La fracción: parte de un todo, reparto y razón
Lo que vas a aprender
- Reconocer si una fracción dice una parte de un todo, el resultado de un reparto o una razón entre dos cantidades.
- Partir una figura en partes iguales para leer qué fracción está sombreada.
- Escribir un reparto como fracción y como división, también cuando a cada uno le toca más de una unidad.
- Calcular cuántos objetos son una fracción de un grupo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el mercado, doña Inés vende media libra de queso. En el recreo, tres amigos se reparten dos paquetes de galletas. En la huerta del colegio siembran tres matas de lechuga por cada dos de cilantro. En las tres situaciones aparece una fracción.
Pero no siempre quiere decir lo mismo. A veces es un pedazo de algo. A veces es lo que le toca a cada uno en un reparto. Y a veces compara dos cantidades. En esta lección vas a aprender a reconocer cada caso y a dibujarlo.
Explicación
Lo que ya sabes
En cuarto viste que una fracción puede ser parte de un todo, el resultado de un reparto, un operador (como $\tfrac{3}{4}$ de 20) y una razón. Aquí vas a usar esas ideas para decidir qué significa la fracción en cada situación.
Una fracción no es solo un pedazo de torta
Muchos niños piensan que $\tfrac{3}{4}$ solo puede ser «tres pedazos de una torta partida en cuatro». Esa es una de sus caras, pero hay más. Si te quedas solo con la torta, te vas a enredar cuando la fracción sea un reparto o una comparación.
Primera cara: parte de un todo
Un entero se parte en partes iguales. El denominador dice en cuántas partes se partió. El numerador dice cuántas de esas partes se toman. El entero puede ser una figura, una arepa o un grupo de cosas, como una cubeta de huevos.
Lo más importante es la palabra iguales. Si las partes no son iguales, no se puede leer la fracción así no más. Mira la bandera de la izquierda en la figura. Tiene tres pedazos, pero el pedazo sombreado no es un tercio. La mitad blanca es más grande. Si partes esa mitad en dos, como en la bandera de la derecha, quedan cuatro partes iguales. Ahora sí se ve: lo sombreado es un cuarto.
A la izquierda, la bandera tiene tres pedazos que no son iguales. A la derecha, la mitad blanca se partió en dos con la línea punteada: quedan cuatro partes iguales y la sombreada es un cuarto.
En una cuadrícula pasa algo parecido. Si una figura tiene medios cuadritos, se juntan de a dos para formar cuadritos enteros. Así se cuenta todo con la misma unidad.
Un rectángulo de cuadrícula con una flecha sombreada. La flecha tiene cuadritos enteros y dos medios cuadritos. Se usa en el primer ejemplo y en una pregunta.
Ejemplo resuelto
Juntar medios cuadritos
¿Qué fracción del rectángulo de la cuadrícula está sombreada?
Ver la solución paso a paso
El rectángulo tiene 4 columnas y 3 filas de cuadritos iguales. Ese es el entero:
$$4 \times 3$$
Hay 12 cuadritos en total. Ese número va abajo, en el denominador.
$$12$$
Ahora contamos lo sombreado. Hay 4 cuadritos enteros y 2 medios cuadritos. Dos medios juntos forman un cuadrito entero:
$$4 + \left(2 \div 2\right)$$
Lo sombreado equivale a 5 cuadritos. Ese número va arriba, en el numerador.
$$5$$
La fracción sombreada es 5 de 12 partes iguales:
$$\frac{5}{12}$$
Respuesta: Está sombreado $\tfrac{5}{12}$ del rectángulo. Si cuentas los medios cuadritos como enteros, te da $\tfrac{6}{12}$, y eso es un error.
Segunda cara: el resultado de un reparto
Tres arepas iguales se reparten entre cuatro amigos. Ninguno recibe una arepa entera. Se parte cada arepa en cuatro, y cada amigo recibe un pedazo de cada arepa: tres cuartos. Por eso $\tfrac{3}{4}$ también quiere decir 3 repartido entre 4, o sea, $3 \div 4$. El numerador es lo que se reparte. El denominador es entre cuántos.
