Simplificar y buscar un denominador común
Lo que vas a aprender
- Simplificar una fracción hasta la irreducible, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número.
- Usar la descomposición en factores primos para simplificar de una vez.
- Reconocer que restar o dividir por números distintos arriba y abajo cambia la fracción.
- Llevar dos o tres fracciones a un mismo denominador con fracciones equivalentes.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda, don Hernán dice que vendió «doce de las dieciocho» bolsas de leche. Su hija dice que vendió «dos tercios» de las bolsas. ¿Dicen lo mismo? Sí. La hija dijo lo mismo con números más pequeños, que se entienden mejor. Eso es simplificar.
Otras veces hay que comparar fracciones que tienen denominadores distintos, como $\tfrac{2}{3}$ y $\tfrac{3}{4}$. Es como comparar pedazos de dos panes partidos de maneras distintas. Para hacerlo, se parten los dos panes en pedazos del mismo tamaño. Eso es buscar un denominador común. Lo vas a necesitar para ordenar fracciones y, más adelante, para sumarlas.
Explicación
Lo que ya sabes: fracciones equivalentes
En cuarto aprendiste que $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{2}{4}$ y $\tfrac{4}{8}$ valen lo mismo. Para pasar de una a otra, se multiplica o se divide el numerador y el denominador por el mismo número. Si multiplicas, amplificas. Si divides, simplificas.
Simplificar hasta el final
Simplificar es partir en pedazos más grandes. En $\tfrac{12}{18}$, el 12 y el 18 se pueden dividir entre 2, y queda $\tfrac{6}{9}$. Pero todavía se puede seguir: el 6 y el 9 se dividen entre 3, y queda $\tfrac{2}{3}$. El 2 y el 3 ya no tienen ningún divisor común fuera del 1. Por eso $\tfrac{2}{3}$ es la fracción irreducible: la forma más sencilla de escribir esa cantidad.
Con las piezas del número
En la unidad anterior descompusiste números en factores primos. Esas piezas sirven aquí. Escribe el numerador y el denominador como producto de primos. Cada primo que esté arriba y abajo se tacha una vez arriba y una vez abajo. Tachar un 2 arriba y un 2 abajo es dividir los dos entre 2. Lo que queda es la irreducible.
Ejemplo resuelto
Simplificar por pasos
Don Hernán vendió 12 de las 18 bolsas de leche. Simplifica $\tfrac{12}{18}$ hasta la fracción irreducible.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la fracción:
$$\frac{12}{18}$$
El 12 y el 18 son pares. Dividimos los dos entre 2:
$$\frac{12 \div 2}{18 \div 2}$$
Queda:
$$\frac{6}{9}$$
El 6 y el 9 están en la tabla del 3. Dividimos los dos entre 3:
$$\frac{6 \div 3}{9 \div 3}$$
Queda:
$$\frac{2}{3}$$
El 2 y el 3 son primos distintos. No tienen divisor común fuera del 1, así que ya no se puede seguir.
Respuesta: $\tfrac{12}{18} = \tfrac{2}{3}$. Don Hernán vendió dos tercios de las bolsas.
Ejemplo resuelto
Simplificar con factores primos
Simplifica $\tfrac{18}{24}$ hasta la fracción irreducible usando los factores primos.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la fracción:
$$\frac{18}{24}$$
Descomponemos: 18 = 2 × 3 × 3 y 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
$$\frac{2 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 2 \times 3}$$
Arriba y abajo hay un 2 y un 3. Los tachamos una vez en cada lado. Eso es dividir los dos números entre 2 × 3, que es 6:
$$\frac{18 \div 6}{24 \div 6}$$
Arriba queda un 3, y abajo, 2 × 2:
$$\frac{3}{4}$$
El 3 y el 4 no comparten ningún primo: es irreducible.
Respuesta: $\tfrac{18}{24} = \tfrac{3}{4}$, en un solo paso.
Dos errores que cambian la fracción
Restar el mismo número arriba y abajo no sirve. Restar no es partir en pedazos más grandes. Cambia la cantidad. Mira el ejemplo que sigue.
Dividir por números distintos tampoco sirve. Si divides el numerador entre 6 y el denominador entre 9, ya no partes las dos cosas igual, y la fracción cambia. La regla es siempre la misma: arriba y abajo, la misma operación con el mismo número, y solo multiplicar o dividir.
