Fracciones en la recta numérica
Lo que vas a aprender
- Ubicar fracciones menores y mayores que 1 en la recta, partiendo cada unidad en partes iguales.
- Contar los espacios, y no las rayitas, para saber en qué partes quedó dividida la unidad.
- Decir entre qué dos naturales queda una fracción y escribirla como número mixto.
- Comparar dos fracciones mirando cuánto les falta para llegar a un natural, como en las cintas de Camilo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Mira un metro de costurera o la regla de tu cartuchera. Entre el 0 y el 1 hay rayitas más pequeñas. Esas rayitas parten la unidad en pedazos iguales. Gracias a ellas puedes medir un lápiz que no mide justo un número entero.
La recta numérica funciona igual. Si partes cada unidad en partes iguales, cada fracción encuentra su lugar. Y cuando las fracciones están en la recta, se ve de una vez cuál es mayor, cuál es menor y cuáles pasan del 1.
Explicación
Partir la unidad en partes iguales
Para ubicar $\tfrac{3}{4}$, mira el denominador: 4. Parte el tramo del 0 al 1 en cuatro espacios iguales. Cada espacio es un cuarto. Después mira el numerador: 3. Desde el 0, avanza tres espacios. Ahí está $\tfrac{3}{4}$.
Cuenta espacios, no rayitas
Este es el error más común. Entre el 0 y el 1 de la figura hay tres rayitas, pero hay cuatro espacios. Los espacios son los saltos. Si cuentas las rayitas, crees que la unidad está en tercios. Si cuentas también las rayitas del 0 y del 1, te dan cinco, y crees que está en quintos. Las dos cosas están mal. Cuenta los saltos: son cuatro, así que la unidad está en cuartos.
Del 0 al 1 hay tres rayitas en medio, pero cuatro saltos iguales. Cada salto es un cuarto. Los saltos son los que cuentan.
Ejemplo resuelto
Rayitas que engañan
En una recta, entre el 0 y el 1 hay 4 rayitas a la misma distancia. Lina marcó la tercera rayita y dijo que era 3/4. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Contamos los espacios. Con 4 rayitas en medio, hay un espacio más que rayitas:
$$4 + 1$$
La unidad quedó partida en 5 espacios iguales. Cada uno es un quinto.
$$5$$
La tercera rayita está a tres espacios del 0. Es tres quintos:
$$\frac{3}{5}$$
Lina contó las rayitas, no los espacios. Lo que ella dijo es otro número, más grande:
$$\frac{3}{5} < \frac{3}{4}$$
Respuesta: Lina no tiene razón. La tercera rayita es $\tfrac{3}{5}$, porque la unidad está partida en 5 espacios.
Después del 1
La recta no se acaba en el 1. Si sigues saltando cuartos, llegas a cinco cuartos, seis cuartos, siete cuartos… Cada unidad se parte igual que la primera. Cuatro cuartos son justo el 1, y ocho cuartos son el 2.
Una fracción mayor que 1 queda entre dos naturales. Por ejemplo, $\tfrac{7}{4}$ queda entre el 1 y el 2. Se puede decir con un número mixto: un entero y tres cuartos, que se escribe $1\tfrac{3}{4}$. El mixto dice de una vez en qué unidad está el punto y cuánto se avanza dentro de ella. En las cuentas lo escribimos como una suma: $1 + \tfrac{3}{4}$.
La recta del 0 al 2 partida en cuartos. Tres cuartos queda antes del 1. Siete cuartos queda entre el 1 y el 2: es un entero y tres cuartos.
Ejemplo resuelto
Siete cuartos en la recta
Ubica $\tfrac{7}{4}$ en la recta y escríbelo como número mixto.
Ver la solución paso a paso
El denominador es 4: cada unidad se parte en cuatro espacios. Contamos siete saltos desde el 0. Los primeros cuatro llegan al 1:
$$\frac{7}{4}$$
Siete cuartos son cuatro cuartos más tres cuartos:
$$\frac{4}{4} + \frac{3}{4}$$
Cuatro cuartos son un entero:
$$1 + \frac{3}{4}$$
Entonces el punto pasa del 1, pero no llega al 2:
$$1 < \frac{7}{4} < 2$$
Respuesta: $\tfrac{7}{4} = 1\tfrac{3}{4}$. Está entre el 1 y el 2, tres saltos de un cuarto después del 1.
La ranita salta de cuarto en cuarto. Hazla saltar 7 veces: pasa el 1 y se queda en 7/4, un entero y tres cuartos.
Ejemplo resuelto
¿Entre qué naturales queda?