Si hay más cosas que personas, a cada uno le toca más de un entero. Siete panes entre cuatro niños dan $\tfrac{7}{4}$ de pan a cada uno. Es una fracción mayor que la unidad: un pan entero y tres cuartos más.
Ejemplo resuelto
Siete panes entre cuatro niños
Doña Marta reparte 7 panes iguales entre 4 niños, en partes iguales y sin que sobre nada. ¿Cuánto pan recibe cada niño?
Ver la solución paso a paso
Repartir en partes iguales es dividir. Lo que se reparte va primero:
$$7 \div 4$$
Ese reparto se escribe como fracción. El numerador es lo que se reparte, y el denominador, entre cuántos:
$$\frac{7}{4}$$
Para verlo, primero se da un pan entero a cada niño. Se usan 4 panes y sobran 3. Cada pan que sobra se parte en cuartos, y cada niño recibe un cuarto de cada uno:
$$1 + \frac{3}{4}$$
Respuesta: Cada niño recibe $\tfrac{7}{4}$ de pan, que es un pan entero y $\tfrac{3}{4}$ más.
Son los 7 panes de doña Marta para 4 niños. Reparte: primero un pan entero a cada uno, y después parte en cuartos los que sobran. Mira cuánto le toca a cada niño.
El reparto de siete panes entre cuatro niños. Cada color es un niño. Arriba, cada uno recibe un pan entero. Abajo, los tres panes que sobran se parten en cuartos y cada niño recibe un cuarto de cada pan: un pan y tres cuartos, que son siete cuartos.
Tercera cara: una razón
Para el refresco de la tienda escolar se echan dos vasos de jugo de mora por cada tres vasos de agua. Aquí la fracción $\tfrac{2}{3}$ no es un pedazo de nada. Compara el jugo con el agua. Eso se llama una razón, y se lee «dos a tres». La palabra «por cada» es la pista.
Cuidado: la razón no es lo mismo que la parte de la jarra. Si te preguntan qué fracción de la jarra es jugo, cuenta primero todos los vasos.
Los vasos del refresco: cada círculo es un vaso. A la izquierda, los 2 vasos de jugo; a la derecha, los 3 vasos de agua. La razón compara un grupo con el otro; la parte de la jarra compara el jugo con todos los vasos.
Ejemplo resuelto
La razón y la parte de la jarra
En la jarra se echan 2 vasos de jugo por cada 3 vasos de agua. ¿Cuál es la razón del jugo al agua? ¿Qué fracción de la jarra es jugo?
Ver la solución paso a paso
La razón compara el jugo con el agua: 2 a 3.
$$\frac{2}{3}$$
Para la parte de la jarra, contamos primero todos los vasos:
$$2 + 3$$
En la jarra hay 5 vasos.
$$5$$
El jugo son 2 de esos 5 vasos. Esta fracción sí es parte de un todo:
$$\frac{2}{5}$$
Las dos fracciones no son iguales. La parte de la jarra es menor que la razón:
$$\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$$
Respuesta: La razón del jugo al agua es $\tfrac{2}{3}$, y el jugo es $\tfrac{2}{5}$ de la jarra.
¿Cómo saber cuál cara es?
Hazte tres preguntas:
- ¿Hay un entero partido en partes iguales, y se toman algunas? Es parte de un todo.
- ¿Se reparte algo entre varios (personas, animales…)? Es un reparto: el numerador es lo que se reparte.
- ¿Se comparan dos cantidades con «por cada»? Es una razón.
La fracción también sirve para contar una parte de un grupo. Para saber cuántos son $\tfrac{2}{3}$ de un grupo, divide el grupo en 3 partes iguales y toma 2 de ellas.
Ejemplo resuelto
Una parte de un grupo
En el bus del colegio van 36 niños, y 2/3 de ellos son de quinto. ¿Cuántos niños de quinto van en el bus?
