Propiedades de la potenciación
Lo que vas a aprender
- Multiplicar potencias de la misma base sumando los exponentes, y comprobarlo desarrollando.
- Calcular la potencia de un producto elevando cada factor, y mostrarlo en la cuadrícula.
- Calcular una expresión con potencias de dos maneras y ver que dan lo mismo.
- Mostrar con un contraejemplo que una estrategia para calcular potencias no sirve.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección de potencias calculaste cada potencia escribiendo la multiplicación repetida. Funciona, pero con potencias grandes se vuelve largo. Las propiedades de la potenciación son atajos: te dejan calcular más rápido y de memoria.
Pero cuidado: también hay atajos falsos que parecen buenos y dan resultados equivocados. En esta lección vas a aprender a distinguir unos de otros, como un detective que pide pruebas antes de creer.
Explicación
Multiplicar potencias de la misma base
Mira 2³ × 2². Escribe cada potencia como multiplicación repetida: (2 × 2 × 2) × (2 × 2). Si quitas los paréntesis, quedan cinco doses en fila. Eso es 2⁵.
Fíjate en los exponentes: 3 + 2 = 5. Al multiplicar potencias de la misma base:
- la base se queda igual;
- los exponentes se suman.
Hay dos errores muy comunes. Uno es multiplicar los exponentes: 2³ × 2² no es 2⁶. El otro es multiplicar las bases: 5² × 5³ no es 25⁵. La base se queda, porque el factor que se repite sigue siendo el 5.
El exponente 1
Un número solo también es una potencia: 3 = 3¹, porque hay un solo factor 3. Esto ayuda a juntar potencias: 3² × 3 es 3² × 3¹, que da 3³.
La potencia de un producto
Ahora mira (2 × 3)². Es (2 × 3) × (2 × 3). En una multiplicación puedes cambiar el orden de los factores, así que queda 2 × 2 × 3 × 3, o sea 2² × 3². La potencia se reparte entre los factores del producto: cada uno queda con el mismo exponente.
En la figura lo ves en la cuadrícula. Un cuadrado de lado 2 × 3 = 6 tiene 6² cuadritos. Pero también se puede ver como 3² bloques, y cada bloque tiene 2² cuadritos.
Un cuadrado de lado 6 = 2 × 3. Tiene 6 × 6 = 36 cuadritos. Las líneas continuas lo parten en 3 × 3 = 9 bloques de 2 × 2 = 4 cuadritos: (2 × 3)² = 2² × 3².
Ejemplo resuelto
Se suman los exponentes
Calcula $2^{3} \times 2^{2}$ y explica por qué no es 2⁶.
Ver la solución paso a paso
Tenemos dos potencias de base 2:
$$2^{3} \times 2^{2}$$
Escribimos cada potencia como multiplicación repetida:
$$\left(2 \times 2 \times 2\right) \times \left(2 \times 2\right)$$
Sin paréntesis, quedan cinco doses en fila:
$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$
Cinco factores iguales a 2. Los exponentes se sumaron: 3 + 2 = 5.
$$2^{5}$$
Calculamos.
$$32$$
Si multiplicáramos los exponentes, saldría 2⁶ = 64, que es el doble. No da lo mismo:
$$2^{3} \times 2^{2} \ne 2^{6}$$
Respuesta: 2³ × 2² = 2⁵ = 32. Al multiplicar potencias de la misma base, la base se queda y los exponentes se suman.
Ejemplo resuelto
El cuadrado de un producto
Un piso cuadrado tiene 6 baldosas por lado, y 6 = 2 × 3. Calcula sus baldosas, $\left(2 \times 3\right)^{2}$, de dos maneras.
Ver la solución paso a paso
Es el área de un cuadrado de lado 2 × 3:
$$\left(2 \times 3\right)^{2}$$
Primera manera: hacemos primero el producto, 2 × 3 = 6.
$$6^{2}$$
Y 6 × 6 es:
$$36$$
Segunda manera: escribimos el cuadrado como multiplicación repetida.
$$\left(2 \times 3\right) \times \left(2 \times 3\right)$$
Cambiamos el orden de los factores, que en la multiplicación se puede:
$$2 \times 2 \times 3 \times 3$$
Son dos doses y dos treses:
$$2^{2} \times 3^{2}$$
En la figura, cada bloque tiene 2² = 4 baldosas y hay 3² = 9 bloques:
$$4 \times 9$$
Calculamos.
$$36$$
Respuesta: Las dos maneras dan 36: (2 × 3)² = 6² = 2² × 3². La potencia de un producto se reparte entre los factores.