¿Entre qué dos naturales queda $\tfrac{17}{4}$? Escríbelo como número mixto.
Ver la solución paso a paso
Buscamos cuántos enteros caben. Cada entero son 4 cuartos. Cuatro enteros son:
$$4 \times 4$$
Son 16 cuartos. Con 5 enteros serían 20 cuartos, y nos pasamos.
$$16$$
Partimos los 17 cuartos en 16 cuartos y 1 cuarto más:
$$\frac{16}{4} + \frac{1}{4}$$
Dieciséis cuartos son 4 enteros:
$$4 + \frac{1}{4}$$
El punto pasa del 4 y no llega al 5:
$$4 < \frac{17}{4} < 5$$
Respuesta: $\tfrac{17}{4} = 4\tfrac{1}{4}$. Queda entre el 4 y el 5, un salto de un cuarto después del 4.
Las cintas de Camilo
Camilo construyó tres cintas métricas del mismo largo. En cada una partió la unidad de una manera distinta: la primera en quintos, la segunda en sextos y la tercera en medios. En la primera marcó $\tfrac{9}{5}$ y en la segunda, $\tfrac{11}{6}$. ¿Son iguales? ¿Cuál es mayor?
Las dos marcas están cerca del 2. El truco es mirar cuánto le falta a cada una para llegar al 2. A la que le falte menos, está más adelante. La tercera cinta sirve de guía: las dos marcas pasan de $\tfrac{3}{2}$.
Primera cinta de Camilo: la unidad partida en quintos. Nueve quintos queda a un quinto del 2.
Segunda cinta: la unidad partida en sextos. Once sextos queda a un sexto del 2.
Tercera cinta: la unidad partida en medios. Tres medios queda en la mitad entre el 1 y el 2; las dos marcas de Camilo están más adelante.
Ejemplo resuelto
Nueve quintos y once sextos
Con las cintas de Camilo, decide si $\tfrac{9}{5}$ es igual, mayor o menor que $\tfrac{11}{6}$.
Ver la solución paso a paso
En la cinta de quintos, ¿cuánto le falta a nueve quintos para llegar al 2?
$$2 - \frac{9}{5}$$
Le falta un quinto.
$$\frac{1}{5}$$
En la cinta de sextos, ¿cuánto le falta a once sextos?
$$2 - \frac{11}{6}$$
Le falta un sexto.
$$\frac{1}{6}$$
Un sexto es un pedazo más pequeño que un quinto, porque la unidad se partió en más partes:
$$\frac{1}{6} < \frac{1}{5}$$
A once sextos le falta menos para llegar al 2. Entonces está más adelante:
$$\frac{9}{5} < \frac{11}{6}$$
Respuesta: $\tfrac{9}{5}$ es menor que $\tfrac{11}{6}$. No son iguales, aunque las dos estén cerca del 2.
Dos cintas del mismo largo. La de arriba está partida en tres pedazos de distinto tamaño, con uno sombreado. La de abajo está partida en tres pedazos iguales. Se usa en la última pregunta.
Práctica
En una recta, el tramo del 0 al 1 está partido en 8 espacios iguales. ¿Qué fracción señala la quinta rayita después del 0?
Cada espacio es un octavo. La quinta rayita está a cinco espacios del 0: $\tfrac{5}{8}$.
Entre el 0 y el 1 de una recta hay 3 rayitas a la misma distancia. ¿En cuántos espacios iguales queda partida la unidad?
Siempre hay un espacio más que rayitas en medio: 3 + 1 = 4. La unidad está en cuartos, no en tercios.
Sofía contó todas las rayitas del 0 al 1, también la del 0 y la del 1, y le dieron 5. ¿Qué fracción de la unidad es cada espacio?
Con 5 rayitas en total hay 4 espacios: cada uno es un cuarto. Decir un quinto es contar rayitas en vez de espacios.
La fracción 11/4 queda entre dos naturales seguidos. ¿Cuál es el menor de ellos?
Dos enteros son 8 cuartos y tres enteros son 12 cuartos. Once cuartos queda en medio: entre el 2 y el 3.
¿Qué número mixto es igual a 11/4?
Once cuartos son 8 cuartos más 3 cuartos. Ocho cuartos son 2 enteros, así que queda $2\tfrac{3}{4}$.
¿Verdadero o falso? En la recta, 13/6 queda entre el 1 y el 2.
Es falso. El 2 son 12 sextos, y 13 sextos pasa del 2 por un sexto. Queda entre el 2 y el 3.
Una recta está partida en tercios. ¿Cuántos saltos de un tercio hay desde el 0 hasta el 2?
