Descomponer en factores primos
Lo que vas a aprender
- Descomponer números hasta 200 en factores primos con un árbol de factores.
- Reconocer cuándo un árbol está terminado porque todas sus hojas son primos.
- Escribir la descomposición como producto y con potencias, y reconstruir el número multiplicando.
- Comprobar que dos árboles distintos del mismo número llegan a los mismos primos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un mecánico desarma un motor para ver sus piezas. Con los números se puede hacer algo parecido: desarmarlos hasta llegar a sus piezas más pequeñas, que son los números primos.
Cuando conoces las piezas de un número, lo entiendes mejor. Sabes por cuáles números se divide y puedes armarlo otra vez. En la próxima unidad vas a usar estas piezas para simplificar fracciones.
Explicación
Los primos son las piezas
Recuerda la lección anterior: un número primo solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo. No se puede partir en una multiplicación de números más pequeños. Por eso los primos son como las fichas de un juego de armar: multiplicándolos se construyen todos los demás números mayores que 1.
Los primos menores que 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Tenlos a la mano.
El árbol de factores
Para descomponer un número se dibuja un árbol:
- Escribe el número arriba.
- Pártelo en dos factores que multiplicados lo den. No uses el 1, porque no parte nada.
- Mira cada factor. Si es primo, ya es una hoja: enciérralo en un círculo. Si es compuesto, pártelo otra vez.
- Sigue hasta que todas las hojas sean primos.
Una ayuda para empezar: si el número es par, pártelo con el 2. Si termina en 0 o en 5, pártelo con el 5. Si no, prueba a dividir entre 3, entre 7 o entre otro primo.
Cuidado: un árbol a medias no sirve
Mucha gente escribe 12 = 2 × 6 y cree que terminó. Pero el 6 no es primo: 6 = 2 × 3. La descomposición de 12 es 2 × 2 × 3. Antes de parar, revisa cada factor: si alguno no es primo, el árbol no ha terminado.
Dos árboles de 72. El árbol A empieza con 8 × 9 y el árbol B con 2 × 36. Los dos terminan en tres doses y dos treses: 72 = 2³ × 3².
Ejemplo resuelto
El árbol A de 72
Descompón 72 en factores primos empezando por 8 × 9.
Ver la solución paso a paso
Partimos 72 en dos factores:
$$8 \times 9$$
Ni el 8 ni el 9 son primos. Seguimos partiendo: 8 = 2 × 4 y 9 = 3 × 3.
$$\left(2 \times 4\right) \times \left(3 \times 3\right)$$
El 4 todavía no es primo: 4 = 2 × 2. Ahora todas las hojas son primos:
$$2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$$
Juntamos los factores iguales con potencias. Hay tres doses y dos treses:
$$2^{3} \times 3^{2}$$
Reconstruimos el número para comprobar: 2³ = 8, 3² = 9 y 8 × 9 = 72.
$$72$$
Respuesta: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, que con potencias se escribe 72 = 2³ × 3².
Ejemplo resuelto
El árbol B de 72
Descompón otra vez 72, pero empezando por 2 × 36.
Ver la solución paso a paso
Esta vez el primer corte es otro:
$$2 \times 36$$
El 2 ya es primo. El 36 no: 36 = 6 × 6.
$$2 \times \left(6 \times 6\right)$$
Cada 6 se parte en 2 × 3:
$$2 \times \left(2 \times 3\right) \times \left(2 \times 3\right)$$
Ordenamos los primos de menor a mayor y contamos: tres doses y dos treses, como en el árbol A.
$$2^{3} \times 3^{2}$$
Reconstruimos: 8 × 9 = 72. Volvemos al número del principio.
$$72$$
Respuesta: Sale otra vez 72 = 2³ × 3². El árbol cambia según cómo empieces, pero las hojas son siempre los mismos primos.
