multiplicación es igual a $4^{3}$?
En 4³ la base 4 se escribe tres veces como factor: 4 × 4 × 4 = 64. La opción 4 × 3 multiplica la base por el exponente, y 3 × 3 × 3 × 3 cambia los papeles de la base y el exponente.
Un cuadro cuadrado mide 7 cm de lado. ¿Cuál es su área, en cm²?
El área de un cuadrado es su lado al cuadrado: 7² = 7 × 7 = 49 cm². Si te dio 14, sumaste dos lados o multiplicaste por el exponente.
Un cubo armado con cubitos tiene 5 cubitos en cada arista. ¿Cuántos cubitos tiene en total?
Cada capa tiene 5 × 5 = 25 cubitos y hay 5 capas: 25 × 5 = 125. Es 5³.
Un tablero de ajedrez es cuadrado y tiene 64 casillas. ¿Cuántas casillas tiene cada lado?
En la tabla de cuadrados, 8² = 8 × 8 = 64. Cada lado tiene 8 casillas. No es 32: la mitad de 64 no sirve, porque 32 × 32 es mucho más.
¿Cómo se escribe 1 000 000 como potencia de 10?
Un millón tiene seis ceros después del 1, así que es 10⁶. La opción 6¹⁰ cambia la base y el exponente, y da un número muchísimo más grande.
En una cadena de postales, el primer día se mandan 2 postales. Cada día siguiente, cada persona que recibió una postal la manda a 2 personas nuevas. ¿Cuántas postales se mandan el día 4?
Cada día se multiplica por 2: 2, 4, 8 y 16. El día 4 son 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 postales, no 2 × 4 = 8.
¿Verdadero o falso? $3^{2} = 2^{3}$
Es falso. 3² = 3 × 3 = 9 y 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Si cambias de puesto la base y el exponente, cambia el resultado.
Pedro dice: «Dos al cubo es 6, porque 2 × 3 = 6». ¿Qué le explicarías?
El exponente cuenta los factores iguales. En 2³ hay tres doses multiplicados: 2 × 2 × 2 = 8. Multiplicar la base por el exponente es otra cuenta.
Reto
Cajas dentro de cajas.
Elige en cada espacio el número correcto. Cada vez se multiplica por 4.
Reto
Une cada potencia con su valor.
Escribe la multiplicación repetida antes de elegir.
Reto
Las palabras de las potencias.
Lee la pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Una potencia es una multiplicación de factores iguales; la base es el factor y el exponente dice cuántas veces se repite.
2³ = 2 × 2 × 2 = 8: el exponente no se multiplica por la base.
El cuadrado de un número es el área de un cuadrado con ese lado, y el cubo es el volumen de un cubo con esa arista.
Con la tabla de cuadrados y de cubos se halla el lado o la arista cuando se conoce el área o el volumen.
En una potencia de 10, el exponente dice cuántos ceros siguen al 1; 10⁶ es un millón.
Vocabulario
- Potencia
Una multiplicación de factores iguales escrita de forma corta. 2 × 2 × 2 se escribe 2³.
- Base
El número que se multiplica varias veces. En 2³, la base es 2.
- Exponente
El número pequeño de arriba. Dice cuántas veces se escribe la base como factor. En 2³, el exponente es 3.
- Al cuadrado
Con exponente 2. 6² se lee «seis al cuadrado» y es el área de un cuadrado de lado 6.
- Al cubo
Con exponente 3. 4³ se lee «cuatro al cubo» y es el volumen de un cubo de arista 4.
- Arista
Cada borde de un cubo, donde se juntan dos caras.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la cadena del chiste y pida adivinar cuántos lo reciben el cuarto día. Anote las apuestas y vuelva a ellas al final.
- Explicación · 15 min — Base, exponente y lectura; el error 2³ = 6 en el tablero; cuadrados en papel cuadriculado; un cubo armado con cubitos o cajitas de fósforos vacías; potencias de 10.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los retos en parejas. Cada pareja escribe la tabla de cuadrados hasta 10² y la de cubos hasta 5³.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en una tarjeta por qué 2³ no es 6, con un dibujo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué a 5² se le llama «cinco al cuadrado»? Muéstrenlo en la cuadrícula.
- ¿Qué crece más rápido: sumar 3 cada día o multiplicar por 3 cada día?
- Si 10⁴ = 10 000, ¿cuánto será 10⁵ sin hacer la multiplicación?
Errores típicos
- Multiplicar la base por el exponente: 2³ = 6. Pida escribir siempre la multiplicación repetida antes de calcular: 2 × 2 × 2. El exponente solo cuenta cuántos factores hay.
- Cambiar los papeles de la base y el exponente (3² en vez de 2³). Pida leer en voz alta: «dos al cubo» es un 2 repetido tres veces. Compare 3² = 9 con 2³ = 8.
- Sumar en vez de multiplicar: 4³ = 4 + 4 + 4. Use el cubo de cubitos: 4 + 4 + 4 sería una sola fila de cada capa, no el cubo entero.
- Contar mal los ceros en las potencias de 10. Pida escribir los ceros de uno en uno mientras dicen los factores 10.
Tarea sugerida
Completar en el cuaderno la tabla de cuadrados del 1 al 10 y la de cubos del 1 al 5, con un dibujo para 3² y otro para 2³. Inventar una cadena de mensajes en la que cada persona escribe a 2 amigos y decir cuántos lo reciben el cuarto día.