Ver la solución paso a paso
El entero es el grupo de 36 niños. El denominador dice que se parte en 3 grupos iguales:
$$36 \div 3$$
En cada grupo hay 12 niños.
$$12$$
El numerador dice que tomamos 2 de esos grupos:
$$12 \times 2$$
Multiplicamos.
$$24$$
Respuesta: Van 24 niños de quinto. Es menos que 36, como debe ser: $\tfrac{2}{3}$ es menos que el grupo entero.
Práctica
Mira la bandera de la izquierda en la primera figura. ¿Qué fracción de la bandera está sombreada?
La bandera tiene tres pedazos, pero no son iguales. Si partes la mitad blanca en dos, quedan cuatro partes iguales y una está sombreada: un cuarto. Decir un tercio es contar pedazos desiguales.
En el rectángulo de la cuadrícula, ¿qué fracción queda SIN sombrear? Escríbela como fracción.
El rectángulo tiene 12 cuadritos. Lo sombreado equivale a 5 cuadritos, porque los dos medios forman uno. Quedan sin sombrear 12 − 5 = 7 cuadritos: $\tfrac{7}{12}$.
Se reparten 3 arepas iguales entre 4 amigos, en partes iguales. ¿Qué fracción de arepa recibe cada uno?
Repartir 3 entre 4 es 3 ÷ 4 = $\tfrac{3}{4}$. Cada arepa se parte en cuatro, y cada amigo recibe un pedazo de cada una: tres cuartos.
Cinco chocolatinas iguales se reparten entre 8 niños, en partes iguales. ¿Qué cuenta da lo que recibe cada niño?
Lo que se reparte va primero: 5 ÷ 8 = $\tfrac{5}{8}$ de chocolatina. Si haces 8 ÷ 5, cada niño recibiría más de una chocolatina, y no alcanzan ni para una por niño.
¿Verdadero o falso? Si se reparten 9 panes iguales entre 4 niños, cada niño recibe más de 2 panes.
Cada niño recibe $\tfrac{9}{4}$ de pan. Con 8 panes cada uno tendría 2; el pan que sobra se parte en cuartos y cada uno recibe un cuarto más. Son 2 panes y $\tfrac{1}{4}$, que es más de 2.
Se reparten 7 tortas iguales entre 3 familias. Cada familia recibe 2 tortas enteras y un pedazo más. ¿Qué fracción de torta es ese pedazo?
Con 6 tortas, cada familia recibe 2. Sobra una torta, que se parte en tres: a cada familia le toca $\tfrac{1}{3}$ más. En total, $\tfrac{7}{3}$ de torta.
Marca los repartos en los que a cada persona le toca más de una unidad entera.
Marca todas las que apliquen.
Toca más de uno cuando hay más cosas que personas: 7 entre 4 y 10 entre 6. En 5 entre 5 toca exactamente uno, no más.
En la huerta escolar se siembran 3 matas de lechuga por cada 5 matas de cilantro. ¿Qué fracción de todas las matas es lechuga?
La razón de lechuga a cilantro es 3 a 5. Pero te preguntan por todas las matas: en cada grupo hay 3 + 5 = 8 matas, y 3 son de lechuga. Es $\tfrac{3}{8}$. La opción $\tfrac{3}{5}$ es la razón, no la parte.
Una cubeta tiene 12 huevos. Se usaron 5 para el desayuno. ¿Qué fracción de la cubeta queda? Escríbela como fracción.
El entero es la cubeta de 12 huevos. Quedan 12 − 5 = 7 huevos, o sea, $\tfrac{7}{12}$ de la cubeta.
En un curso hay 30 estudiantes y 2/5 de ellos llegan en bicicleta. ¿Cuántos estudiantes llegan en bicicleta?
Se parte el curso en 5 grupos iguales: 30 ÷ 5 = 6 estudiantes en cada grupo. Se toman 2 grupos: 6 × 2 = 12 estudiantes.
¿En cuál de estas situaciones la fracción 3/4 es el resultado de un reparto?