Ejemplo resuelto
El error de restar
Juan quiso simplificar $\tfrac{12}{18}$ restando 10 arriba y abajo. Le dio $\tfrac{2}{8}$. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Ya sabemos que la irreducible de $\tfrac{12}{18}$ es:
$$\frac{2}{3}$$
Ahora miramos lo que hizo Juan. Restó 10 arriba y abajo:
$$\frac{12 - 10}{18 - 10}$$
Le quedó:
$$\frac{2}{8}$$
Y eso, simplificado, es:
$$\frac{1}{4}$$
Un cuarto es mucho menos que dos tercios. La fracción cambió:
$$\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$$
Respuesta: Juan no tiene razón. Restar cambia la cantidad; para simplificar solo se divide, y por el mismo número arriba y abajo.
Buscar un denominador común
Para comparar $\tfrac{2}{3}$, $\tfrac{3}{4}$ y $\tfrac{5}{6}$, conviene escribirlas con el mismo denominador. Ese número tiene que estar en la tabla de los tres denominadores. Una manera fácil: recorre la tabla del denominador más grande y para en el primer número que también esté en las otras tablas. Para 3, 4 y 6, la tabla del 6 es 6, 12, 18… El 6 no sirve, porque no está en la tabla del 4. El 12 sí: está en la tabla del 3, del 4 y del 6.
Después, cada fracción se amplifica: se multiplica arriba y abajo por el número que lleva su denominador hasta 12. En la figura ves que $\tfrac{2}{3}$ y $\tfrac{8}{12}$ cubren el mismo pedazo de la tira.
Dos tiras del mismo tamaño. Arriba, la tira está partida en tercios y hay dos sombreados. Abajo, está partida en doceavos y hay ocho sombreados. Cubren lo mismo: dos tercios son ocho doceavos.
Ejemplo resuelto
Tres fracciones con denominador 12
Escribe $\tfrac{2}{3}$, $\tfrac{3}{4}$ y $\tfrac{5}{6}$ con denominador 12.
Ver la solución paso a paso
Para pasar de 3 a 12 se multiplica por 4. Multiplicamos arriba y abajo por 4:
$$\frac{2 \times 4}{3 \times 4}$$
Queda:
$$\frac{8}{12}$$
Para pasar de 4 a 12 se multiplica por 3:
$$\frac{3 \times 3}{4 \times 3}$$
Queda:
$$\frac{9}{12}$$
Para pasar de 6 a 12 se multiplica por 2:
$$\frac{5 \times 2}{6 \times 2}$$
Queda:
$$\frac{10}{12}$$
Respuesta: $\tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{12}$, $\tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12}$ y $\tfrac{5}{6} = \tfrac{10}{12}$. Ahora todas hablan de doceavos y se pueden comparar.
La tira tiene 2/3 sombreados. Parte cada tercio en 4 y cuenta los pedazos: es 8/12. Pártelo en 6 y llegas a las 12 de 18 bolsas de don Hernán.
Práctica
Simplifica 8/12 hasta la fracción irreducible. ¿Qué número queda en el numerador?
El 8 y el 12 se dividen entre 4: $\tfrac{8}{12} = \tfrac{2}{3}$. También se puede en dos pasos: entre 2 queda $\tfrac{4}{6}$, y otra vez entre 2 queda $\tfrac{2}{3}$. El 2 y el 3 ya no se pueden dividir por el mismo número.
Simplifica 18/24 hasta la fracción irreducible. ¿Qué número queda en el denominador?
18 = 2 × 3 × 3 y 24 = 2 × 2 × 2 × 3. Se tachan un 2 y un 3 de cada lado y queda $\tfrac{3}{4}$. Si te dio $\tfrac{9}{12}$, te faltó seguir: el 9 y el 12 todavía se dividen entre 3.
¿Verdadero o falso? Restar el mismo número arriba y abajo da una fracción equivalente: $\frac{12}{18} = \frac{12 - 10}{18 - 10}$
Es falso. $\tfrac{12}{18}$ es $\tfrac{2}{3}$, pero $\tfrac{2}{8}$ es $\tfrac{1}{4}$. Restar cambia la cantidad; solo multiplicar o dividir por el mismo número la conserva.
¿Verdadero o falso? Pedro dividió el numerador entre 6 y el denominador entre 9, y dice que la fracción no cambió: $\frac{12 \div 6}{18 \div 9} = \frac{12}{18}$
Es falso. Le quedó $\tfrac{2}{2}$, que es un entero, y $\tfrac{12}{18}$ es menos que un entero. Arriba y abajo hay que dividir por el mismo número.
¿Cuál de estas fracciones ya es irreducible?
El 5 solo se divide entre 1 y 5, y el 12 no está en la tabla del 5. En las otras, arriba y abajo se pueden dividir: $\tfrac{8}{12}$ y $\tfrac{4}{10}$ entre 2, y $\tfrac{6}{9}$ entre 3.
Completa la fracción equivalente: 2/3 = □/12. ¿Qué número va en la casilla?