En cada unidad caben 3 tercios. En dos unidades caben 2 × 3 = 6. Por eso 2 es lo mismo que $\tfrac{6}{3}$.
Rosa tiene dos cintas del mismo largo, una partida en cuartos y otra en tercios. En la primera marca 7/4 y en la segunda, 5/3. ¿Cuál de las dos fracciones es mayor?
A siete cuartos le falta un cuarto para el 2, y a cinco tercios le falta un tercio. Un cuarto es menos que un tercio, así que siete cuartos está más cerca del 2: es mayor.
En una recta partida en décimos, ¿cuánto le falta a 9/10 para llegar al 1?
El 1 son diez décimos. De nueve décimos al 1 hay un salto: $\tfrac{1}{10}$.
Marca las fracciones que en la recta quedan después del 1.
Marca todas las que apliquen.
Quedan después del 1 las que tienen el numerador mayor que el denominador: $\tfrac{7}{4}$ y $\tfrac{10}{9}$. $\tfrac{12}{12}$ es justo el 1, no pasa de él.
Mira las dos cintas de la última figura. Miguel dice que el pedazo sombreado de la cinta de arriba es un tercio, porque la cinta tiene tres pedazos. ¿Cuál es su error?
Una fracción habla de partes iguales. Arriba, el pedazo sombreado es más pequeño que un tercio. Abajo sí hay tres partes iguales, y el sombreado es un tercio.
Reto
Compara como Camilo.
Mira cuánto le falta a cada fracción para llegar al 2.
Reto
Abre el candado de la recta.
Cada pista da un dígito. Cuenta espacios, no rayitas.
Cierre
En resumen
Para ubicar una fracción, se parte cada unidad en tantos espacios iguales como diga el denominador, y se avanzan tantos como diga el numerador.
Se cuentan los espacios, no las rayitas: con tres rayitas en medio, la unidad está en cuartos.
Las fracciones mayores que 1 quedan entre dos naturales y se pueden escribir como número mixto: 7/4 = 1 y 3/4.
Para comparar dos fracciones cercanas a un natural, se mira cuánto le falta a cada una para llegar a él.
Vocabulario
- Recta numérica
Una línea con los números en orden y a la misma distancia: el 0, el 1, el 2…
- Unidad
En la recta, el tramo que va de un natural al siguiente, como del 0 al 1.
- Espacio
El tramo entre dos rayitas seguidas. Los espacios, no las rayitas, dicen en cuántas partes se partió la unidad.
- Número mixto
Un natural y una fracción menor que 1 juntos. 7/4 se escribe como el mixto 1 y 3/4: un entero y tres cuartos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una regla y pregunte qué marcan las rayitas pequeñas entre el 0 y el 1. Pida contar espacios y rayitas.
- Explicación · 15 min — Una recta en el tablero con la unidad en cuartos; el error de Lina; siete cuartos y el mixto; las cintas de Camilo hechas con tiras de papel del mismo largo dobladas en quintos y en sextos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los retos en parejas. Cada pareja dibuja una de las rectas de las preguntas en el cuaderno.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja una recta del 0 al 3 en tercios y ubica tres fracciones, una de ellas mayor que 2.
Preguntas para el salón
- Si entre el 0 y el 1 hay 5 rayitas, ¿en qué partes quedó la unidad? ¿Por qué no en quintos?
- ¿Cómo saben, sin dibujar, entre qué naturales queda 17/4?
- ¿Por qué a 11/6 le falta menos para el 2 que a 9/5?
Errores típicos
- Contar las rayitas en vez de los espacios (leer cuartos como tercios o como quintos). Pida dibujar un salto por cada espacio y contar los saltos, como en la primera figura.
- Partir la unidad en pedazos desiguales al dibujar la recta. Pida usar el papel cuadriculado: cada espacio, el mismo número de cuadritos.
- Empezar a contar desde el 1 y no desde el 0. Pida poner el dedo en el 0 y decir «uno» al llegar a la primera rayita, no antes.
- Partir solo la primera unidad y ubicar mal las fracciones mayores que 1. Pida partir cada unidad igual que la primera antes de contar.
- Creer que la fracción con el denominador más grande está más adelante (poner 5/6 después de 5/4 por el 6). Pida ubicar las dos en la recta: 5/6 no llega al 1 y 5/4 ya pasó del 1. Con el mismo numerador, los pedazos más pequeños quedan más atrás.
Tarea sugerida
Hacer con una tira de papel del largo de la regla una cinta partida en cuartos. Marcar en ella 1/4, 3/4, 5/4 y 7/4, y escribir 5/4 y 7/4 como números mixtos.