Distintos árboles, los mismos primos
¿Por qué los dos árboles terminan igual? Porque cada número tiene una sola manera de escribirse como multiplicación de primos, si no te importa el orden. Puedes partir primero por un lado o por otro, como quien desarma un juguete empezando por las ruedas o por el techo. Al final, las piezas son las mismas.
Esto sirve para comprobar tu trabajo: si tu compañero hizo otro árbol del mismo número y le salieron otros primos, alguno de los dos se equivocó.
Escribir con potencias y reconstruir
Cuando un primo se repite, se escribe con potencia, como en la lección de potencias: 2 × 2 × 2 es 2³. Así, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 se escribe 72 = 2³ × 3². Se acostumbra poner los primos de menor a mayor.
Para reconstruir el número, haz las potencias y multiplica todo. Si llegas al número del principio, la descomposición está bien.
Ejemplo resuelto
El árbol que Camilo dejó a medias
Camilo escribió 180 = 2 × 90 y dijo: «Ya terminé». ¿Tiene razón? Descompón 180 en factores primos.
Ver la solución paso a paso
Camilo se quedó en este paso:
$$2 \times 90$$
El 2 es primo, pero el 90 no: termina en 0. Lo partimos en 9 × 10.
$$2 \times \left(9 \times 10\right)$$
Tampoco el 9 ni el 10 son primos: 9 = 3 × 3 y 10 = 2 × 5.
$$2 \times \left(3 \times 3\right) \times \left(2 \times 5\right)$$
Ahora todas las hojas son primos. Los ordenamos de menor a mayor:
$$2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$$
Con potencias:
$$2^{2} \times 3^{2} \times 5$$
Reconstruimos: 4 × 9 = 36 y 36 × 5 = 180.
$$180$$
Respuesta: Camilo no tenía razón, porque 90 no es primo. La descomposición es 180 = 2² × 3² × 5.
Ejemplo resuelto
Armar el número otra vez
En el tablero dice que un número es igual a $2 \times 3^{2} \times 7$. ¿Qué número es?
Ver la solución paso a paso
Hacemos primero la potencia: 3² = 3 × 3 = 9.
$$2 \times 3^{2} \times 7$$
Queda una multiplicación de tres factores:
$$2 \times 9 \times 7$$
Multiplicamos de a dos: 2 × 9 = 18.
$$18 \times 7$$
Y 18 × 7 = 126.
$$126$$
Respuesta: El número es 126. Si haces el árbol de 126, llegas otra vez a 2, 3, 3 y 7.
Práctica
¿Cuál es la descomposición en factores primos de 60?
Un árbol: 60 = 6 × 10, 6 = 2 × 3 y 10 = 2 × 5. Las hojas son 2, 2, 3 y 5, o sea 2² × 3 × 5. La opción 2 × 3 × 5 da 30: le falta un 2.
¿Verdadero o falso? 12 = 2 × 6 ya es la descomposición de 12 en factores primos.
Es falso. La multiplicación da 12, pero el 6 no es primo: 6 = 2 × 3. La descomposición de 12 es 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
En varios árboles de 90 aparecieron estos números. Marca los que ya son hojas, porque no se pueden partir más.
Marca todas las que apliquen.
2, 3 y 5 son primos: ahí termina el árbol. 15 = 3 × 5, 9 = 3 × 3 y 45 = 5 × 9 todavía se parten. La descomposición es 90 = 2 × 3² × 5.
¿Qué número es $2^{3} \times 5$?
Primero la potencia: 2³ = 8. Después, 8 × 5 = 40. Si te dio 30, multiplicaste 2 × 3 en vez de calcular 2³.
Calcula el número que tiene esta descomposición: $2^{2} \times 3 \times 11$.
2² = 4; luego 4 × 3 = 12, y 12 × 11 = 132. El orden en que multipliques no cambia el resultado.
¿Cuál es la descomposición de 200 escrita con potencias?
200 = 2 × 100, 100 = 10 × 10 y cada 10 es 2 × 5. Hay tres doses y dos cincos: 2³ × 5² = 8 × 25 = 200. La opción 2² × 5² da 100.