El rectángulo de la profesora: 18 cuadritos de largo y 12 de alto, o sea 18 × 12 = 216 cuadritos. Las líneas continuas lo parten en 6 cuadrados de 6 × 6: 6 × 6² = 6³ = 216.
Ejemplo resuelto
El producto del tablero
Una profesora escribe en el tablero $\left(3^{2} \times 2\right) \times \left(2^{2} \times 3\right)$ y lo dibuja en la cuadrícula como un rectángulo. Calcúlalo de dos maneras.
Ver la solución paso a paso
Este es el producto:
$$\left(3^{2} \times 2\right) \times \left(2^{2} \times 3\right)$$
Primera manera: cada paréntesis por separado. 3² × 2 = 9 × 2 = 18, y 2² × 3 = 4 × 3 = 12. Es un rectángulo de 18 por 12 cuadritos:
$$18 \times 12$$
Multiplicamos.
$$216$$
Segunda manera: quitamos los paréntesis. Así podemos juntar las potencias de la misma base.
$$3^{2} \times 3 \times 2 \times 2^{2}$$
El 3 solo es 3¹ y el 2 solo es 2¹. Sumamos exponentes: 3² × 3¹ = 3³ y 2¹ × 2² = 2³.
$$3^{3} \times 2^{3}$$
Por la potencia de un producto, esto se puede juntar en una sola potencia:
$$\left(3 \times 2\right)^{3}$$
Como 3 × 2 = 6:
$$6^{3}$$
Y 6 × 6 × 6 da otra vez:
$$216$$
En la figura se ven las dos maneras. Las líneas continuas parten el rectángulo de 18 por 12 en 6 cuadrados de 6 por 6, y cada cuadrado tiene 6² cuadritos:
$$18 \times 12 = 6 \times 6^{2}$$
Respuesta: Las dos maneras dan 216. El rectángulo de 18 por 12 tiene 6 cuadrados de 6² cuadritos: 6 × 6² = 6³ = 216 cuadritos.
Arrastra la esquina hasta el rectángulo de la profesora, de 18 cuadritos de largo y 12 de alto, y lee su área.
Atajos que no sirven
Un atajo solo vale si funciona siempre. Para descubrir uno falso basta un contraejemplo: un caso con números en el que los dos lados dan distinto.
- (2 + 3)² no es 2² + 3². La potencia se reparte en una multiplicación, pero no en una suma. El ejemplo de abajo lo muestra.
- 2⁴ no es 2 × 4. El exponente cuenta factores: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, y 2 × 4 = 8.
- 5² × 5³ no es 25⁵. Las bases no se multiplican: es 5⁵.
- 2³ × 2² no es 2⁶. Los exponentes se suman: es 2⁵.
Cuando alguien te proponga un atajo, pruébalo con números pequeños, pero evita el 0, el 1 y el 2, que a veces engañan: (0 + 3)² sí da lo mismo que 0² + 3², y 2² sí da lo mismo que 2 × 2. Si un solo caso falla, el atajo no sirve. Si funciona en varios casos, todavía hay que explicar por qué funciona siempre, como hicimos al escribir las multiplicaciones repetidas.
Ejemplo resuelto
El atajo de Sara
Sara dice: «Para calcular (2 + 3)², hago 2² + 3²». ¿Sirve su atajo?
Ver la solución paso a paso
Primero lo que está dentro del paréntesis: 2 + 3 = 5.
$$\left(2 + 3\right)^{2}$$
Queda el cuadrado de 5:
$$5^{2}$$
Calculamos.
$$25$$
Ahora el atajo de Sara:
$$2^{2} + 3^{2}$$
Las potencias valen 4 y 9:
$$4 + 9$$
Sumamos.
$$13$$
25 no es 13. Este contraejemplo basta:
$$\left(2 + 3\right)^{2} \ne 2^{2} + 3^{2}$$
Respuesta: El atajo de Sara no sirve: (2 + 3)² = 25, pero 2² + 3² = 13. La potencia no se reparte en una suma.
Práctica
¿A qué es igual $2^{4} \times 2^{2}$?
La base 2 se queda y los exponentes se suman: 4 + 2 = 6, así que es 2⁶ = 64. La opción 2⁸ multiplica los exponentes, y las de base 4 multiplican las bases.
¿Cuál es igual a $5^{2} \times 5^{3}$?
Hay dos cincos y luego tres cincos: cinco factores 5 en total, o sea 5⁵. La base no cambia: 25⁵ sale de multiplicar las bases, y 5⁶ de multiplicar los exponentes.
Escribe el valor de $3^{1} \times 3^{2}$.