Para pasar de 3 a 12 se multiplica por 4. Arriba se hace lo mismo: 2 × 4 = 8. Entonces $\tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{12}$.
¿Cuál es el menor denominador común de 3/4 y 5/6?
La tabla del 6 es 6, 12, 18… El 6 no está en la tabla del 4, pero el 12 sí. El 24 también sirve, pero no es el menor. El 10 sale de sumar 4 + 6, y sumar no sirve.
Para comparar 1/2, 3/4 y 5/8 se escriben las tres en octavos. ¿Cuántos octavos son 3/4?
Para pasar de 4 a 8 se multiplica por 2. Arriba también: 3 × 2 = 6. Entonces $\tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{8}$.
Marca todas las fracciones que son equivalentes a 3/4.
Marca todas las que apliquen.
$\tfrac{6}{8}$ es $\tfrac{3}{4}$ multiplicada arriba y abajo por 2, y $\tfrac{9}{12}$, por 3. $\tfrac{4}{6} = \tfrac{8}{12}$ y $\tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12}$: no valen lo mismo. $\tfrac{5}{7}$ no sale de $\tfrac{3}{4}$ multiplicando arriba y abajo por el mismo número, porque el 7 no está en la tabla del 4. Y $\tfrac{3}{8}$ tiene el mismo numerador con pedazos más pequeños: es la mitad de $\tfrac{3}{4}$.
¿Por qué 5/7 ya no se puede simplificar?
Simplificar es dividir arriba y abajo por el mismo número. El 5 y el 7 son primos distintos: el único número que divide a los dos es el 1. Ser impares no basta: $\tfrac{3}{9}$ tiene los dos impares y se simplifica entre 3.
Reto
Une cada fracción con su irreducible.
Divide arriba y abajo por el mismo número hasta que ya no se pueda más.
Reto
Lleva las tres fracciones a doceavos.
Mira por cuánto se multiplica el denominador para llegar a 12, y haz lo mismo arriba.
Cierre
En resumen
Para simplificar se divide el numerador y el denominador por el mismo número; la cantidad no cambia.
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen divisor común fuera del 1.
Con los factores primos se tacha cada primo que está arriba y abajo, y se llega de una vez a la irreducible.
Restar el mismo número, o dividir por números distintos, cambia la fracción.
Para un denominador común se busca un número que esté en la tabla de todos los denominadores, y se amplifica cada fracción.
Vocabulario
- Fracciones equivalentes
Fracciones que valen lo mismo aunque se escriban distinto, como 2/3 y 8/12.
- Simplificar
Dividir el numerador y el denominador por el mismo número para obtener una fracción equivalente con números más pequeños.
- Fracción irreducible
Una fracción que ya no se puede simplificar, porque el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común fuera del 1.
- Denominador común
Un mismo denominador para varias fracciones. Se consigue cambiando cada fracción por una equivalente.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si «doce de dieciocho» y «dos tercios» dicen lo mismo. Muéstrelo con 18 fichas en tres filas de 6: dos de las tres filas son 12 fichas.
- Explicación · 15 min — Simplificar por pasos y con primos en el tablero; el error de Juan con dos tiras de papel; el denominador común con tiras de tercios, cuartos, sextos y doceavos del mismo largo.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los retos en parejas. Cada pareja comprueba una simplificación multiplicando de vuelta.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una fracción, la simplifica y explica en una frase por qué la última ya no se puede simplificar.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué dividir arriba y abajo por el mismo número no cambia la cantidad, y restar sí?
- ¿Cómo saben que ya llegaron a la irreducible?
- Para 2/3 y 3/4, ¿sirve el denominador 7? ¿Y el 24? ¿Cuál es más cómodo?
Errores típicos
- Restar el mismo número arriba y abajo para «simplificar». Compare con tiras: 12/18 y 2/8 no cubren lo mismo. Repita que solo se multiplica o se divide.
- Dividir el numerador y el denominador por números distintos. Pida escribir el divisor arriba y abajo con el mismo color antes de dividir.
- Parar antes de la irreducible (quedarse en 6/9). Pida revisar siempre si el numerador y el denominador están juntos en alguna tabla del 2, del 3 o del 5.
- Sumar los denominadores para buscar el común (4 + 6 = 10). Pida comprobar si el número elegido está en la tabla de cada denominador.
- Cambiar el denominador y dejar igual el numerador (3/4 = 3/12). Use la tira: si los pedazos son más pequeños, se necesitan más pedazos para cubrir lo mismo.
Tarea sugerida
Escribir cinco fracciones con denominador 12 y simplificar las que se puedan. Después, llevar 1/2, 2/3 y 3/4 a un denominador común y decir cuál es la mayor.