Solo en los panes se reparte algo entre personas: 3 ÷ 4. Las ventanas y la torta son parte de un todo, y las niñas y los niños son una razón.
«En la cancha hay 1 balón por cada 2 niños.» ¿Qué dice aquí la fracción 1/2?
«Por cada» es la pista de una razón. Nadie parte un balón: se comparan dos cantidades, los balones y los niños.
Reto
Une cada reparto con lo que le toca a cada uno.
El numerador es lo que se reparte. Si toca más de uno, piensa cuántos enteros y qué fracción sobra.
Reto
¿Qué cara tiene la fracción?
Busca las pistas: un entero partido, algo que se reparte o un «por cada».
Cierre
En resumen
Una fracción tiene varias caras: parte de un todo, resultado de un reparto y razón entre dos cantidades.
Como parte de un todo, las partes tienen que ser iguales; si no lo son, se subdividen hasta que lo sean.
Como reparto, el numerador es lo que se reparte y el denominador entre cuántos: 3/4 = 3 ÷ 4.
Si hay más cosas que personas, a cada una le toca más de un entero, como 7/4 = 1 + 3/4.
Una razón compara dos cantidades con «por cada»; no es lo mismo que la parte del total.
Vocabulario
- Fracción
Un número escrito con dos números y una raya, como 3/4. El de abajo es el denominador y el de arriba, el numerador.
- Parte de un todo
La fracción que dice cuántas partes iguales se toman de un entero partido. 3/4 de una arepa son 3 de sus 4 pedazos iguales.
- Reparto
Dividir algo en partes iguales entre varios. 3 panes entre 4 niños dan 3/4 de pan a cada uno: 3/4 = 3 ÷ 4.
- Razón
Una comparación entre dos cantidades con «por cada». 2 vasos de jugo por cada 3 de agua es la razón 2 a 3, que se escribe 2/3.
- Fracción mayor que la unidad
Una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador, como 7/4. Vale más que un entero.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 3/4 en el tablero y pida que cada uno dibuje qué significa. Casi todos dibujarán una torta: guarde los dibujos para volver a ellos al final.
- Explicación · 15 min — Las tres caras con material: una hoja doblada (parte de un todo), tres tiras de papel repartidas entre cuatro (reparto) y fichas de dos colores (razón). La bandera y la cuadrícula en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los retos en parejas. En las cestas, cada pareja dice la pista que la hizo decidir.
- Cierre · 5 min — Vuelvan al dibujo del inicio: cada estudiante dibuja 3/4 de otras dos maneras, un reparto y una razón.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el pedazo sombreado de la bandera no es un tercio, si la bandera tiene tres pedazos?
- Si 7 panes se reparten entre 4, ¿cómo saben, antes de calcular, que a cada uno le toca más de un pan?
- En «2 vasos de jugo por cada 3 de agua», ¿por qué el jugo no es 2/3 de la jarra?
Errores típicos
- Creer que una fracción solo es un pedazo de torta y no reconocer el reparto ni la razón. Pida representar la misma fracción de tres maneras: un dibujo partido, un reparto de objetos y fichas de dos colores.
- Leer la fracción en una figura con partes desiguales (un tercio en la bandera). Pida trazar líneas hasta que todas las partes sean iguales antes de escribir la fracción.
- Escribir el reparto al revés: 4/3 para 3 panes entre 4 niños. Pregunte si a cada niño le toca más o menos de un pan. Si hay menos panes que niños, la fracción tiene que ser menor que 1.
- Confundir la razón con la parte del total: decir que el jugo es 2/3 de la jarra. Pida dibujar todos los vasos y contar el total antes de escribir la parte.
- Contar los medios cuadritos como cuadritos enteros. Pida recortar o colorear los medios cuadritos y juntarlos de a dos.
Tarea sugerida
Buscar en la casa o en la tienda tres situaciones con fracciones: una parte de un todo, un reparto y una razón con «por cada». Escribir la fracción de cada una y hacer un dibujo.