3¹ es un solo 3. Sumamos exponentes: 3¹ × 3² = 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
¿Qué cuenta da lo mismo que $\left(3 \times 4\right)^{2}$?
La potencia de un producto se reparte en los dos factores: (3 × 4)² = 3² × 4² = 9 × 16 = 144, igual que 12² = 144. Elevar solo el 4 da 48, y sumar los cuadrados da 25.
¿Verdadero o falso? $\left(3 + 4\right)^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
Es falso. (3 + 4)² = 7² = 49, pero 3² + 4² = 9 + 16 = 25. La potencia no se reparte en una suma.
¿Verdadero o falso? $\left(2 \times 5\right)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}$
Es verdadero. La potencia se reparte en un producto: 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000, y (2 × 5)³ = 10³ = 1000.
Calcula de memoria $2^{4} \times 5^{4}$. Junta primero el 2 con el 5.
Por la potencia de un producto, 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. Es más fácil que calcular 16 × 625.
¿Verdadero o falso? $2^{4} = 2 \times 4$
Es falso. 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, y 2 × 4 = 8. El exponente cuenta los factores; no se multiplica por la base.
En una bodega hay 10² cajas, y cada caja trae 10³ tornillos. ¿Cuántos tornillos hay en total?
Hay que multiplicar: 10² × 10³ = 10⁵, porque 2 + 3 = 5. Es un 1 con cinco ceros: 100 000 tornillos.
Martín dice: «Para multiplicar potencias de la misma base, multiplico los exponentes». ¿Sirve siempre su atajo?
Un contraejemplo basta: 2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) tiene cinco factores, no seis. El atajo correcto es sumar los exponentes y dejar la base.
Reto
Une cada cuenta con otra que vale lo mismo.
Usa las propiedades: misma base, se suman los exponentes; potencia de un producto, se reparte.
Reto
Abre el candado de las potencias.
Cada pista da un dígito. Escribe la multiplicación repetida si dudas.
Cierre
En resumen
Al multiplicar potencias de la misma base, la base se queda y los exponentes se suman: 2³ × 2² = 2⁵.
Un número solo es una potencia de exponente 1: 3 = 3¹.
La potencia de un producto se reparte entre los factores: (2 × 3)² = 2² × 3².
Una misma expresión con potencias se puede calcular de dos maneras, y las dos dan lo mismo.
Un contraejemplo basta para tumbar un atajo falso: (2 + 3)² no es 2² + 3², 2⁴ no es 2 × 4 y 5² × 5³ no es 25⁵.
Vocabulario
- Potencias de igual base
Potencias que tienen la misma base, como 2³ y 2².
- Exponente 1
Un número solo es una potencia de exponente 1: 7¹ = 7, porque hay un solo factor.
- Propiedad
Una regla que se cumple siempre, con cualquier número.
- Contraejemplo
Un ejemplo con números en el que una regla falla. Basta uno para saber que la regla no sirve siempre.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero «2³ × 2² = 2⁶» y pida a la clase votar si es verdad. Dejen la respuesta pendiente hasta desarrollar las potencias.
- Explicación · 15 min — Desarrollar las potencias para descubrir la suma de exponentes; el cuadrado de 6 por 6 en papel cuadriculado con bloques de 2 por 2; el producto del DBA de dos maneras; el atajo de Sara.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas. Cada pareja inventa un atajo falso y lo tumba con un contraejemplo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una propiedad que sirve siempre y un atajo que no sirve, con su contraejemplo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en 2³ × 2² los exponentes se suman y no se multiplican?
- Si un atajo funciona con un ejemplo, ¿ya podemos decir que sirve siempre? ¿Y si falla con uno?
- ¿Por qué la potencia se reparte en (2 × 3)² pero no en (2 + 3)²? Muéstrenlo en la cuadrícula.
Errores típicos
- Multiplicar los exponentes: 2³ × 2² = 2⁶. Pida escribir los factores de cada potencia y contarlos todos juntos.
- Multiplicar las bases: 5² × 5³ = 25⁵. Pregunte qué factor se repite en la multiplicación desarrollada: sigue siendo el 5.
- Repartir la potencia en una suma: (2 + 3)² = 2² + 3². Pida calcular los dos lados con números y dibujar el cuadrado de lado 5 en la cuadrícula: los cuadrados de 2 y de 3 no lo llenan.
- Multiplicar la base por el exponente: 2⁴ = 8. Pida leer la potencia en voz alta y escribir la multiplicación repetida antes de calcular.
Tarea sugerida
Calcular de dos maneras (2² × 5) × (5² × 2) y comprobar que da 10³. Inventar un atajo falso para las potencias, tumbarlo con un contraejemplo y presentarlo a la familia.