¿Cuál es el factor primo más grande de 154?
154 es par: 154 = 2 × 77. Y 77 = 7 × 11. Las hojas son 2, 7 y 11, así que el más grande es 11. El 77 no sirve: no es primo.
¿Verdadero o falso? $150 = 2 \times 3 \times 5^{2}$
Es verdadero. 5² = 25, 2 × 3 = 6 y 6 × 25 = 150. Además, 2, 3 y 5 son primos.
¿Verdadero o falso? $2^{3} \times 3 = 2 \times 3^{3}$
Es falso. 2³ × 3 = 8 × 3 = 24, pero 2 × 3³ = 2 × 27 = 54. El exponente dice qué primo se repite: no se puede pasar de uno a otro.
Ana hace el árbol de 36 empezando por 4 × 9. Luis lo hace empezando por 2 × 18. ¿Qué va a pasar al final?
4 = 2 × 2 y 9 = 3 × 3; por el otro lado, 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3. Los dos llegan a 36 = 2² × 3². Un número tiene una sola descomposición en primos; solo cambia el camino.
Reto
El árbol de 120, paso a paso.
Elige en cada espacio el número o la escritura correcta.
Reto
Une cada número con su descomposición en factores primos.
Reconstruye cada número: haz las potencias y multiplica.
Cierre
En resumen
Descomponer un número es escribirlo como una multiplicación en la que todos los factores son primos.
En el árbol de factores se parte el número en dos factores, y se sigue partiendo cada factor compuesto.
El árbol termina solo cuando todas las hojas son primos: 12 = 2 × 6 no está terminado, porque 6 = 2 × 3.
Árboles distintos del mismo número llegan a los mismos primos.
Los primos repetidos se escriben con potencias (72 = 2³ × 3²), y multiplicando se reconstruye el número.
Vocabulario
- Factor
Cada número que se multiplica en una multiplicación. En 3 × 4 = 12, los factores son 3 y 4.
- Factor primo
Un factor que es número primo, como 2, 3, 5 o 7.
- Árbol de factores
Un dibujo en el que un número se parte en dos factores, y cada factor compuesto se vuelve a partir, hasta que solo quedan primos.
- Descomposición en factores primos
El número escrito como una multiplicación en la que todos los factores son primos. 12 = 2 × 2 × 3, o 12 = 2² × 3.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte quién puede escribir 72 como una multiplicación. Anote varias respuestas distintas (8 × 9, 2 × 36, 6 × 12) para usarlas como primer corte.
- Explicación · 15 min — Los dos árboles de 72 en el tablero, uno junto al otro; el árbol de Camilo a medias; escribir con potencias y reconstruir.
- Práctica · 20 min — En parejas, cada estudiante hace un árbol distinto del mismo número (48, 90, 150) y comparan las hojas. Luego, preguntas y retos.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe la descomposición de su edad multiplicada por 10 y la reconstruye.
Preguntas para el salón
- ¿Cómo saben que un árbol ya está terminado?
- Si su compañero empezó el árbol de otra manera, ¿cómo pueden saber quién se equivocó?
- ¿Por qué no sirve partir un número como 1 × 72?
Errores típicos
- Dejar factores que no son primos: 12 = 2 × 6. Pida encerrar en un círculo solo los primos y revisar que cada hoja tenga su círculo antes de escribir la respuesta.
- Creer que el 1 es una hoja o partir un número como 1 × n. Recuerde que el 1 no es primo y que multiplicar por 1 no parte nada.
- Perder un factor al copiar las hojas del árbol. Pida reconstruir siempre el número multiplicando las hojas; si no llega al número inicial, falta o sobra un factor.
- Confundir el exponente al escribir con potencias (2 × 2 × 2 como 2 × 3). Pida contar en voz alta cuántas veces aparece cada primo antes de escribir la potencia.
Tarea sugerida
Descomponer 48, 84 y 196 con dos árboles distintos cada uno, escribir el resultado con potencias y reconstruir los números multiplicando.